Voyons comment on obtiendra ces coefficients

Nous pouvons écrire le développement de u,

i',, tJj. l'j, . . . étani comme v des fonctions périodiques de z ; nous en tirons

dv dv. . .-, dv.^ , , dv., , , dv, ,

dz ' dz ' ' dz ' ' dz ' ' dz ^

En portant ces valeurs dans l'équation (1), nous obtiendrons dans le premier membre un dévelojipement ordonné suivant les puissances croissantes de a. Ce développement devant être nul quel que soit a, les coefficients des diverses puissances de ij. doivent se réduire à o. Nous avons donc

POLARISATION ROTATôlIii:. — DISPERSION 201

La première de ces équations nous donne

Vf = constante.

De cette égalité et de l'équation (3), il résulte que —r^ est

une fonction périodique de z, puisque, par hypothèse, p est une fonction périodique. D'après la propriété des fonctions périodiques démontrée précédemment il faut, pour que v^soit

une fonction périodique, que la valeur moyenne de -r^ soit '^ ' dz

nulle. Par conséquent la valeur de f , est égale à la racine carrée de la valeur moyenne de p changée de signe. La valeur de Vf se trouvant ainsi déterminée, l'équation (3) donnera par intégration l'expression de v^.

Dans cette expression, la constante d'intégration est arbitraire. Pour. avoir sa valeur qui est la valeur moyenne de r.,, nous aurons recours à l'équation (4). La valeur moyenne de

—2 doit être nulle pour que ^'3 soit une fonction périodique ; par conséquent la valeur moyenne du produit r^Vj doit être nulle. Comme i\ est une constante différente de zéro, il faut que la valeur moyenne de r^ soit nulle ; la constante introduite par l'intégration dans l'expression de v.^ se réduit donc à zéro. L'équation (4) permet alors "de trouver l'expression de v^ ; la constante d'intégration se trouverait par la

considération de l'équation (5). En continuant ainsi, on calculerait les expressions des difTérentes fonctions Vf,v.^,v^,..., que l'on veut introduire dans le développement de la fonction V.

136. Cherchons la vitesse de propagation de l'onde plane considérée.

En désignant par v° la valeur moyenne de v, nous aurons

/ vdz = v^z-^-u,

u étant une fonction périodique. Par conséquent, la composante l du déplacement de la molécule d'éther aura pour expression

Le facteur e" est nne fonction périodique de z sur laquelle nous ne savons rien sinon que la période est très petite ; cette période est en effet du même ordre de grandeur que les arêtes du parallélipipède éliminaire. Il en résultera des variations très rapides du facteur e". Il est donc certain que la valeur moyenne du déplacement interviendra seule dans les expériences.

Par conséquent nous devons dans l'expression précédente de ;, remplacer e" par sa valeur moyenne G ; nous aurons alors

? = Ce '^ ' + '■•'.

La vitesse de propagation a donc pour valeur " . V - - 'J^-

L'indice de réfraction n étant inversement proportionnel à la vitesse de propagation, il sera proportionnel au rapport

— -. — Si donc nous désignons par y",, «""j, v"^,... les va-

leurs moyennes des fonctions v^, v.^, v^,..' qui entrent dans le développement de v par rapport aux puissances de ;/, l'indice de réfraction est proportionnel à

iv^ -\- zijio§ -\- iij.-v^ -{- iii^vl -|- . . .

Montrons que cette expression est réelle. L'équation (3) donne pour la valeur de », la racine carrée de la valeur moyenne de — p ; c'est donc une quantité imaginaire. Désignons-làpar — eVr. Quant à la valeur moyenne de î'^, nous avons vu qu'elle était nulle. L'équation (S) nous montre i|ue la valeur moyenne du produit v^ v^ est égale, au signe près, à la valeur moyenne de w| ; f | étant essentiellement positif, il en sera de même de sa valeur moyenne. La valeur moyenne de Vf rj est donc positive, et cette quantité divisée par la valeur

— t'a de V, donnera pour yj une quantité purement imaginaire

— ib. Pour avoir v')^, prenons l'équation (6). Il résulte de cette équation que w, y J est égal, au signe près, à la valeur moyenne de »j l'j. Or, en multipliant le premier membre de l'équation (4) par »3, on obtient

dvn 1 dv?.

