X -f iy = Je 2 , et l'égalité (6) nous montre que
(7) fl/ 4- il/' = I -=^ — ^ — dw.
En multipliant les deux termes de la fraction placée sous le signe d'intégration par la quantité imaginaire conjuguée du dénominateur, nous obtenons
iOO
- — — = — ■ dw
La distance du point A à la normale en M qui est la partie réelle de cette intégrale, aura pour expression
dto ;
et la distance à la tangente qui en est la partie imaginaire
DIFFRACTION 145
sera
v'ttIW + t:-)
dic.
Les éléments de chacune de ces deux dernières intégrales sont positifs et décroissent quand v s'arie de o à oc . Par conséquent les distances du point A à la normale et à la tangente en M sont toujours positives et décroissantes. Il en résulte que la distance AM va toujours en décroissant En effet, s'il en était autrement, cette distance présenterait un maximum ou un minimum. Au point correspondant à ce maximum ou à ce minimum, AM serait normal à la courbe et la distance du point A à la normale serait nulle, ce qui ne peut être d'après ce qui pre'cède.
On peut voir que pour les points de la courLe voisins du point A, la droite .\M est sensiblement normale à la courbe. Pour ces points c est très grand et l'exponentielle e~'-^"'^ est très petite a moins que tr ne soit petit ; on pourra donc dans l'intégrale ^7) négliger les éléments qui ne correspondent pas à une petite valeur de to. Mais si w est petit, le dénominateur 22C- — iTz se réduit sensiblement à — ït., de sorte que la valeur de ,/■' -\- ii/' est approximativement
La partie réelle étant nulle, la distance du point A à la normale est nulle, c'est-à-dire queAM est sensiblement normale.
La valeur de AM est approximativement — •
l-ifi THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
La forme de la courbe est alors suffisamment bien déterminée.
100. Diffraction produite par une fente étroite. — Nous avons vu au n" 96 que l'intensité lumineuse en un point extérieur est proportionnelle au carré du module de l'intégrale
e^ dv.
Le module de celte intégrale est égal à la dKTérenee géométrique des modules des intégrales
I e^ dv.
Si M, [fig. 12) est le point de la courbe représentative qui correspond à v^, Mo celui qui correspond à v.^, les modules de ces intégrales seront OM, et GMj ; leur différence géométrique estM, M,.
Si on considère un point P éclairé par une fente, les quantités », et iv sont proportionnelles aux distances qui séparent son pôle Q des bords de la fente ; comme '■'is- '-■ la largeur de la fente est constante, la
difl'érence v^ — v., a toujours la même valeur quel que soit le point P considéré dans le plan d'observation. Or, nous avons vu (jue t;, et i\ sont égaux aux longueurs des arcs de courbes OM, et OMo ; par conséquent l'arc M, M^ a toujtiurs la même
DIFFRACTION
longueur. Nous devrons donc, pour avoir les variations de l'intensité lumineuse aux différents points du plan d'observation, chercher les variations de la longueur d'une corde M, M^ sous -tendant des arcs égaux. Pour qu'il y ait maximum ou minimum, il Tant que le triangle formé par la corde et les tangentes M, T, et M2T(/î.9. 13) soit isocèle, ou bien J-l'^^^ que les tangentes aux extrémités soient parallèles et de même sens (fy.li). Nous aurons ainsi deux catégories de maxima et de minima. Pour la seconde catégorie on devra avoir
,Fig. 13.
ri
^ v^ étant l'angle formé par la tangente en un point avec l'axe des .c. Cette ésralité nous donne
ou
en posant
Quant aux maxima et minima de la premier© catégorie, leur recherche est très compliquée.
101. Diffraction par le bord d'un écran. — Dans] ce cas, la limite v.^ de l'intégrale (3) du §96 est infinie et l'inten-
site lumineuse en un point P est proportionnelle au c;irré du module de
dv.
Si M, est le point correspondant à r, ce module est égal à la longueur AM, de la droite qui joint le point asymplotique A au point M,.
Quand le point P est à l'intérieur de Tombre géométrique, son pôle Q est sur l'écran ; par conséquent la limite inférieure r, de l'intégrale précédente est positive et le point M, qui lui correspond est sur la partie de la courbe située du même côté que A [fig. 15). L'intensité va •■"'g 15- donc en décroissant très rapidement
dès qu'on s'écarte du bord de l'ombre géométrique sans présenter ni maximum ni minimum.
AM étant approximativement égal à — , le carré du
module de notre intégrale est égal à— 5— j*
Par conséquent du côté de l'ombre géométrique, l'intensité lumineuse varie sensiblement en raison inverse du carré de la distance au bord de cette ombre.
