fl, 4a, 2 (h — 1) a
et l'intégrale dont le carré du module est proportionnel à l'intensité deviendra
Les termes de cette somme forment une progression géométrique dont la raison est e^'"" ; la valeur de cette somme est donc
g 2niau i
g 2 tau i
On ne changera pas le module de cette fraction si on la multiplie ou si on la divise par des quantités dont le module est l'unité. Multiplions le numérateur par e-"'"" et le dénominateur par e-'""; nous obtiendrons,
expression que l'on peut écrire
sm au
L'intensité en un point sera proportionnelle au carré de cette quantité :
sin hiau ^ sin -au
DIFFRACTION 171
Étudions celte fonction. Elle est périodique, car si nous
augmentons u de -■> au augmente de -k et nau de rm ; donc
la valeur absolue des sinus ne change pas. Pour les valeurs de u données par
na
le numérateur s'annule et la fonction elle-même devient nulle à moins que le dénominateur ne s'annule en même temps que le numérateur, ce qui a lieu pour les valeurs de K qui sont des multiples de n. Pour avoir la valeur que prend la fonction pour les valeurs deK multiples de n, il nous suffit, puisque la fonction est périodique, de chercher ce qu'elle devient quand on y fait K = o ; on a dans ce cas,
sin ^nau n^a^u^ „
L'intensité est proportionnelle à tï^ ; c'est un maximum absolu de cette intensité, car chaque terme de la somme (1 ) ayant pour module une quantité au plus égale à 1, le module de la somme est au plus égal à n et par suite l'intensité a pour valeur maximum une quantité proportionnelle à n?. — Nous appellerons maxima principaux ceux qui correspondent à une intensité proportionnelle à n^.
Entre deux de ces maxima la fonction (2) s'annule ni fois, et entre deux zéros consécutifs elle passe par un maximum au moins ; nous aurons donc au moins n — 2 maxima secondaires. Il ne peut d'ailleurs y en avoir davantage. En effet, la fonction est un polynôme entier de degré n — 1 en cos au ; sa dérivée par rapport à cos au sera de degré «-2 et n'aura
que H-2 racines à chacune desquelles correspond un maximum ou un minimum.
Les maxima secondaires sont très petits et d'autant moins apparents que n est plus grand. En effet, on a,
s'in'^ nau 1
sin^aw sin-aw
Si sin au a une valeur finie, le second membre de l'inégalité et par suite le premier sont très petits par rapport à n^. Quand sin au est petit, c'est-à-dire pour les valeurs de m
voisines de — '- , les maxima secondaires qui sont alors a
voisins des maxima principaux sont encore difficilement observables. Dans ce cas aw étant voisin de Kr, nous pouvons, à cause de la périodicité de lafonction, supposer «m très peu différent de zéro, et remplacer sin au par l'arc ; nous aurons pour le facteur d'intensité
sin- nau a^u^
Le calcul de ce facteur montrerait que le premier maximum secondaire est 20 fois plus petit que le maximum principal et le second 60 fois plus petit.
119. Réseaux. — Dans un réseau nous avons n fentes d'égale largeur 26, parallèles et placées à une distance 2a les unes des autres. Le facteur d'intensité d'une seule fente étant
sin^ÔM
celui de n points équidistants
,„. sin^ nau
DIFFRACTION 173
l'intensité donnée par le réseau sera proportionnelle au produit de ces deux facteurs. Comme les fentes ont une grande hauteur relativement à leur largeur, on n'observera les franges que dans un plan perpendiculaire à la longueur des fentes.
On devrait donc observer les maxima dûs aux deux facteurs, mais comme n est généralement très grand, les maxima principaux dus au facteurs (2), seront seuls visibles. Pour ces maxima, on a
Kx a
et l'intensité est proportionnelle à
Kôtt
sin
K'^Tt^è^
Cette quantité contenant K- au dénominateur les maxima principaux diminueront d'intensité quand on s'écartera de la normale au plan du réseau.