Le second membre de cette nouvelle équation étant la dérivée d'une fonction périodique a pour valeur moyenne zéro ; il en résulte, puisque v^ est une constante, que la valeur moyenne deUj »3 est nulle. Il en sera de même de la valeur moyenne de

w, ''4, et par suite de y". Il serait facile de voir que la valeur de v^ est une quantité purement imaginaire — ic. L'indice de réfraction sera donc proportionnel à

et comme p. est inversement proportionnel à l, la valeur de cet indice sera donnée par une formule delà forme

"=A„ + ^ + gi + ...,

formule qui est suffisamment bien vérifiée par l'expérience.

137. Si au lieu de considérer une onde plane, nous voulions traiter le cas général où p est une fonction périodique de X, y, ^, l'intégration des équations du mouvement présenterait de grandes difficultés. A propos de la double réfraction, nous montrerons comment M. Sarrau est parvenu à trouver des fonctions satisfaisant approximativement aux équations du mouvement dans ie cas où p est une fonction périodique des coordonnées. Ces fonctions sont de la forme

r A ^(«■r + Pi' + T--'''"

Yi = Be '' ,

r. ^(ax + py + yy-VO

Ç = Le ''

Pour satisfaire aux équations du mouvement, dans le cas où la densité estconstante, on donnerait à A, B, G, 7., p, y, Vdes valeurs constantes. En prenant pour A, B, G des fonctions périodiques des coordonnées on parvient par approximations

successives à intégrer les équations du mouvement dans le cas où p est variable. Par une première approximation un parvient à l'explication do la double réfraction, par une seconde à celle de la polarisation rotatoirc, cl par une troisième à, celle de la dispersion.

138. Cas des corps amorphes. — Dans les milieux amorphes, les molécules matérielles sont irrégulièrement disposées et la densité de Téther est une fonction des coordonnées oscillant irrégulièrement autour de sa valeur moyenne. Celle fonction est quelconque et pour arriver à intégrer les équations du mouvement il faut faire une hypothèse sur sa forme. L'hypothèse la plus simple consiste à admettre que p est une fonction de la même forme que dans les milieux cristallisés, mais non périodique.

Nous supposerons donc que dans les milieux amorphes p est donné par une fonction de lu forme

p = V R sin [ax -\- by -\- cz -f- d)

où «, h, c sont des nombres quelconques, non entiers, et rfune constante également quelconque. La valeur moyenne de p, autour de laquelle oscillent les valeurs de la fonction p n'esl autre que le terme de la série pour lequel on a« = 6 = e ^ 0 ; cette valeur moyenne est donc égale à

R sin «^

L'application de la méthode de M. Sarrau à la recherche des intégrales du mouvement présenterait dans ce cas de grandes difficultés. On pourra néanmoins trouver les valeurs moyennes de ces intégrales et nous avons déjà montré que ce

206 THÉORIE MATHÉMATHIQUK DE ]A LUMIKRE

sont ces valeurs mo3'ennes qui seules interviennent dans les résultats expérimentaux. L'intégration se ferait d'ailleurs par approximations successives comme dans le cas des milieux cristallisés.

139. Sans traiter complètement la question, il est possible de montrer que dans le cas particulier d'une onde plane parallèle au plan des rcy la valeur de l'indice de réfraction dépend de la longueur d'onde.

La première des équations du mouvement est

P d(^ ~ dz'^'

Nous avons vu (130), que lorsque p est une fonction périodique de z on peut satisfaire à cette équation en posant

(y est une fonction périodique de ^ et les coefficients de son développement suivant les puissances croissantes deix sont données par une série d'équations récurrentes). Puisque nous avons supposé que dans les corps amorphes p avait la même forme que dans les corps cristallisés, nous pourrons satisfaire aux équations du mouvement dans les premiers milieux en prenant pour v une fonction non périodique dont les coefficients de son développement suivant les puissances de \j. seront donnés parla même suite d'équations récurrentes.

Cherchons la valeur moyenne des coefficients du développement pour avoir ensuite la valeur moyenne de;. L'équation (2) du S 135 nous miuitre que r, se réduit à une constante; la valeur de celte constante peut se déduire immédiatement de l'équation (3), car la fonction v.,, quoique n'étant pas une fonc-

POLARISATION ROTATOIRK. — DISPERSION 207

tion périodique, ne diffère d'une telle functidn que par la valeur des coefficients qui entrent sous les signes sinus et cosinus du développementensérietrigonométrique. Gomme il en

est de mémede s. il faut donc que la valeur moyenne de y-^

soit nulle. En désignant par — a laracine négative de la valeur moyenne dep, nous aurons une des valeurs de w, ; v, = — ia. Cette même équation (3) nous montre que la valeur moyenne de ^2 ^st une quantité réelle. En considérant les unes après les autres les diverses- équations on verrait que les coefficients impairs commet, ,v^,... sont purement imaginaires et que les coefficients pairs, v.-,, Vy.. sont réels. Nous allons montrer que ces derniers sont nuls.