Si le point P est en dehors de l'omlire géométrique, son pôle Q est en dehors de l'écran ; la valeur limite v^ est négative et le point M, est sur la partie de la courbe située audessous de l'axe des x. La droite AM, et par suite l'intensité
DIFFRACTION
en P, présenteront une succession de maximum et de minimum ; on aura des franges. Les maxima et minima de AM, correspondent aux points où cette droite est normale à la courbe. Quand le point M, est voisin de A' les normales à la courbe qui passent par A différent peu de la droite A.\'. Cette droite faisant avec ox un angle
égal à y' la tangente en un
Fis. IG.
point correspondant à un maximum ou un minimum fait avec ox un angle donné par In formule
Cet angle ayant pour valeur en fonction de w, ^î>-,nous aurons l'égalité
qui donnera pour v^
Telle est la formule qui donne approximativement les valeurs de u^ correspondant aux maxima et minima.
Soient M, et Mj deux points correspondant à un maximum et à un minimum consécutifs. La différence d'intensité sera
AMf — AM|.
Si le maximum est d'ordre élevé, les points M, et M., seront très voisins l'un de l'autre et seront sensiblement sur la droite AA', on aura alors sensiblement
AM, + AM, — 'ikM
AM, — AM, = A'M, + A'Mo = — + *
-V, Trf,
», et V2 étant les valeurs de v qui corresptmdent à M, et à Mj. La différence d'intensité sera donc
2AA'(l-|-i),
ce qui montre que la difTérenee entre un maximum et un minimum consécutifs varie sensiblement en raison inverse de la distance au bord de l'ombre géométrique.
102. Diffraction par un petit écran circulaire. — Supposons qu'un petit écran circulaire occupe une partie de la sphère S. Pour avoir les variations de l'intensité lumineuse aux différents points d'un plan situé à une distance èdu centre de l'écran, nous devrons comme précédemment étudier les variations de l'intégrale
étendue à tous les points du plan tangent à la sphère en Q, qui sont en dehors de l'écran.
Cherchonsen particulier l'éclairement en un point situé sur la droite qui joint la source lumineuse au centre de l'écran ; le pôle du point considéré se trouve alors au centre de l'écran.
DIFFRACTION loi
Posons
M = p cos cp, V =: p sin cp.
On aura
el comme u et y sont proportionnels aux distances d'un point du plan tangent en Q à deux axes rectangulaires passant par Q, p sera proportionnel à la distance de ce pointa Q. Par conséquent, si nous prenons comme coordonne'es pet ly, les bords de récran auront pour p nne valeur constante a. Le produit du dv proportionnel à la surface d'un élément devient dans ce système de coordonnées prfpc?cp ; par conséquent l'intégrale qui donne l'intensité est
(2) / / e^^\dfd^.
En intégrant par rapport à cp, on a:
(3) 27C / «'^'pc/p;
et en faisant l'intégration par rapport à p, on obtient
Pour la limite p = oo , la valeur de l'exponentielle imaginaire est indéterminée. Nous prendrons pour cette valeur zéro, car
nos formules ne s'appliquent qu'au cas oà p est petit et les éléments de l'intégrale (3) qui correspondent à des valeurs très grandes de p ne doivent pas être considérés. Nous aurons donc simplement
Le module de cette dernière exponentielle est 2. L'intensité lumineuse au point considéré est donc indépendante de a, et par suite, du rayon de l'écran ; elle a la même valeur que si a =: o, c'est-à-dire que si l'écran n'existait pas.
Cette conséquence des formules de diffraction a été trouvée par Poisson. Fresnel a vérifié expérimentalement la présence de ce point lumineux au centre de l'ombre géométrique donnée par un petit écran circulaire.
On conçoit facilement que ce phénomène ne se produise qu'avec un petit écran, car, dans le cas contraire, nos formules ne s'appliquent plus. En effet nous avons vu (95) que l'inten-
site en un point dépend des valeurs de ç, et de -jr aux divers points de la sphère S. valeurs que nous avons supposées constantes; ce qui ne peut être que si nous ne considérons qu'une très petite portion de la sphère S.
103. Diffraction par une petite ouverture circulaire. — Dans ce cas. les limites de l'intégrale (3) du paragraphe précédent sont 0 et a. Nous avons donc pour l'intensité en un point dont le pôle occupe le centre de l'ouverture, une quantité proportionnelle nu mndule de
I»II'I'1!.\CTI0N
Le module (lu premier facteur est2, celui du second lacleui" varie de 0 à 2 avec la valeur de a. Ce module est nul pour a^ = 4K, K étant un entier ; il est égala 2 pour a" = 4K -|- 2. Nous aurons donc en un même point de l'espace de l'obscurité ou de la lumière suivant le rayon de l'ouverture. Autour de ce point, on aura des franges qui par raison de symétrie devront être circulaires.
