M = A + BX

Mais, cette formule se trouvant en contradiction avec les résultats de l'expérience, Briot fut conduit à rejeter cette théorie et en proposa une autre que nous allons exposer.

130. Théorie de Briot (1). — Dans cette théorie, Briot, considérant les milieux pondérables comme formés de mole'cules matérielles séparées les unes des autres, admet que la densité de l'éther engagé dans ce milieu est d'autant plus grande que la molécule d'éther est plus proche d'une molécule matérielle. Il en résulte que cette densité p est une fonction des coordonnées de la molécule considérée.

Jusqu'ici, nous avons supposé constante la densité de l'éther et au §33 nous avons montré que dans cette hypothèse et lorsqu'on néglige les quantités de l'ordre du carré du rayon d'activité moléculaire, le mouvement d'une molécule d'éther était donné par trois équations dont la première est

En admettant (46) que l'on a v = — <j. cette équation se réduit à

(1) Nous avons conservé le nom de Ihéorie de Briot à l'explication que nous allons développer, parce que Briot est le premier qui ait ctierclié à fonder une théorie complète da la dispersion sur l'hypothèse de la périodicité de l'étlier. Mais le mode d'exposition que nous allons suivre diffère absolument c'e celui de Briot et se rapproche bien davantage des idées de M. Sarrau.

Le coefficient — 2;a est positif, car la vitesse de propagation des vibrations transversales est réelle et on a vu que cette vitesse est donnée par la formule

Par conséquent, on pourra, par un choix convenable de l'unité de force, faire en sorte que Ton ait — Sa = -}- 1- La première des équations du mouvement devient alors

On sait qu'il est facile de trouver une solution de cette équation quand p est une quantité constante, mais la complication du problème serait singulièrement augmentée si p dépendait des coordonnées de la molécule vibrante. Pour concilier l'hypothèse fondamentale de la densité variable de l'éther avec les exigences du calcul, nous admettrons en outre que le rayon d'activité moléculaire de l'éther est très petit, et que, dans l'intérieur d'une sphère de rayon égal au rayon d'activité moléculaire, la densité peut être regardée comme constante. Il en résultera que dans cette sphère le mouvement d'une molécule est donné par trois équations analogues à l'équation (1). Nous allons chercher, sans nous attacher à suivre le mode d'exposition deBriot, comment ces hypothèses peuvent rendre compte de la dispersion dans les corps cristallisés et dans les corps amorphes.

131. Cas des corps cristallisés. — On sait, qu'en s'appuyant sur des considérations dont l'idée est due à Bravais, on peut considérer les corps cristallisés comme formés de mo-

lécules matérielles occupant les sommets de parallélipipèdes égaux et juxtaposés. Les faces de ces parallélipipèdes formeront trois systèmes de plans que nous pouvons représenter par les équations

(1) ax -\- by -j- c:: = dm

(2) dx -\- h' y -)- c z = d'ni

dans lesquelles m, tn' , m" seront des entiers variant de — x à -|- 00 . Les valeurs de x, y, z satisfaisant à ces trois équations seront les coordonnées d'un sommet d'un parallélipipède. Prenons un de ces points P et donnons à ses coordonnées des accroissements a, j5, y satisfaisant aux équations suivantes

(4) rta + 5,S + cy = d

(6) d'i. -\- i"|îl -|- c"y := o.

Les deux dernières équations montrent que le point P'de coordonnées a; -[- ^, y + p. ~ + y estsitué dans les plans des systèmes (2) et (3) qui passent par le point x, y, z. De l'équation (-4), il résulte que les coordonnées du point P' satisfont à l'équation

a{x-^^)^h [y + [ij -f r- (.. + t)=d [m + 1).

Par conséquent le point P' se trouvera dans le plan du système (1) qui est le plus rapprorhé du plan de ce même système passant par le point P. Les points P et P' furment donc les extrémités d'une arête d'un parallélipipède et, par suite, x, fl, y sont les projections de celte arête suivant les trois axes. On verrait de la même manière que les projections a', [i , y'

et, a", fi", y" des deux autres arêtes des parallélipipèdes sont données par des équations qui se déduisent facilement des équations (4), (S) et (6).

