ÏV • T 1 COS
placée sous le signe d mtegration négliger le terme - -p^ par
rapport aux deux autres termes i% et î'acos»);. En faisant cette simplification et en mettant les termes considérés comme constants en dehors de l'intégrale, nous avons
Xota (1 -|- cos 'if) I — dui.
ye'°"-
On sait d'ailleurs (84) que
par conséquent, en remplaçant, dans l'expression de ?(,, X, et cos '} par les valeurs de ces quantités au pôle Q. nous aurons
La distance rdu point P aux points de la sphère qui avoisinent le pôle Q diffère très peu de la distance PQ = h, et, par suite, peut être mise en dehors de l'intégrale puisque cette intégrale n'est étendue qu'aux points voisins de Q. La
valeur de ;„ deviendra
?o = -.-F^ / e'-'Wo:
et enfin, par une dernière transformation,
94. Cherchons la valeur de cette dernière intégrale. Nous avons dans le triangle MOP {fiff.9),
r^- = (a + by- -{-a- — 2a [a + b) cos 0 ;
et comme nous n'avons à considérer que des points voisins du pôle Q pour lesquels 6 est très petit, nous pouvons remplacer
cos 6 par les deux premiers termes 1 — v de son développement ; nous aurons
r^ = (« -H by- + a^ - 2« (a + b) {i -Çj,
ou
En désignant par s l'arc de grand cercle QM compris entre un point M de la sphère et le pôle Q, nous aurons,
et en portant cette valeur de 6 dans l'expression de r^, il viendra
On tire de là,
''-''~a{r-fb]
DIFFRACTION 133
Mais r différant très peu de b, on peut remplacer r -f h par 2i, de sorte que l'on a
Cette valeur de r — b portée dans l'expression de;„, donne
L'intégrale ne devant -être étendue qu'aux portions de la sphère avoisinant le point Q, on peut considérer ces portions comme situées dans le plan tangent à la sphère en Q. Prenons dans ce plan deux axes de coordonnées rectangulaires se coupant en Q. Dans ce système les coordonnées du point M seront les distances l et l' de ce point aux axes. Pour simplifier l'expression de ;„, nous définirons la position du point M par deux paramètres m et utes que
/ ab\ I ab\
On a alors.
et
db\
dio = dl.dl' ^=. dudv
En portant ces valeurs de s- et de dw dans l'expression de ?o, nous aurons après simplifications,
?o = — "ï — '~~~i — ~ 1 e * dudv,
4 Tz \a -\- b)
et comme nous avons posé a = — , nous obtenons en remplaçant a par cette valeur
95. Intensité lumineuse en un point. — D'après ce que nous avons dit au n" 76, la composante suivant l'axe des oo du déplacement d'un point P situé en dehors de la sphère S, est
ç = partie réelle de ç^ e~'*^'',
où \q est remplacée par l'expression (11) que nous venons de trouver. Nous aurions pour les deux autres composantes les quantités
7) ^ partie réelle de Yi^e- '*''', Ç = partie réelle de ^^e- '*''',
71d et Ç^ se déduisant de ;p en remplaçant dans l'expression (H) ;, pirr,, ou ^,. L'intensité lumineuse au point P sera donc proportionnelle à
[(!)■+ fê)'+ CI)'] ^
or, on a ,
~= partie réelle de f- «■xV;„e-'«y' + e-'»^' ^\
et deux expressions analogues pour -r et — . Par conséquent l'intensité est proportionnelle à la somme des carrés des
DIFFRACTION 135
modules des trois quantités analogues à
Mais dans la valeur (H) de ?(, la seule quantité qui dépende du temps est ;,, de sorte que l'intensité est égale à la somme des carrés des modules de trois quantités dont la première est
et dont les deux autres se déduisent de celle-ci en remplaçant ;, par t,, et l,.