104. Diffraction en lumière parallèle. — Un cas particulièrement intéressant de la diffraction est celui où r(m observe les phénomènes à une grande distance d'un écran placé très loin de la source lu mineuse. Nous pourrons alors considérer le rayon de la sphère contenant l'écran comme infini, et cette sphère deviendra un plan.
Soit P {fig.il) un point de l'espace ; l'une des composantes
du déplacement de ce point R M 0
sera la psirtie réelle de
X — rfco,
X étant une fonction du déplacement \^ d'un point du plan R, et l'intégrale étant étendue à tous les points de ce plan. Nous Fig. n.
avons vu que quand l'écran n'était pas très éloigné de la source lumineuse, la portion de la sphère voisine du pôle du point P avait seule de l'influence sur l'éclairementde ce point. Il en sera de même quand le rayon de la sphère deviendra infini et nous n'aurons encore à considérer dans la recherche de l'éclairement du point P que les points du plan R voisins
loi THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
du pied de la perpendiculiiire aliuissée de P sur le plan. Nous pourrons donc supposer que la fonction X a une valeur constante et la faire sortir du signe d'intégration. En outre, le point P étant supposé éloigné du plan, ses distances PO et PiM à deux points voisins M et 0 diflëreront peu l'une de
l'autre, et nous pourrons considérer le facteur - comme
ayant la même valeur pour tous les éléments de l'intégrale qui ne sont pas négligeables. Nous aurons donc pour cette intégrale
e'='"'-'oV/a
en appelant r^ la distance du point P à un point arbitraire 0 du plan Q
105. Par les mêmes considérations que celles que nous avons exposées au § 95 nous arriverions à montrer que l'intensité lumineuse des divers points d'un plan parallèle à R est proportionnelle au carré du module de l'intégrale
(1) I e'^t'-Vf/co.
Transformons cette intégrale. Du point M abaissons sur OP la perpendiculaire MM' et désignons jjar P l'angle OPM et par /■ la distance PM ; nous aurons
PM' = reosP = r — r (1 — cosP) = /• — 2rsin'- 1-
L'angle P est très petit puisqu'un ne considère que des points
DIFFRACTION 155
du plan R voisins l'un de l'aiilre ; par suite sin- -est le carré
d'une quantité très petite et quoique r soitsupposé très grand,
P le produit 2?-sin--sera négligeable. On aura PM' =: ?• et
OM' — r^ — r.
Prenons dans le plan R deux axes de coordonnées rectangulaires passant par 0. Si nous désignons par ,:/• et 1/ les coordonnées de M et par /et m les cosinus de la direction OP avec les axes, nous aurons pour OM' qui est la projection de OMsurOP,
OM' = Lv -\- my
et par conséquent,
>-Q — r = Ix -f- >wî/.
En portant cette expression de r,, — r dans l'intégrale (1), elle devient
re-'»"-^ + "'-"V^M ;
mais comme nous n'avons à considérer que le carré du module de cette intégrale nous pouvons prendre
e''«"-^ + '"^'fZio,
dont le module est le même.
106. Franges produites par une ouverture ayant un centre de symétrie. — En général les minima d'intensité lumineuse ne sont pas nuls, car le module de notre intégrale ne pourrait s'annuler que si la partie réelle et la partie
imaginaire s'annulaient à la fois ce qui n'aura pas lieu en général : mais dans le cas de la diffraction produite par une ouverture ayant un centre de symétrie, ces minima sont égaux à zéro.
En effet, si nous supposons que le point 0 est le centre de symétrie de l'ouverture, l'intégrale
/ giaiOxA
"Vhlu
étendue à tous les points de l'ouverture, doit conserver la même valeur quand on change x en — x et y en — y. Par ce changement l'intégrale devient
g-ia.(lx + mi/if-li^
La partie imaginaire de celte intégrale est de signe contraire à la partie imaginaire de l'intégrale précédente. Gomme ces deux intégrales ont même valeur, la partie imaginaire est nulle et chacune d'elles se réduit à la partie réelle.
/ cosa [Ix -\- Hiy) dvi
Cette intégrale est réelle et n'est généralement pas toujours de même signe. Il faut donc qu'elle s'annule, de sorte qu'en 'umière homogène les minima d'intensité sont rigoureusement nuls.
