tV a

Comme la valeur de a est très petite, nous pouvons dans les

valeurs de V? et de V| négliger le second terme devant le

premier et on a V, = Vo = -7=- En remplaçant V, et V, par

cette valeur dans l'exprepsion précédente, nous obtenons

L'épaisseur capable de faire tourner le plan de polarisation de 360" est donc proportionnelle à X- ; on en déduit immédiatement que la rotation produite par une lame dont l'épaisseur est égale à l'unité varie en raison inverse du carré de la longueur d'onde.

Des expériences très précises ont montré que cette loi n'est pas rigoureusement vérifiée ; ce résultat ne doit pas nous surprendre puisque les calculs que nous avons faits ne sont qu'approximatifs.

127. Polarisation rotatoire des cristaux et des dissolutions. — Il existe un certain nombre de substances cristallisées qui présentent, quoique à un degré moindre que le quartz, la propriété de faire tourner le plan de polarisation de la lumière. Comme jusqu'ici, tous les cristaux pour lesquels on a constaté cette propriété, sont des cristaux hémièdres, on peut leur appliquer l'explication que nous avons donnée du pouvoir rotatoire du quartz. Mais, on connaît un grand nombre de substances organiques dont les dissolutions jouissent du pouvoir rotatoire et, dans ce cas, l'explication du phénomène devient plus difficile, les liquides se comportant en général comme des corps isotropes. On n'a pas trouvé d'ailleurs, une explication satisfaisante et. nous sommes obligés d'admettre que ces substances organiques détruisent l'isotropie des liquides et que leurs dissolutions, qui ont une infinité d'axes de symétrie, n'ont cependant pas de centre de symétrie.

128. Explicatioa de la dispersion. — Nous ne nous occuperons pour le moment que des corps isotropes ou des corps ayant un centre de symétrie. Dans ce dernier cas nous prendrons le centre de symétrie pour origine des coordonnées. Les seconds membres des équations du mouvement ne contiendront alors que des dérivées partielles d'ordre pair des l, i\, Z, par rapport à x, y, z.

Considérons une onde plane se propageant dans un tel milieu et prenons pour plan des a-y un plan parallèle au plan de l'onde. Les déplacements ç, y). l, ne dépendant que de z et de t, les seules dérivées partielles de ces quantités qui entreront dans les seconds membres des équations du mouvement seront les dérivées partielles d'ordre pair par rapport à z. En admettant la transversalité des vibrations, la condition 0 = o nous donne pour la valeur de l! l'identité Ç-' =: o ; par conséquent, les dérivées partielles de ^ sont identiquement nulles et les seconds membres deséqualionsdumouvementne peuvent contenir que les quantités

dz-^' dz'>' dz^' ' ' ■' dz'^' dz*' dz^' ■ ■ ■ ■

Prenons la première des équations,

Cette équation ne doit pas changer par la substitution de — y h y et de — tj àTjdans le cas des corps isotropes ou dans le cas des corps possédant un centre de symétrie quand on prend ce point comme origine des axes. Or, le premier memliro de l'équation ne changeant pas de signe par cette substitution,

POLARISATION ROTATGIRE. — DISPERSION 191

les dérivées partielles de -r^ ; -r^j -y^,) • • • dont le signe

changerait, ne doivent pas entrer dans le polynôme P. Par conséquent le second membre de l'équation ne peut contenir que les dérivées de ^ En nous bornant aux dérivées d'ordre inférieur au huitième, celte équation devient

' dt^ dz- ^ dz'' ~ dz^

Un raisonnement identique nous montrerait que la seconde équation du mouvement des molécules d'une onde plane se propageant dans un milieu isotrope ou un milieu à centre de symétrie se réduit à

d% d\ , ^ d\ , cZ%

Pd^^'^dT^-^^dF^+'d^^-

Si nous cherchons à satisfaire à ces équations par des expressions de ; et Yj de la forme suivante

'; = Ae ^

■n = Be >•

nous obtiendrons deux équations de condition contenant la vitesse V de propagation. Pour montrer que V dépend de la longueur d'onde X de la radiation, il nous suffit de prendre l'une de ces équations. En calculant les dérivées partielles de l et en portant les valeurs trouvées dans la première des équations du mouvement, nous obtiendrons, après avoir divisé par le facteur commun aux deux membres

Ae *■ >

la relation suivante :

^v = « + 'Cf)+Kf)

pV2 = a ■

L'indice de réfraction n étant proportionnel à l'inverse de la vitesse, nous aurons une quantité proportionnelle à n en

prenant la puissance — - du second membre de cette dernière relation. Par conséquent, nous pouvons écrire:

Cette formule, trouvée par Gauchy, nous montre que l'indice de réfraction varie avecla longueurd'onde et que, par conséquent, les diverses radiations d'une lumière hétérogène seront inégalementdéviées. La comparaison des valeurs de« calculée par cette formule avec les valeurs trouvées par l'expérience, a montr(5 qu'il y a une concordance très satisfaisante pour toutes les radiations lumineuses. Les résultats de l'expérience sont déjà suffisamment bien représentés quand on ne prend que les deux premiers termes delà formule.

129. Théories diverses de la dispersion. — La théorie de la dispersion que nous venons d'exposer suppose que, lorsque la lumière traverse un milieu pondérable, les quantités de l'ordre du carré du rayon d'activité moléculaire ne sont pas négligeables. Puisque nous pouvions négliger ces quantités quand, dans les chapitres qui précèdent, nous ne nous occu-

PllL.VUISATION ROTATOIRK. — DISPERSION 193

pions que de la propagation de la lumière dans le vide et que nous n'envisagions que l'action de l'otlier sur lui-même, nous devons conclure que la matière agit sur les molécules d'éther, et que le rayon d'activité des molécules matérielles est incomparablement plus grand que celui des molécules d'éther. Cette action de la matière sur Tétheravait déjà été admise par Fresnel qui supposait que l'éther engagé dans les milirux pondérables avait une densité constante mais plus grande que dans le vide. Plus tard, Cauchy, dans le but d'expliquer ladispersion, admit implicitement que les molécules matérielles sont entraînées par les molécules d'éther et qu'elles vibrent avec la même amplitude. Bien ipie cette dernière hypothèse puisse paraître peu vraisemblable, il ne faut pas se hâter de la rejeter ; c'est ainsi qu'un corps llottanl à la surface d'un liquide, participe, par entraînement, aux mouvements qui sont impiimés au liquide. En tout cas c'est cette hypothèse qui a conduit Cauchy à l'analyse du n" 128 dont nous avons vu l'accord avec l'expérience.

Après Cauchy, Briot reprit l'étude de la dispersion. Dans une première théorie, il admit l'entraînement de la matière par l'éther. mais il supposa que les amplitudes des vibrations des molécules matérielles étaient incomparablement plus petites que les amplitudes des molécules d'éther. 11 résultait de cette hypothèse, que dans les calculs on pouvait considérer les molécules matérielles comme fixes par rapport aux molécules d'éther. Dans ces conditions, les seconds membres des équations du mouvement d'une molécule d'éther contenaient, outre les dérivées secondes de l, tj, Ç, ces quantités ellesmêmes. La vitesse de propagation du mouvement vibratoire dépendait alors de la longueur d'onde, et l'indice de réfraction

194 THÉORIE MATHÉMATIQaE DE LA LUMIÈRE

était donné par une formule de la forme