liCS phénomènes de dilTraclioii s'observant dans un plan, nous avons à considérer l'intensité relative de points situés dans un même plan. Ces points étant toujours voisins entre eux et à une certaine distance de l'écran, nous pouvons admettre que les dislances b de chacun d'eux à la sphère qui contient l'écran sont les mêmes. Il en résulte que, dans chacun des termes (1) dont la somme des carrés est propor-
iae'^''
tionnelle à l'intensité, le facteur —, r; est le même pour
ces points, si toutefois on ne considère que la lumière homogène. En outre, comme ces points sont vus au même instant et que les valeurs de ;, r,, ï, varient peu i]uand on passe d'un point
dl de la sphère S à un point voisin, le facteur ( — /ïV;, -| — jr
aura sensiblement la même valeur. L'intensité relative de la lumière aux différents points observés sera donc proportionnelle, au même instant, au carré du module de
l'intégrale,
/lit 2
(2) j e^ dudv,
qui se trouve en facteur dans le terme (1) et les deux qui s'en déduisent. Il nous suffira donc pour avoir l'intensité lumineuse aux divers points du plan oii se font les observations, d'étudier les variations du module de cette intégrale.
96. Expression de l'intégrale (2) dans le cas d'une fente à bords parallèles. — Nous supposerons que l'un des axes auxquels correspondent les paramètres u et v est parallèle aux bords de la fente ; ce sera l'axe des u, par exemple. Si on se reporte à la relation
ab\
qui lie le paramètre ii à la distance o d'un point du plan des
S ^lv à l'axe des v, on voit que u est de l'ordre de ~Tr . La fente
ayant une longueur, sinon illimitée, du moins très grande par rapport aux quantités de l'ordre de v'X, les valeurs de u seront toujours très grandes pour les points qui sont observés. Par conséquent, on peut dans l'intégrale (2) regarder les limites de u comme infinies. Nous désignerons par v^ et v.^ les limites de v qui ont en général des valeurs finies, la largeur delà fente étant petite. Nous pouvons mettre cette intégrale dont les limites sont des constantes sous la forme
e ■•* " du j e '^
+ v, dv.
DIFFRACTION 137
La première de ces intégrales a pour valeur 1 -(- 2 dont le module est 2 ; de sorte que nous n'avons à nous occuper que de la seconde qui devient, lorsqu'on y remplace l'exponentielle par les fonctions trigonométriques,
97. Représentation graphique de l'intégrale (3). — Les deux intégrales du second membre sont connues sous le nom A' intégrales de Fresnel ; nous allons les étudier. Pour simplifier les calculs, nous supposerons nulle la limite inférieure de ces intégrales ; il sera facile ensuite de passer au cas général où les limites sont quelconques en faisant la somme algébrique de deux intégrales dont une des limites est 0.
Posons donc
cos —
do.
sin -^ dv,
et construisons la courbe lieu des points de coordonnées x et y. Elle passe par l'origine des coordonnées, car on a a; = y = o pour v =: o. Si on change v en — v, l'élément des intégrales ne change pas, mais la limite supérieure change
de signe et ,r et y changent à la fois de signe ; l'origine est donc un centre de symétrie de la courbe. Prenons les différentielles de x et de y, nous avons
dx = cos -^ dv, ay = sin -^ dv.
En élevant au carré et additionnant, nous obtenons
dx^ -|- rf^2 ^^^2 ^l„-l .
donc
ds = dv,
ds étant un élément d'arc delà courbe. En intégrant les deux membres de cette égalité et en prenant o pour constante d'intégration, ce qui revient à compter lesarcs à partirde l'origine puisque x =: y = o pour u ^ o, on a
du Le rapport de — donne la tangente de l'angle formé par
l'axe des x et la tangente à la courbe au point x, y ; en désignant par a cet angle on a
Le rayon de courbure en un point est donné par
ds dv 1
dt r^vdv -KV '
à l'origine, c'est-à-dire pour y = o, le rayon de courbure est
DIFFRACTION
inlini et comme a est nul en même temps rjue v l'axe dosa? est une tangente d'inflexion au point 0 {/îff.ll).