Si - est très petit, le produit K - sera plus petit que - pour
un grand nombre de valeurs de K. Dans ce cas le numérateur de (3) ira constamment en décroissant et comme on ne peut observer plus de 6 ou 7 maxima principaux, ils iront en décroissant d'intensité. *
Quand - n'est pas très petit, le produit K - peut devenir
plus grand que - pour des valeurs de K inférieurs a 7 et
a'ors les maxima principaux ne décroissent pas régulièrement, le numérateur de (3) oscillant entre 0 et 1.
Si le quotient - est commensurable, il existe une valeur ^ a
de K qui annule sin — '-', par conséquent, le maximum principal correspondant manquera. Ainsi, si - =: -, tous les maxima principaux d'ordre pair manqueront. Dans ce cas particulier, sin a pour valeur absolue l'unité quand K
est un nombre impair. Les maxima principaux d'ordre
impair seront proportionnels à ^; ils iront en décroissant
régulièrement.
Remarquons que l'intervalle plein qui sépare deux fentes est égal à 2rt — 26 ; si donc nous changeons 26 en 2a — 26, c'est-à-dire 6 en a — 6 dans nos formules d'intensité, nous aurons l'intensité résultant d'un nouveau réseau ne différant du premier qu'en ce que les espaces opaques remplacent les fentes et réciproquement. En changeant 6 en a — 6 dans
sin ! nous obtenons
. K frt — 6)7: . /^ K6it\ , . K67t sin — ^ — =: sin Ktt I = ± sin
Par conséquent la formule (3) devient
, 6Kti a
KV [a — />)a'
Nous aurons donc la même loi de décroissance pour les maxima principaux ; résultat conforme au théorème de Babinet.
DIFFRACTION 173
120. Phénomènes de diffraction en lumière blanche. — Dans notre étude, nous avons toujours supposé 1 constant, c'est-à-dire que nous supposions la lumière homogène. Si nous opérons avec la lumière blanche, la position des maxima d'intensité dépendra de X ; nous aurons donc des franges colorées. En particulier dans le cas des réseaux, la déviation étant très considérable, nous aurons des spectres complets séparés par des intervalles obscurs.
CHAPITRE V POLARISATION ROTATOIRK. —DISPERSION 121. Pour trouver les équations
^^1 ^ dfi~2j dx dyl,
d\ sry d dWo
P rf^ — 2j dx dX,i
du mouvement d'une molécule dans un niilipu élastique (32), nous avons admis (14) que les quantités D^r, Dy, Ds- étant de l'ordre du rayon d'activité moléculaire, nous pouvions, dans les expressions de D?, Dr,, Dî;, négliger les termes contenant Da;2, Dy'-, Ds^-. Il en résultait que D?, Dt), D^ étaient des fonctions linéaires des neufs dérivées partielles de \, t|, X, par rapport aux variables ,r, y, z, et que W^ était une fonction homogène et du second ordre par rapport à ces neuf dérivées.
Nous avons ensuite (41) cherché ce que devenaient les équations (1) dans le cas des milieux isotropes, et nous avons vu (42) que le mouvement des molécules dans un tel milieu se
propageait avec une vitesse constante
Or l'expérience démontre que quand la lumière traverse un milieu isotrope autre que l'éther dans le vide, sa vitesse dépend de sa longueur d'onde X ; nous sommes donc conduits à penser que l'hypothèse du § 14, qui n'est justifiée par aucune considération théorique, doit être rejetée quand nous considérons la propagation de iajumière dans un milieu pondérable. Si nous abandonnons celte hypothèse les quantités D^, Dv), D^, contiendront les dérivées des divers ordres de l, 7), ^ par rapport à X, y, 3-, et, par conséquent, la fonction W^ qui est homogène et du second degré (13) en D?, Dï), DÇ, sera homogène et du second degré par rapport aux dérivées partielles des divers ordres de?, ?], C- Nous allons montrer que les équations du mouvement d'une molécule, en prenant pour Wj une telle fonction, expliquent le phénomène de la dispersion et celui de la polarisation rotatoire.
