Les valeurs de l et de m qui correspondent aux mini

ma d'intensité s'obtiennent en remplaçant dans les équations

de condition (3). u et v par leurs valeurs (1) ; ces valeurs

sont

an. bi.

Nous avons vu (110) que si on prend dans le plan où s'ob-

servent les phe'nomènes deux axes parallèles aux axes des a' et des 2/ et se coupant suros^, les coordonnées a;, et y^ d'un point sont proportionnelles à IpAm. Par conséquent, les points dont l'intensild est nulle sont situés sur des droites parallèles à l'un des axes de coordonnées et équidistantes entre elles. Le phénomène aura donc l'aspect d'une série de mailles rectangulaires lumineuses dont le centre présente un maximum d'éclairement. Ces maxima décroissent très rapidement dès qu'on s'écarte des axes, c'est-à-dire dès que m ou » augmente, puisque l'expression (2) à laquelle l'intensité est propurlionnelle contient en dénominateur le produit «^ v-. Aussi, ne voit-on guère qu'une croix lumineuse dans la direction des axes, formée par les points qui correspondent à K ^ o ou K' = o.

Le théorème deRabiiiet nous indique que l'on aura leinèmt; phénomène en prenant un petit écran rectangulaire.

Si l'une des dimensions de la fente a une grandeur considérable, on n'aura, d'après le g 110 de phénomènes observables que dans le plan jjerpendiculaire a la plus grande dimension de la fente. (In verra une îérie de bandes d'intensité nulle séparées par des bandes lumineuses dont l'éclairement décroît très rapidement à partir de la bande centrale. Le calcul montre qu'au second maximum correspond une intensité 20 fois moindre qu'au premier.

Les mêmes phénomènes s'observeraient avec un til.

113. Cas de ;/ points lumineux irrégulièrement disposés dans un plan. — En appelant a et b les coordonnées d'un quelconque de ces points, que nous supposerons avoir la même intensité, l'intensité lumineuse en un point de l'espace est proportionnelle au carré du module de la

DIFFRACTION 167

somme

1 i («a T vif)

^en

Or, le produit de deux quantités imaginaires conjuguées est égal au carré du module de l'une de ces imaginaires ; l'intensité lumineuse sera donc proportionnelle à

> i itta + fhi \^ a — ' '."^ -r t'A)

— \^ g 1 iw (a - a') + K (* — *■)]

a et i' étant les coordonnées d'un second point lumineux quelconque.

Le nombre des termes de ce produit est n^ . Pour n d'entre eux, on a rt ^ a', i := i'et la valeur de chacun d'eux est 1 ; leur somme sera n. Pour les n- — n autres termes le module est i et l'argument, ic \a — a!')A^v\b — i'). Cet argument peut prendre toutes les valeurs possibles puisque les points sont irrégulièrement distribués. Or, on sait que la valeur moyenne de e'î, où a. peut -prendre toutes les valeurs possibles, est zéro ; par conséquent, la somme des k^ — n termes considérés est nulle. L'intensité en un point éclairé par les n points de même intensité sera donc une constante égale à n fois l'intensité donnée par un seul point éclairant.

114. Cas de n ouvertures. — Considérons a ouvertures égales, semblablement disposées mais irrégulièrement placées dans le plan. D"après le théorème de Bridge (108), l'intensité sera le produit de deux facteurs, dont l'un est proportionnel à l'intensité donnée par une seule fente, et l'autre proportionnel à l'intensité donnée par n points placés dans le plan comme le sont les ouvertures. Quand ces ouvertures seront irrégulié-

remeni, placées, ce second facteur sera, d'après le paragraphe précédent, égal à n fois l'intensité résultant d'une seule ouverture.

Le théorème de Babinet nous apprend qu'il en serait de même avec n écrans. En particulier avec n petits écrans circulaires on devra avoir les mêmes phénomènes qu'avec un seul écran ; les maxima de l'intensité lumineuse seront seulement devenus n fois plus grands. On peut vérifier ce fait expérimentalement en saupoudrant de lycopode l'objectif d'une lunette astronomique ; on aperçoit des franges noires et brillantes lorsqu'on fait l'expérience en lumière hotnogène.

115. Cas de deux points d'égale intensité. — Prenons pour axe des x une droite passant pur ces points, et pour axe des y une perpendiculaire menée par le milieu de la distance qui sépare les deux points. Les coordonnées de l'un des points seront a et 0, celles de l'autre, — a et 0. L'intensité lumineuse en un point de l'espace sera proportionnelle au carré du module de

gian Q—iati

Cette différence étant égale à 2 cos au, l'intensité est proportionnelle à co%^au. Les minima d'intensités auront lieu pour

(2K+ l)Tr

ils seront régulièrement espacés et leur valeur sera nulle. Ils sont dus à l'interférence des rayons. Les maxima seront régulièrement espacés et égaux entre eux ; ils correspondent à

Kt:

DIFFRACTION 169

116. Cas de deux ouvertures ou de deux écrans circulaires. — En désignant par I l'intensité lumineuse en un point lorsqu'on a une seule ouverture et par 2a la distance des centres des deux ouvertures, l'intensité donnée par les deux ouvertures sera proportionnelle à

I ces ^au.

Les variations du premier facteur détermineront un système de franges concentriques ; les variations du second donneront lieu à des frange^ rectilignes.

117. Cas de deux fentes rectangulaires. — D'après le §111 l'intensité résultant d'une fente de largeur 2b et dont la hauteur est relativement grande, est proportionnelle à

/sinbu

bu

Par conséquent, on aura pour deux fentes égales distantes de ia,

/siniiA- ,

Les minima d'intensité, qui seront nuls, auront lieu pour

Kz (2K + 1) -

b 2rt

.\ux valeurs de u données par la première égalité correspondent des franges de diffraction, aux valeurs données par la seconde correspondent des franges d'interférence. Comme a est plus grand que b, les franges d'interférence sont plus rapprochées entre elles que les franges de diffraction et entré deux de ces dernières se trouvera toujours un certain nombre des premières.

118. Cas de n points en ligne droite et équidistants. — Désignons par 2« la distance de deux points consécutifs ; prenons pour axe des x la droite qui passe par tous les points et pour origine le premier des points. Les abscisses seront :