Pour construire la courbe nous ferons varier « de o à l'infini ; l'angle a de la tangente à la courbe avec l'axe ox augmentera au delà de toute limite ; le rayon de courbure tendra vers o. Nous aurons donc une courbe en forme de colimaçon avec un point asyniptotique. Cherchons les coor- ''"'g- '1-
données de ce point A. Pour cela cherchons la valeur de l'intégrale
.oc
dv.
On sait que l'on a
e-'"-dz = 5 V^.
Si nous posons
nous avons.
dz =; dv
Par conséquent, nous aurons pour l'intégrale cherchée,
or
I e ^ dv = X -\- iy,
donc, pour t> =; oo. nous avons
Telles sont les coordonnées du point asymptotique A. On obtiendra la partie de la courbe correspondant à des valeurs négatives de upar symétrie.
98. Pour mieux définir la courbe nous pouvons chercher la manière dont varie la distance ÂM du point asymptotique A à un point quelconque M de la partie de la courbe qui correspond aux valeurs positives de v.
Soit «la valeur du paramètre qui correspond à ce point, ses coordonnées seront
ces ^ do, y = I sin -rr- dv.
y= / sm-
Transportons l'origine des axes de coordonnées au point M ; l'abscisse du point asymptotique A par rapport à ces nou-
DIFFRACTION lit
veaux axes sera égale à son abscisse par rapport aux anciens axes diminuée de l'abscisse du point M, c'est-à-dire
I cos — dv — / cos^dv= I
cos — r dv — / cos -^:r «y = / cos — av.
L'ordonnée du point A par rapport aux nouveaux axes s'obtiendra de la même manière et on aura,
sin -77- dv.
Les coordonnées du point asymptotique par rapport aux axes passant par M seront donc données par la partie réelle et la partie imaginaire de l'intégrale
(5) J = / e - dv.
Nous allons chercher une autre expression de J. Pour cela, nous nous servirons encore de l'intégrale
-■'dz = ^\JV.
Si nous posons
OÙ V est supposé positif, nous aurons,
e -■'''"* vdio = -sl-K.
Le produit de celte intégrale par l'intégrale (5) donnera
fP
e ^ ' ■' vdodio = - V T-
Intégrons l'intégrale double du premier membre par rapport à V, nous aurons
ou
ce
^^ Jvdo = -. -^— I de ^^ ^5
in — ^w^J
IT. — "ZW-
L'intégrale double devient donc
oc . ^ 00 I —-—, : — dw =z C - I dw =:-\Tt.
I 2«-- — m I -Iw — 27t 2
Nous en déduisons une nouvelle expression de J qui nous montre que les coordonnées du point A par rapport aux axes menés par M parallèlement aux axes ox et ot/ sont les parties
DIFFRACTION 143
réelle et imaginaire de
dw.
99. Si mainteniint nous faisons lourner les axes autour du point M d'un angle égal à -^ v-, c'est-à-dire d'après la relation (4), d'un angle égal à celui que fait la tangente à la courbe en M avec l'axe ox, nous aurons un nouveau système d"axes formé par la tangente et la normale à la courbe au point M. Désignons par x' et y les coordonnées d'un point dans ce nouveau système, et par x^ et y, les coordonnées du même point dans le système d'axes parallèles kox et oy et passant par M. Nous aurons les formules de transformation
X = x^ cos-^ -f y, sin^--
, -KV' . -KV
y = y, c-os—r — .r, sm —
En multipliant la seconde par i et additionnant le résultat avec la première nous obtenons
■» + «y = (a'i -\- «i/0 cos^ — (ia-, — ,y,)sm-^
ou
• x -\- iy — [x^ 4- iy^) (^cos^ — i sin^
ou enfin
x' + iy' = (.t'i + *>,) e 2
14i THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
Cette dernière relation nous montre que l'imaginaire œ'-f- vj' dans le nouveau système d'axes est égale à sa valeur a:, -j-'Z/i
dans l'ancien, multipliée par le facteur e 2 . Or, pour le point asymptotique A, on a
^'. + iy\ = J.
par suite on aura