122. En désignant par U la fonction des forces relative aux forces extérieures et intérieures qui s'exercent sur les molécules d'un volume R limité par une surface S (/iff. 18), nous avons trouvé (27), par l'application du principe de d'Alembert et du principe des vitesses virtuelles, l'équation
.U -J .ch 1^-, .;+ — .-,+ — .Çj = 0,
qui doit être satisfaite quels que soient S?, St), 8Ç.
La partie de la fonction U qui correspond aux forces intérieures est
fzWd-i,
et celle qui est relative aux forces extérieures qui s'exercent sur la surface de séparation S est
Px. Pj/i P; désignant les composantes suivant les trois axes de la pression qui s'exerce sur l'élément de surface du». En remplaçant SU par la somme de ces deux quantités l'équation (2) devient
f{PJl + P,M + P-M) do> +JzWdT —
Gomme cette équation doit être satisfaite quels que soient Si, 3t|, Si; nous pouvons, en particulier, supposer Sri ^ 3^ i= o, et nous avons l'égalité
(3) / P^S^rfoj + / SWc/t — / ^ Sîp^^T = 0,
qui devra avoir lieu quel que soit 3;.
123. U s'agit de transformer le second terme de cette égalité. La fonction W est, en général, une fonction des dérivées partielles des divers ordres de 1, r,, X,. Dans un déplacement virtuel quelconque donné au système chacune de ces dérivées
varie, mais dans le cas où l'on a, comme nous l'avons supposé, Sy| = s;; = 0, il n'j' a que les dérivées partielles de; qui changent de valeur. Par conséquent, l'accroissement 8W de la fonction W ne dépendra que des accroissements des diverses dérivées partielles de l. Dans le but de simplifier les calculs, nous admettrons que les seules dérivées partielles de ; qui entrent dans W sont -7- et -t-tj dérivées que nous iiourrons représenter sans ambiguïté par ;' et l". Nous avons alors,
et, par suite
y^sw^x^y^-fsiwx+y'^sr
cIt.
On sait, et nous avons rappelé celte propriété au S 30, que l'on a
et
d dW ,
dx rt;
Cette dernière égalité devient, en faisant subir à la seconde intégrale du second membre une transformation analogue,
En additionnant les seconds membres des égalités (4) et (S) et en remplaçant dans (3) la seconde intégrale par cette somme, nous obtenons une égalité contenant des intégrales étendues à la surface S et des intégrales étendues au volume R. En représentantla somme des intégrales doubles par I, l'équation (3) devient
d dW d^- dW . d-'l\ ., ,
dx dl' dx^ dX'
et, comme elle doit être satisfaite, quel que soit %\, l'élément différentiel placé sous le signe d'intégration étendu au volume doit être nul. Nous aurons donc
^ dt^ ~~ dx dl + f/.«3 dl" '
Cette équation devient, en désignant par W, le terme du premier degré et par W, le terme du second degré dans le développement de W par rapport aux puissances croissantes de DE, Dt„ DÇ,
^ dC' ~ dx dl' '^ dx' (CC ~ dx d'/ ^ dx' C"
Mais DE, Dt|, Di^ étant du premier degré (14) par rapport aux dérivées partielles de ;,' t,, Ç, il en sera de même de W, ; les dérivées de cette fonction par rapport à " et \" seront des constantes et l'équation précédente se réduit à
P dfi ~ dx d( + dx' rf?" "
C'est la première des équations du mouvement d'une molécule ; les deux autres s'obtiendraient de la même manière.
POLARISATION ROTATOIP.E. — DISPERSION 181
Quant à la somme d'intégrales que nous avons de'signée par I, elle nous donnerait la valeur des pressions qui s'exercent sur la surface S. Nous ne chercherons pas ces pressions.
124. Équations du mouvement. — Nous sommes donc conduits à la règle suivante.
Les équations du mouvement s'écriront
Prf^^-P' prfr^-^' p;^-^-
P, Q, R étant des polynùmeS linéaires par rapport aux dérivées des divers ordres de l, tj, Ç et formés comme il suit :
Pour former P, on différentiera Wo par rapport à chacune des dérivées partielles de ; qui y entrent. On différentiera la dérivée de Wj ainsi obtenue : par rapport à a;, y et z, de la même manière que l'a été la dérivée partielle de \ qui y entre. Par exemple on différentiera :
rfW., „ .