L'homogénité exige que dans les milieux amorphes les molécules matérielles soient disposées de la même manière par rapporta chacune d'elles. Chaque molécule est donc un centre de symétrie et si nous prenons un de ces points pour origine des axes, p est une fonction paire, c'est-à-dire conservant le

même signe quand on change « en — z. 11 résulte de l'équa-

dv -, tion (3) que —p est une fonction paire ; par conséquent i\

est une fontion impaire. Les équations suivantes montrent que «3 est paire et i;^ impaire. Les coefficifnts v.-,, v^, i\ sont donc des fonctions impaires dont la valeur moyenne est nulle.

La valeur de moyenne VgSeradonnée parl'équatinn (o). C'est, comme nous l'avons dit, une quantité purement imaginaire. Si nous la désignons par — ih, nous aurons pour la valeur moyenne de r, en nous arrêtant au terme en y.',

t7° z= — iau. — ibii?.

Par conséquent la valeur moyenne de la vitesse de propa-

galion sera

— ia>j. — fôfj.^ a -j- ô[A^

et l'indice de réfraction, inversement proportionnel ci cette vitesse, sera donné par une expression de la forme

n := ttg -\- 6|,iA^ .

Comme ;j. ist inversement proportionnel à la longueur d'onde, on obtiendra enfin

Nous retrouvons doncTexpression de l'indice de réfraction qui s'accorde avec les résultats des expériences.

140. Théorie de M. Boussinesq. Au lieu de supposer, comme Briot, que la densité de l'éther engagé dans un milieu pondérable dépend de la position de la molécule considérée, M. Boussinesq suppose celte densité uniforme. Pour tenir compte de raclion de la matière sur l'élbcr et arriver à l'explication de la dispersion, il introduit dans les équations du mouvement des molécules d'élher un terme complémenlaire F représentant les forces élastiques mises en jeu par celte action. Il admet en outre, que les forces élastiques qui s'exercent entre les molécules d'élher sont les mêmes que lorsqu'on considère l'éther dans le vide. Par suite de ces hypothèses, la première desêquatitms du mouvement devient

Mais, si les molécules d'élher sont soumises à des forces F

résultant de l'action delà matière, réciproquement les molécules matérielles seront soumises à une force égale et contraire due à l'action de l'éther. De plus, les molécules matérielles sont soumises à des forces élastiques F, provenant de leurs actions mutuelles. Par conséquent, si nous appelons p, la densité de la matière et ;, le déplacement d'une molécule matérielle, nous aurons

Les forces élastiques F, dues à l'action de la matière sur elle-même doivent être beaucoup plus petites que celles qui s'exercent entre les molécules d'éther, puisque le son, qui résulte des vibrations de la matière, se transmet avec une vitesse incomparablement plus petite que celle de la lumière. Aussi M. Boussinesq admet-il que l'on peut négliger F, par rapport à F. L'équation du mouvement d'une molécule matérielle devient alors

En remplaçant dans l'équation (1), F par la valeur tirée de celte dernière équation, on obtient :

Le déplacement;, des molécules matérielles doit dépendre des déplacements ;, -q, i^ de l'éther et de leurs dérivées. Mais, comme ces déplacements sont très petits, on peut réduire ç, au premier terme de son développement par rapport à

ces quantités, c'est-à-dire à une fonction linéaire de ;, -r^, Ç et de leurs dérivées.

D'ailleurs, dans certains cas, cette fonction se simplifie. Si d'abord nous prenons le plan de l'onde pour plan des xy ; les dérivées par rapport à ; entreront seules dans les milieux isotropes. De plus ;, ne contient ni y, ni l. En effet, les équations du mouvement ne doivent pas changer quand on y remplace y et -r^ par — y et — r,. Si l'on fait cette substitution dans l'équation (3), le premier membre ne change pas; l'ensemble des deux premiers termes du second membre

conservant aussi la même valeur, il faut que -r^' ne change pas. Celte dérivée, et, par suite ;,, ne doivent donc pas contenir Y], -p Un raisonnement analogue montrerait que c,

ne doit pas contenir l. Par (;onséquent ;, se réduit à une fonction linéaire de ; et de ses dérivées. Encore toutes les dérivées n'entrent pas, car l'origine étant centre de symétrie, les équations ne doivent pas changer quand on change les signes de x, y, z. ;, -fj Ç, ce qui exige que les dérivées d'ordre

impair disparaissent de -^ et, par suite, de;,.