132. Ces préliminaires établis, revenons à la théorie de Briot. Soient x, y, j- les coordonnées d'un point quelconque de l'espace ; la densité de l'éther en ce point est une certaine fonction de x, y, z que nous représenterons par F {x,y,z).Si nous donnons aux coordonnées des accroissements a, p, y. nous obtiendrons im nouveau point qui sera évidemment situé par rapport aux sommets d'un certain parallélipipède comme le point X, y, z se trouve situé par rapport aux sommets d'un des parallélipipèdes contigus. Puisque la position de ces deux points par rapport aux molécules matérielles est la même, la densité de l'éther en ces points doit avoir la même valeur. On aura donc

c'est-à-dire que la densité est une fonction périodique des coordonnées.

En donnant aux coordonnées x, y, z des accroissements égaux aux projections des deux autres arêtes des parallélipipèdes, on obtiendra deux nouveaux points où l'éther a la même densité ; par suite on a

La densité p de l'éther dans un milieu cristallisé est donc une fonction triplement périodique des coordonnées.

133. Considérons une onde plane se propageant dans un milieu cristallisé et prenons pour plan des xy un plan parai-

lèle au plan de l'onde. Nous savons que ?, ti, l ne dépendent alors que de z et de t, et qu'il résulte de la condition de transversalité que t, est identiquement nul. La densité étant supposée constante à l'intérieur d'une sphère de rayon égal au rayon d'activité moléculaire, p sera indépendant des déplacements Ç, Ti, l et sera seulement fonction des coordonnées de la position d'équilibre de la molécule considérée. Comme nous voulons seulement pour le moment faire voir l'influence de la périodicité et montrer qu'elle suffit pour expliquer la dispersion nous supposerons pour simplifier, que p est une fonction périodique de z seulement, et par conséquent qu'on la peut développer en série trigonométrique. Nous poserons

p = Lj -f L, cos z -\- . . . -\- M, sin ^ -f- Mj sin 25- -|- . . .

Démontrons que la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction périodique tp soit la dérivée d'une fonction périodique ']/, est que la valeur moyenne de tp soit nulle. Pour cela développons tp en série trigonométrique, nous aurons

<p ^ rtg -|- a, cos^ + «2 cosSs- -|- . . . i| sin c- -f- èo sin23--|- . . .

Si nous donnons à z toutes les valeurs possibles, les fonctions sinus et cosinus qui entrent dans ce développement prendront une infinité de valeurs comprises entre -(- 1 et — 1 ; la valeur moyenne de ces fonctions sera donc nulle, et, par conséquent, la valeur moyenne de cp se réduit à «„. L'intégrale indéfinie de tp sera

i}- = c -|- a^z -)- a^ sin z-\-a2 sin 2;r-|- . . . — b^ cos z — b^ cos 'iz — . . .

Quand la valeur moyenne a^ de tp est nulle, cette intégrale est une fonction périodique de z. La condition énoncée est donc

POLAr.lSATlON r.OT.VTOIRE. — DISPERSION 199

nécessaire ; il est évident qu'elle est suffisante. Nous nous servirons de cette propriété des fonctions périodiques dans ce qui va suivre.

134. Prenons maintenant les équations du mouvement. Par suite de la transversalité des vilirations, l'équation (I) du g 130 devient dans le cas d'une onde plane parallèle au plan des xy,

Essayons de satisfaire à ceUe équation en po?aiil i = e<^' +/'■''■

où a est e'gal à — ^" et où v est une fonction périodique

de z. Nous aurons pour lés dérivées premières et secondes de ; par rapport à t et k z:

-dF = '^'^ rfï = "^'

dr-~ ^ " dz'-~ -^^ dz

En portant ces valeurs des dérivées secondes dans l'équation du mouvement, nous avons

équation diflërentielle qui donne la valeur de r en fonction de 3- et de ;a. Remarquons que, par suite de l'unité de longueur adoptée, la quantité a est très petite. En effet, cette unité, choisie de manière que la période de la fonction périodique p soit

finie, est comparable avec les dimensions du parallélipipède élémentaire, c'est-à-dire très petite par rapport à X ; par conséquent X sera exprimée par un nombre très grand, et \x, qui est l'inversede 1, sera un nombre très petit. Il en résulte que, si nous développons v suivant les puissances croissantes de |jl, nous obtiendrons une série dont les termes tendront rapidement vers zéro ; il nous suffira donc de calculer les coefficients des premiers termes de cette série pour avoir une valeur de V suffisamment approchée.