— ^ une fois par rapport a x,
y„ ^ deux fois par rapport a x,
fAV.,
-— -^ une fois par rapport à x et une fois par rapport
à y, etc.
On ajoutera ensuite toutes les dérivées ainsi obtenues après avoir affecté du signe -f- les dérivées d'ordre pair et du signe — les dérivées d'ordre impair. On aura donc :
(kc LÏiJ^ "~ dy d\ij ~ dz cn^ï ^ cte2 d\'!, + ' " •
d-^ rfW, , d^ rfW
dxdy d\xy ' ■ ■ ■ dx^ dT^'xa.
iSi THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
On fiirmerait le polynôme Q de la même manière en différentianl W^ par rapport aux dérivées partielles de-r\.
Dans quelques cas particuliers, l'expression du polynôme P se simplifie. Ainsi, si le milieu élastique est isotrope, les dérivées d'ordre impair n'entrent pas dans P. En effet, dans un tel milieu, les équations du mouvement ne doivent pas changer quand on change à la fois les signes de .c, y, a, ;, -r^, ^.
Or, quand on fait ce changement, -7-^ change de signe ;
par conséquent, les différents termes de P doivent aussi changer de signe. Cela a lieu pour toutes les dérivées d'ordre pair des ; par rapportas;, y, z, mais les dérivées d'ordre im-
pair comme -t—^^ , , 1 conservent la même valeur puisque
leurs numérateurs et leurs dénominateurs changent de signe en même temps. Ces dérivées ne pourront donc entrer dans l'expression du polynôme P relatif à un isotrope.
Quand le milieu élastique a un centre de symétrie, les équations du mouvement ne doivent pas changer quand on change les signes de x, y, z, l. V|, C Dans ce cas encore, le polynôme P ne devra contenir que des dérivées d'ordre pair.
125. Polarisation rotatoire du quartz. — Le quartz cristallisant sous une forme hémiédrique du système rhomboédrique, les cristaux de quartz ne possèdent pas de centre de symétrie.
Si nous admettons que la disfribulion de l'éther lumineux dans un corps pondérable est identique à celle des molécules matérielles qui conslituent le corps, l'éther contenu dans le quartz sern un milieu élastique dépourvu de centre de symétrie.
POLAI'.ISATION ROTATOIRE. — DISPERSION 183
Par conséquent, le polynôme P qui entre dans les équations (lu mouvement des molécules d'éther propageant la lumière dans le quartz, pourra contenir des dérivées partielles de ;, T,, Ç, d'ordre impair. Nous allons montrer, en nous plaçant dans des conditions particulières pour éviter des calculs trop longs, que la présence des dérivées du troisième ordre suffit pour rendre compte des phénomènes de polarisation rotatoire que présente le quartz.
Considérons une onde dont le plan est perpendiculaire à l'axe du cristal. En prenant pour plan des xy un plan parallèle au plan de l'onde, les déplacements ;, ■r\, ^,des molécules d'éther ne dépendront que de 2 et du temps t, et, par suite, les dérivées partielles des divers ordres de ;, t), Ç par rapport à a; et à y seront nulles. De plus, comme les vibrations sont transversales, la condition de transversalité, 0 ^ o, exige que l'on ait identiquement î;/ =r o. Par conséquent, Wj sera une fonction homogène et du second degré des dérivées partielles du premier ordre ;;, T|; et des dérivées partielles d'ordres supérieurs de ;, t„ l, par rapport à z. Désignons par W^ l'ensemble des termes de Wo qui sont homogènes par rapport aux dérivées partielles du premier ordre, et, pour simplifier (1), supposons que les autres termes de W^ soient nuls à l'exception du suivant :
En appliquant la règle que nous avons donnée (124) pour la formation des seconds membres des équations du mouvement,
(1) Voir plus loin le chapitre relatif à la doulilc réfraction dans les milieux hémiédriques, où nous revenons sur cette question avec plus de détails.