141. Cherchons l'intégrale de l'équation (3) dans le cas d'une onde plane se propageant dans un milieu isotrope. Les dérivées del, tj, Ç par rapport à x et à.;/ étant alors nulles, ;, se réduira à une fonction linéaire de ; et des dérivées de ; d'ordre pair par rapport à j. En négligeant les dérivées d'ordres supérieurs au troisième, nous aurons

et, en portant cette valeur de ;, dans l'équation (3) elle

POLARISATION P.OTATOIRE. — DISPERSION 211

devient, lorsqu'on suppose les vibrations transversales,

Si nous essayons de satisfaire à celte équatiim en posant

nous aurons comme équation de condition, résultant de la substitution dans (4) des dérivées déduites de cette valeur de ;,

d'où

Par conséquent l'indice de réfraction sera proportionnel à la racine carrée de

p + flp, — h^^i? ;

et puisque a est inversement proportionnel à X, n sera de la

forme

L'indice de réfraction dépend donc de la longueur d'onde.

143. La théorie de M. Boussinesq (1) peut se présenter d'une autre manière quand il s'agit des corps isotropes.

Puisqu'il y a action de la matière sur léther, il faut tenir compte de cette action en introduisant dans les équations du mouvement les forces élastiques qui en résultent. Or l'hypo-

(1) Sous celle forme, la Ihéorie de M. Bnussiuesq se rapproche d'une Ibéorie de Helmhollz, où le savant allemand rend compte, non suulement de la dispersion ordinaire, mais de la dispersion anormale et que je regrette de n'avoir pas eu le temps de développer dans les leçons de ce semestre.

thèse la plus simple que l'on puisse faire sur la nature de ces forces élastiques, est qu'elles sont proportionnelles à la différence ;, — ; d^s déplacements de la matière et de l'éther. En désignant par M le facteur de proportionnalité, la première des équations du mouvement de l'éther peut s'écrire

pfi=A|-f+M(?.-?).

Dans le cas d*une onde plane, elle devient

Si on cherche à satisfaire à celte équation en posant

A et B étant des constantes et a ayant pour valeur — ! on obtient pour résultat de la subtitution

(5) — ça-'AV- = — a^A + M (B — A) .

L'équation qui donne le mouvement de la molécule matérielle est,

En y substituant la valeur prise précédemment pour \^, on a,

(6) — p,a2BV2 = M(A — B).

Eliminons A et B entre les équations (o) et (6) pour avoir la vitesse en fonction de a. Pour cela mettons ces équations

SOUS la forme suivante

A [M — a^ (pV^ — i)] =MB, B (M — a2p,V2) MÂ,

et multiplions membre à membre ; nous obtiendrons après simplification,

— a^M (?,V2 -f pV^ — 1) 4- x^p,Va (pV^ l) = 0, ou

M (P + F,) (v^ - ,-q^) = x=p,V^ (pV^ - 1).

Par suite de la grandeur de l'unité de longueur imposée par la forme sous laquelle nous avons pris l'équation du mouvement, a est très petit. Par conséquent l'équation précédente, mise sous la forme

nous donne comme résultat d'une première approximation

P + Pi

Remplaçant V- par cette valeur dans le second membre de l'équation (7), nous obtenons pour seconde approximation

ou, en simplifiant.

Nous obtenons donc encore pour la vitesse, une expression qui dépend de a, et, par suite, de X.

143. Montrons maintenant comment la théorie de M. Boussinesq rend compte de la polarisation rotatoire dans les milieux qui, comme les dissolutions de composés organiques, sont dépourvus de centre de symétrie, mais dans lesquels une direction quelconque est un axe de symétrie.

Puisqu'il n'y a pas de centre de symétrie, la fonction ;, dépend à la fois des dérivées d'ordre pair et des dérivées d'ordre impair des déplacements ;, y,, Ç de l'éther. Mais par suite de l'existence d'axes de symétrie, cette fonction se simplifie. En exprimant que les é(|uations du mouvement ne changent pas quand on fait tourner d'un angle quelconque deux des axes de coordonnées autour du troisième, et en négligeant les dérivées d'ordre supérieur au premier, on trouve pour ?,,

Pour les autres composantes ■r^^ et l, du déplacement de la matière on aura

=«^+KS-f