Cherchons donc dans quels cas -r^ est infini. Nous avons
dr
trouvé au n° 86
rdr = a{a -\- b) sin 6f/6 ; nous en déduisons
^ ^ dr a[a -{- h) sin 9 dO'
Cette égalité nous montre que -^ pourra devenir infini dans
deux cas : 1° si sin 5 est très petit : 2° si -77 est infini.
Considérons le premier cas. L'angle 0 étant très petit, un arc du contour de l'écran est très voisin du point Q et l'on peut confondre la portion de la sphère qui contient cet arc avec un plan passant par Q. En outre cet arc étant infini- f:Ji(^ ment petit, on peut le considérer comme ^ un élément d'une droite AB [fig. 10). La
^■'g- 10- distance du MQ p^int Qà l'élément d'arc
M est ah, a étant le rayon de la sphère sur laquelle se trouve la portion considérée du contour de l'écran. En appelant ni la plus courte distance QG du point Q à la droite .\B, et Cl. l'angle de QM et QG, nous avons
a6 cos 1 = rtS
ou
Ocostû = 8.
DIFFRACTION Iïi7
L'angle 'if que nous considérons ici ne diffère d'ailleurs que par une constante de l'angle désigné précédemniont par la même lettre ; leurs difTérentielles auront donc la niême valeur. En différentiant les deux membres de l'égalité précédente, nous trouvons
-r ces s — 0 sin ï- = (l,
r/0 nouvelle égalité qui nous montre que -7- est du même ordre
que 0, et par suite, que 3. Pa-r ("onséquent -^ 'est de l'ordre de
- et "T", donné par la relation (10) est de Tordre de^:;. 0 ar ' b-
Si le pdint P est à une distance finie r de la sphère, -^ est
de l'ordre de r;j et si l'on veut que cette dérivée soit du même
ordre que - il faut que 3 soit de l'ordre de v'^ • Si au
contraire le point P est à une distance de la sphère de l'ordre de X, il faudra que 3 soit du même ordre que X
pour que -y^ soit un infiniment grand de l'ordre de r.
La droite qui joint le point P à la source lumineuse devra donc rencontrer la sphère à une distance du contour de l'écran de l'ordre de X pour qu'il y ait en P un éclairement anormal ; la région dans laquelle doit se trouver le point P est alors trop petite pour être observable. On ne pourra observer d'anomalies dans l'éclairement de P que lorsqu'il sera une distance finie de la sphère.
Ainsi, sur une sphère concentrique à S, et de rayon a -\- b.
b étant fini, la région occupée par les franges de diiïraclion est de même ordre de grandeur que yX. Sur la splière S ellemême, cette région est du même ordre de grandeur que X.
91. Examinons le second cas dans lequel -y^ est une quantité infiniment grande; -rr étant infini, -7- doit élre infiniment dO d'Sf
petit. Si donc-r — r est une quantité finie, il faudra, pour tiue sm 0 'Il
-^ soit de l'ordre de -) que -^ soit de l'ordre de 1. dr 1 ' dm
Il faut en d'autres termes que 0 soit une constante aux quantités près de l'ordre de >, c'est-à-dire qu'en négligeant les quantités de cet ordre, un arc fini du contour de l'écran puisse être regardé comme un arc de cercle ayant son centre en Q ; la distance du point Q au centre de courbure moyen de cet arc doit donc être de l'ordre de À ; il résulte de là que les points éclairés d'une manière anormale sont tous contenus à l'intérieur d'un cercle dont le rayon est de l'ordre de X et que les phénomènes sont inobservables.
11 faut donc pour que l'observation soit possible que sin 0 et par conséquent le rayon de cet arc de cercle soit très petit.
Si est une quantité de l'ordre de Va il suffira que -r-
et par suite la distance du point Q au centre de l'arc de cercle
soit aussi du même ordre.
La région de l'espace dans laquelle le point P doit être situé pour présenter des phénomènes anormaux est alors suffisamment grande pour qu'on puisse observer ces phénomènes.
Remarquons que si le point P est situé sur la sphère, son
DIFFRACTION 129
éclairement sera déterminé par la théorie géométrique des ombres, ou du moins, l'observation sera impuissante à déceler une diiïérence entre l'éclairement ainsi déterminé et l'éclairement réel.
On aura, en effet, quand le point P tend vers le point Q
= - , car, dans le triangle MOP, on a
sine sinOMP r a
et à la limite l'angle OMP est droit. Puisque^-;— est fini il arrivera encore, d'après ce que nous venons de voir, que les phénomènes ne seront pas observables.
92. Nous allons montrer maintenant que la condition de transversalité
«o = ?ô + -OÔ + ?ô = O
est remplie pour les points P situés en dehors de la sphère S ou sur cette sphère même.
En effet 0^ satisfait à l'équation :
Nous avons donc à l'extérieur de la sphère S d'après le n° 81
-/it^o— ')--^^"+y4
®o = - / x: V(^'^-5)cos'H"-f / £^T~'^'"'
les intégrales du second membre étant 'étendues à tous les éléments du> de la sphère S.
Or, nous avons vu que, si on laisse de côté la région où il y
a des franges de diffraction, les phénomènes sont les mêmes que dans la the'orie géométrique des ombres ; en d'autres termes, l'éclairement est nul en certains points et en d'autres il est le même que s'il n'y avait pas d'écran. Dans les deux cas
@n et -7-^ sont nuls.
" an
Il suffira donc, avec le degré d'approximation adopté, d'étendre les intégrales du second membre à la région de la sphère S occupée par les franges ; or nous avons vu que cette région est de l'ordre de l. Les intégrales du second membre sontdiinc négligeables ; et par conséquent il en est de même de e„
En résumé, les intégrales (4) satisfont bien aux conditions A,B,G et D et il ne peut y avoir d'éclairement anormal que si le point P est très voisin du bord de l'ombre géométrique.
93. Simplification des expressions l^ -/lo ^o- Nous avons vu que, si le point Q est à une distance finie des bords d'un écran, l'éclairement du point P est le môme que dans la théorie des ombres, et en second lieu que l'éclairement est modifié si le point Q est à une distance de l'écran de l'ordre de \/X. L'éclairement d'un point ne dépend donc guère que des portions de la sphère qui sont voisines du point Q. Ce point est appelé le pâle du point P. Nous allons profiter de cette remarque pour simplifier les valeurs de ;„ ■/■,^, ?„ données par les intégrales (4).
Prenons la première de ces intégrales.
Puisque les parties de cette intégrale qui ne sont pas négli-
DIFFRACTION 131
geables sont celles qui correspondent aux points très voisins du pôle Q du point éclairé P, nous n'étendrons l'intégrale qu'à ces points, et nous pourrons considérer Xj et i}< comme des constantes. Gomme en outre a est une quantité très grande et que r doit être fini pour que les phénomènes de dilTraction soient observables, nous pouvons dans la quantité