18i THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
nous obtenons pour ces équations :
^ dt^" 2j dx d^!c ^f dz^ '
d\ Y d rfW^ (£-'g
P £^<2 — ~ Zj ±x d-t^'^ ~ "' dz^'
Les termes des seconds membres provenant 'de W^ seront des de'rivées partielles du second ordre de ^,71,?, multipliées par un coefficient constant. Admettons que dans la première équa-
tion ces termes se réduisent à -r-4 et que, dans la seconde,
dz^ ^
ils se réduisent à -7-5 ; nous aurons alors pour les équations du mouvement :
(*) ?di^ = dr^ + ''d^'
Cherchons à satisfaire à ces équations en posant
l — ke'^
^iz-yt)
Les dérivées partielles de ? et vj qui entrent dans les équations du mouvement auront pour valeur
POLARISATION ROTATOIRE. — DISPERSION I8,ï
En portant ces valeurs dans les équations (1) et (2) et en supprimant les facteurs communs aux deux membres, nous obtenons ,
(3) A (pV2 — 1) = aB
(4) B(pV2-l) = -aAÇ-
En divisant ces équations membre à membre nous aurons ,
égalité que l'on peut mettre sous la forme
A2 = — B2, d'où
A = ± Bi.
Nous pourrons donc satisfaire aux équations du mouvement en prenant pour ? et t) les parties réelles de
t.=meV"-'",
■ni
OU de
Le premier sj'stème de solutions nous donne pour les déplacements de la molécule dans le plan z := o, des expressions de la forme
^, = rcos (ïï-|- -f),
7), ^ rsin(a< -|- cp).
Le second système, nous donne pour les déplacements dans le même plan
l^ = — )-COs(a^+ cp).
T], = ?'sin {y.t -\- (f).
Pour obtenir la courbe décrite par la molécule dans le plan des œ, y, il nous suffit d'éliminer t entre les valeurs de i et vi. Nous aurons, en additionnant les carrés de ?, et t), et les carrés de l., et r,, les deux équations,
Ces équations montrent que dans les deux cas la trajectoire de la molécule sera un cercle ; mais, les valeurs de ;, et de l., étant de signes contraires ces deux cercles seront parcourus en sens contraires. Par conséquent, une onde plane qui se propage dans un cristal de quartz peut être considérée comme se dédoublant en deux ondes planes polarisées circulairement
l'une dans un sens, l'autre en sens contraire. Il nous suffit maintenant de montrer que la propagation de ces ondes se fait avec des vitesses différentes pour que la polarisation rotatoire du quartz soit expliquée.
Pour avoir ces vitesses faisons successivement dans l'une des formules (3) ou (4), A = Bt et A := — Bi : nous obtiendrons :
pV3'-l = «Ç;
d'où nous tirons pour les carrés des vitesses V^ et V^ des deux ondes polarisées
(5) vî=i-ff,
(6) vi=i+^f-
Puisque a n'est pas nul, nous avons pour V, et V2 des valeurs différentes ; par conséquent, dans la propagation dans le quartz d'une onde plane polarisée, le plan de polarisation de cette onde doit tourner.
126. Des valeurs que nous venons de trouver pour les vitesses de propagation des ondes polarisés circulairement, il est facile de déduire la loi de Biot sur le pouvoir rotatoire du quartz, c'est-à-dire de montrer que ce pouvoir rotatoire varie en raison inverse du carré de la longueur d'onde.
En désignant par e l'épaisseur de la lame de quartz traversée par les rayons lumineux, la différence de marche de ces rayons
à la sortie de la lame sera
V étant la vitesse de propagation dans le vide.
Or, cm sait que la rotation du plan de polarisation est égale à 360" quand la différence de marche est égale à la longueur d'onde. Par conséquent, l'épaisseur d'une lame de quartz qui fait tourner de 360" le plan de polarisation est donnée par la formule
-rv) = -
d'où
En retranchant l'une de l'autre les égalités (o) et (6), nous obtenons
d'où nous tirons
Vo — V, 4it a
L'expression de e devient, en y portant cette valeur de
