CHAPITRE VI

DOUBLE REFRACTION

144. — Le phénomène de la double réfraction, observé pour la première fois vers le milieu du xvii° siècle dans le spath d'Islande, fui ensuite reconnu dans toutes les substances cristallisées n'appartenant jias au système cubique. Biot, qui étudia tout particulièrement la double réfraction au point de vue expérimental, divisa les cristaux biréfringents en deux classes, suivant que les phénomènes étaient symétriques tout autour d'une droite ou qu'ils semblaient se coordonner par rapport à deux droites. Les cristaux du premier groupe [cristaux uniaxes) appartiennent à l'un des systèmes cristallins rhomboédrique, hexagonal, quadratique qui possèdent un axe de symétrie cristallographiquc d'ordre supérieur à 2 ; cet axe de symétrie se confond avec l'axe optique du cristal. Les cristaux du second groupe [cristaux biaxes) sont orthorhombiques, clinorhombiques ou anorthiques; les directions de leurs axes optiques ne sont pas en relation immédiate avec les éléments de symétrie de l'édifice cristallin. C'est Haûy qui, le premier, fit remarquer ces importantes relations entre la forme cristalline et la propriété biréfringente.

Les premières recherches théori(jiii's entreprises dans le but d'expliquer la marche de la lumière dans les milieux biréfringents sont dues à Huyghens; elles ne s'appliquaient qu'aux cristaux uniaxes. Elles furent reprises par Young, mais ce dernier, pas plus que Huyghens, ne parvint à une véritable explication du phénomène. C'est à Fresnel qu'était réservée la gloire de trouver l'explication mathématique des lois de la double réfraction dans les cristaux uniaxes et biaxes.

Les travaux de Fresnel ouvraient une voie nouvelle aux recherches des mathématiciens. Cauchy, Lamé, Neumann, Mac-CuUagh et tout récemment MM. Sarrau et Boussinesq, partant de considérations différentes, édifièrent un certain nombre de nouvelles théories.

Nous étudierons successivement ces diverses théories. Auparavant, nous déduirons des équations des petits mouvements dans un milieu élastique, l'existence d'une surface du second degré qui joue un rôle capital dans cette étude et dont l'introduction dans la science est due à Cauchy ; nous voulons parler de ['ellipsoïde de polarisation.

145. — Transformation des équations du mouvement. — l'ar un choix convenable de l'unité de masse, la densité p d'une molécule d'un milieu élastique peut devenir égale à 1. Dans ces conditions, les équations générales du mouvement établies au n° 32 deviennent

dl^ ~ hdx' dli'

{\\ ^__'V-^ fl^w.,

^ ^ df^~ 2j dx ' d-r^^ '

dt^~ Zj

dx d^Jc

Cherchons à satisfaire à ces équations par les valeurs de ?, -ri, Z, de la forme,

où l'on a,

P = ^ (ax + fly + -(Z - \t).

Nous aurons ainsi un mouvement se propageant par ondes planes normales à la droite ayant pour cosinus directeurs a, p, y. En remplaçant dans les équations du mouvement les dérivées partielles de 5, t), Ç, par leurs valeurs tirées des égalités (2J, on obtiendra trois équations de condition entre les quantités A, B, G et la vitesse de propagation V du mouvement. Il est possible de mettre ces équations sous une forme simple.

Les dérivées partielles du premier ordre de ;, ti, l, par rapport aux coordonnées x, y, z contiennent toutes en facteur la

2iir quantité ^r- e*". Ainsi, on a

Ci = Ç aAeP, 'V = X P^'"' ■

Par conséquent Wo, qui est une fonction homogène du second degré de ces dérivées partielles, contiendra en facteur

( — \ e^^. Si donc nous posons.

II sera un polynôme homogène et du second degré par rapport à A, B, C et par rapport à a, p, y.

En dérivant par rapport à A cette fonction "Wj, nous obtiendrons,

D'ailleurs la dérivée de W, par rapport à A peut s'écrire,

dA ~ 2j dli dA'

et, en remplaçant dans cette expression les dérivées par rapport à A des diverses dérivées partielles de ?, t), ^ par leurs valeurs, nous aurons,

dA'~ A ^ 2j"- cr^i ■

En égalant cette valeur de '^ à la valeur (3), et supprimant