Diffraction par des ouvertures semblables
Désignons par 3 l'angle de la direction OP [figAl) avec la perpendiculaire en 0 au |)lan de l'ouverture. Nous allons montrer que si on remplace cette ouverture par une ouverture
DIFFRACTION 157
seinliLililo dont le rapport de similitude à la première est K, le sinus de l'angle de déviation 3 qui correspond à une même frange est divisé par K.
Si X et y sont les coordcnnées d'un point de la première ouverture, les coordonnées du point correspondant dans l'ouverture semblable seront K.r et Ky. L'intensité lumineuse en un point P auquel correspondent les cosinus directeurs Z et w sera, dans le cas de la première ouverture, proportionnelle au carré du module de
et dans le cas de la seconde, au carré du module de
Si nous considérons un point P, toujours situé à la même distance du plan R, mais dont les cosinus des angles avecles
axes des x et des y sont 77 et— , l'intensité lumineuse en
ce point sera, avec la seconde ouverture, proportionnelle au
carré du module de
e''«<''^ + "'^)KV/(t
Cette intensité sera proportionnelle à l'intensité au point P supposé éclairé par la fente primitive et les maxiina ou minima de ces intensités auront lieu en même temps. Cherchons le sinus de l'angle de déviation 3, du point P,. En appelant tp l'angle du plan POZ avec le plan des xc^, on a,
i = sin 3 cos tp >M = sin 3 sin cp .
Par suite
sin-5 = P -[- m-.
Pour le point P, on aura
et par conséquent
. „, sin^S
Cette égalité nous montre que si on remplace une ouverture par une seconde K fois plus grande, le sinus de l'angle de déviation correspondant à une même frange est divisé par K ; le plan de diffraction sera d'ailleurs le morne, puisque
le rapport — n'a pas varié.
Ainsi deux ouvertures semblables produiront des figures de diffraction semblables; mais les dimensions de ces figures seront en raison inverse des dimensions des ouvertures.
108. Théorème de Bridge. — Lorsqu'un écran est percé de plusieurs ouvertures identiques et semblablement disposées, l'intensité en un point est égale à l'intensité résultant d'une seule ouverture multipliée par l'intensité duc à un ensemble de points lumineux disposés dans le plan comme le sont les ouvertures.
L'intensité en un point P est proportionnelle au carré du module de l'intégrale
(1) Te '■» "-^ + "'.'/' (/to
étendue à toutes les portions éclairées de l'écran. Cette inté-
DIFFRACTION 15!)
grale sera la somme d'intégrales de même forme étendues à la surface de chacune des ouvertures. Ces ouvertures étant égales et semblabieraent disposées, si à un point de coordonnées X et y de l'une d'elles correspond un point de coordonnées X -\- a Ql y -{- b d'une autre, on aura tous les points de cette dernière en donnant à a; et y toutes les valeurs que peuvent prendre ces quantités dans la première ouverture. Par conséquent le terme de l'intégrale (1) qui correspond à une ouverture quelconque est égal ci
Cg ix (l(a + x) + m ib + !/)) f^jij ^ g la ila + m/,) ig ta. ((x + my) ^^^
ces intégrales étant étendues à toute la surface de l'une des ouvertures. L'intégrale (1) aura donc pour valeur le produit
(1 -^ e '« ''" + '"*) -j- ) Te '»''■<' + "'yi dm
que l'on peut écrire
2g (■« ('« + mO) 1 g il ((X + m;/) j^j,^
l'unité s'obtenant en faisant a = ô = 0
Le carré du module du premier facteur est proportionnel à l'intensité lumineuse due à n points disposés dans le plan comme le sont les ouvertures de l'écran ; le carré du module de l'intégrale est proportionnel à l'intensité due à une seule ouverture. Le théorème de Bridge est donc démontré.
109. Théorème de Babinet. — Deux écrans complémentaires, c'est-à-dire tels qu'aux vides de l'un correspondent
Ififl THÉOUIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
les pleins do l'autri', donnent en un point de l'espace le même éclairemrnt, excepté si ce pointest dans la direction de oz.
Désignons par R la portion éclairée du premier écran et par R'ia portion éclairée du second. Puisqu"aux parties non éclairées du premier écran correspondent les parties éclairées du second, la somme des surfaces R et R' doit être égale à tout le plan. L'intensité lumineuse en un point de l'espace sera, avec le premier écran, proportionnelle au carré du mo-
dule de l'intégrale
g,a(Ix + mj/)^^
étendue à toute la portion éclairée de l'écran. Avec le second écran, il faudra pour avoir l'intensité étendre cette intégrale à tous les points de la portion éclairée R' de l'écran. La somme de ces deux intégrales sera l'intégrale étendue à tout le plan, c'est-à-dire
Le carré du module de cette intégrale représente l'éclairement dû à une très grande ouverture ; d'après ce que nous avons vu au sujet des ouvertures semblables, les angles de déviation sont d'autant plus petits que les dimensions de l'ouverture sont plus grandes. Pour une ouverture très grande les déviations seront très petites, c'est-à-dire qu'il n'y aura de lumière sensible que dans la direction de l'axe des 3.
Cette intégrale est donc nulle pour tous les points de l'espace qui ne sont pas voisins de l'axe oz. Par conséquent, pour
DIFFRACTION 161
tous ces points les intégrales qui servent à trouver l'intensité en un point ne difTèreront que par le signe et le carré de leur module aura la même valeur. L'inti^nsité lumineuse est donc la même en ces points.
110. Diffraction par des ouvertures allongées. — Supposons qu'on remplace l'ouverture d'un écran par une autre obtenue en multipliant les ordonnées de chaque point de la première par la'même quantité K sans changer les abscisses. Dans une telle transformation un carré devient un rectangle, un cercle devient une ellipse.
L'intensité lumineuse en un point de l'espace quand on prend la seconde ouverture est proportionnelle au carré du module de l'inlésrale
gia(lx + mK,j)^fl^
Par conséquent l'intensité lumineuse donnée par la seconde ouverture en un point P, auquel correspondent les cosinus/ et
TT- sera égale à K fois l'intensité donnée par la première ouverture un point P tel que les cosinus directeurs de OP sont / et m.
Si dans le plan passant par P et parallèle au plan R de la ligure 17, nous menonsdes axes de coordonnées parallèles aux axes des x et des y tracés dans le plan R, les coordonnées a;, et y, de P par rapport à ces axes seront égales aux coordonnées de la projection de ce point sur le plan R. Les cosinus directeurs de la direction OP sont /, m et ces 8 ; par conséquent, en désignant par s la distance constante du point P au plan R on a
cosS "' cosS
OU, en remplaçant coso parsa valeur en fonction de^eldew,
Iz mz
Vk
Par conséquent, quand on remplace une ouverture par une autre dont les ordonnées sont K fois plus grandes lescoordonnées du point dont l'intensité est K fois celle que possédait le point a;,, y, avec l'ouverture primitive sont :
Iz , mz
y/i-^^-g Ky/i
Ce point s'est donc rapproché de l'axe des x^.
Les déviations sont généralement petites de telle sorte que nous pouvons négliger l''- et m"^ et écrire :
x^ =lz,
y, — mz,
x\ = Iz,
, mz.
ou
L'abscisse du point qui correspond à un maximum d'intensité n'a donc pas changé pendant que l'ordonnée est devenue K fois plus petite. On déduira donc les nouvelles figures de diffraction des anciennes en multipliant les ordonnées de tous
les points par tt-
Supposons en particulier que l'ouverture primitive soit circulaire. Par raison de symétrie, les franges de diffraction se-
DIFFRACTION l()3
ront aussi circulaires. Si nous muUiplions les ordonnées des divers points de l'ouverture par K, cette ouverture deviendra une ellipse. Pour obtenir les nouvelles franges de difîraction,
il faut m ulli plier les ordonnées des anciennes franges par— ; ces
franges deviendront ainsi elliptiques.
Ainsi une ouverture elliptique produit des figures de diffraction qui sont aussi dés ellipses. Ces ellipses sont semblables à l'ouverture mais inversement placées, le grand axe des franges elliptiques étant parallèle au petit axe de l'ouverture.
Si nous prenons une fente très allongée, les points où l'intensité est nulle seront très près de l'axe des a;, car on peut considérer une telle fente comme résultant d'un carré dont on a multiplié le côté parallèle à l'axe des y par un nombre très grand K. On n'observera donc de phénomènes de diffraction que dans le plan des xz, c'est-à-dire, dans un plan perpendiculaire à la longueur de la fente.
111. Diffraction par une fente ou un écran rectangulaire. — Désignons par 2« et 2// les dimensions de la fente. Pour avoir l'intensité lumineuse donnée en un point P par cette ouverture, nous avons ii considérer l'intégrale
gia(;x + m(/)^^
étendue à toute la surface de la fente. L'élément de surface d^ étant égal au produit dx dy, nous aurons pour nouvelle forme de cette intégrale
et comme nous pouvons supposer que l'origine des axes de
coordonnées coïncide avec lecentre de la fente, les limites d'intégration seront — « et -)- a pour a;, et — è et -)- 6 pour y. Les limites d'intégration étant des constantes, l'intégrale précédente est le produit des deux intégrales simples, prises, l'une par rapport à ,r, et l'autre par rapport à y. Nous aurons à chercher le module du produit
e '«'"3' dy.
I e"*'^ dx I e
Pour simplifier nos expressions, posons (1) oil = Il (xm =
nous aurons
I e"'^dx j e'^'i/dy.
La première intégrale de ce produit a pour valeur giau. — e-'"" 2 sinaw
il! M
La valeur de l'intégrale prise par rapport à y est
g -Vu- — ^ - ibi' ^ 2 sin bv iv V
Le produit des deux intégrales sera
, sin au sin eu
DIFFRACTION 165
OU encore
sinaw s'mbv
iab-
au ho
On aura donc pour l'intensité lumineuse une quantité proportionnelle à
.... fimau\^ /sin5y\^
Cette intensité deviendra nulle quand l'un des ^inus sera nul, c'est-à-dire pour
(3) au := Kti, ou hv = K'-,
oùK et K' !:ont des entiers quelccini(ues, mais ne pouvant pas être supposés nuls. En efîet piHir K =: o ou K' = o, la valeur
sin «« sinii^ ... , ^
des deux facteurs — ; est I unile et par conséquent
au hv
l'intensité n'est pas nulle ; elle est même maximum, l'unité
étant la plus grande valeur absolue que puisse avoir chacun
des facteurs. Remarquons que si K et K' sont nuls on a
M = î; = o et par suite /= w ^ o. Le point dont on cherche
l'éclairement est alors situé sur l'axe o^ (/î^. 17) c'est-à-dire
sur une perpendiculaire au plan de la fente élevée par le
centre de cette fente. En tout point de cette droite l'intensité
est maximum.
