CIA

le facteur -:r— e^ commun aux deux membres de l'égalité ob-

tenue, il restera,

De cette égalité nous allons déduire une nouvelle expression

du second membre des équations (1) du mouvement. La

dW,

dérivée -177^ est une fonction homogène et linéaire par rapport dix

aux dérivées partielles des ; ; si donc on y remplace ces

dérivées partielles par leurs valeurs tirées des relations (2),

on aura en facteur la quantité — e^. Nous pouvons alors

poser

dVJ

ff;i ~ X

tp étant une fonction homogène et linéaire par rapport A, B, G et à tx, p, Y, mais ne dépendant pas de .r, //, ». Par conséquent nous aurons

d dW., SîTT „ ^P 2î"Tr p 2îua:

ou

d ^Wg 2rît f/W,

et par suite

V\ d f/W, 2/7rvi «fW,,

2J7r v^ a vv ■>

>^ dx dlJc À .^ (/?

En remplaçant dans le second membre de cette expression la quantité placée sous le signe i] par sa valeur (41, nous obtenons,

"^ d rfWo 1 /2izY p dn .

dx dV^ 2 \ X/ ^ dk '

c'est, au signe près, la valeur du second membre de la première des équations (1).

D'autre part, la première des égalités (2) nous donne,

dt''

par conséquent la première des équations du mouvement conduit à l'équation,

ou,

1 rfn

^^ ~^dK Les deux autres équations du mouvement nous donneraient des équations analogues; par suite les équations (1) peuvent

BV-

GV2

1 rfn

~2 rfC

èire remplacées par le groupe.

On pourrait résoudre analytiquement le système des trois équations précédentes; on obtiendrait les valeurs de V et de A, B, G qui, pour des valeurs données de a, p, y, donnent des déplacements ;, ti, î satisfaisant aux équations du mouvement. On peut également suivre la méthode géométrique indiquée par Cauchy ; c'est cette marche que nous adopterons.

146. Ellipsoïde de polarisation. — Si nous considérons A, B, G comme les coordonnées d'un point, l'équation II = 1, dont le premier membre est homogène et du second degré par rapport à A, B, G, représente une surface du second degré rapportée à son centre ; c'est l'ellipsoïde de polarisation.

Les coordonnées A, B, G de l'extrémité d'un axe de cette surface s'obtiendront en écrivant (ju'en ce point le rayon vecteur est normal à la surface. Les cosinus directeurs de la nor-

, ., , . , , dn du dll , ,

maie étant proportionnels a -rr' ^tt' "ITT' ei ceux du ravon ' ^ «A «B «G

vecteur au point A, B, G, proportionnels aux coordonnées de ce point, A, B, G devront satisfaire aux équations,

LV'liminalidn de A,B,C, entre ces trois équations, ((ui sont line'aires et homogènes par rapport à ces quantités, conduit, comme on le sait, à une équation en S du troisième degré. A cliacune des racines de cette équation correspond un système de valeurs de A,B,G, obtenu en portant la valeur de S dans les équations (6). Or ces équations ne diffèrent des équations (o) qu'en ce que V- a été remplacé par S. Parconséquent la résolution des équations (5) nous conduirait à trois valeurs de V et à trois systèmes de valeurs de A,B,C. En portant ces valeurs dans les égalités (2), nous oljtiendrions trois systèmes de valeurs de ;, tj, Ç, satisfaisant aux équations du mouvement.

Les valeurs de ;, r^, l, ainsi obtenues correspondent à trois directions de déplacements dont les cosinus directeurs sont proportionnels à l, Y|. l. et par suite aux trois systèmes de valeurs de .A,B,C. Ces valeurs, solutions des équations (6), sont proijortionnelles aux cosinus directeurs des axes de l'ellipsoïde de polarisation : par conséquent, les directions correspondantes des déplacements sont perpendiculaires entre elles.

En résumé, la vibration est parallèle A tun des axes de rellipsoide de polarisation, et la vitesse de propagation V = yS ^^l inversement proportionnelle à la longueur de cet axe.

147. De ce qui précède, il résulte que, pour qu'une onde plane se propage dans un milieu élastique anisotrope, en restant plane et perpendiculaire à la même direction a,p,Y, il faut que les déplacements des molécules du plan de l'onde soient parallèles à l'un des axes de l'ellipsoïde de polarisation. . Si la vibration des molécules du plan de l'onde n'a pas lieu suivant une de ces directions, on pourra, d'après le principe de la superposition des petits mouvements, décomposer le

224 THÉOniE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

déplacement de chaque molécule en trois composantes, suivant les axes de rellipsoïde, et considérer l'onde donnée comme formée de trois ondes planes, dont les vibrations seraient parallèles à ces axes. Chacune de ces ondes planes se propagera sans altération et comme leurs vitesses de propagation (les racines carrées des racines de l'équation en S), sont en général différentes, ces ondes se sépareront. Par conséquent, d'après la théorie de l'élasticité, un rayon lumineux, traversant un milieu anisotrope, doit donner naissance à trois rayons ; on devrait avoir une triple réfraction.

Cette conséquence est en contradiction avec l'expérience

qui n'a jamais révélé qu'une double réfraction. Pour mettre

d'accord la théorie de l'élasticité avec l'expérience, on peut

" faire diverses hypothèses sur la constitution du milieu qui

transmet les vibrations lumineuses.

On peut admettre :

1° Que l'éther est incompressible (Presnel) ;

2" Qu'un des trois rayons prévus par la théorie n'est pas perceptible, son intensité étant trop faible (Gauchy) ;

3° Que la vitesse de propagation suivant une direction est nulle. L'ellipsoïde de polarisation, dont les axes sont en raison inverse des vitesses, devient alors un cylindre (Lamé, Neumann, Mac-Cullagh) ;

4° Que l'un des axes de l'ellipsoïde de polarisation, qui devient un hyperboloïde est imaginaire. Le rayon lumineux vibrant suivant la direction de cet axe est alors évanescent.

C'est là sans doute l'hypothèse à laquelle se serait arrêté Cauchy, s'il était revenu, sur la fin de sa vie, à la théorie de la double réfraction.

Par l'étude des diverses théories de la double réfraction.

DOUIil.E RÉFRACTION' 225

nous verrons que ces hypothèses fondamentales, compléte'es quelquefois par des hypothèses secondaires, permettent d'expliquer le phénomène de la double réfraction.

148. Dans les milieux isotropes, la réfraction de la lumière ne donne lieu qu'à un seul rayon réfracte'; cherchons ce que devient dans ce cas particulier l'ellipsoïde de polarisation.

Nous avons vu (24) que dans les milieux isotropes, la fonction Wj se réduit à

W, =• ),K + uH + V02.

Le polynôme K disparaissant des équations du mouvement (33), nous pouvons, sans changer les résultats, supposer que K n'entre pas dans l'expression de AV^. .\dmettons donc que l'on ait X = o et qu'en outre, pour tenir compte ds la transversalité des vibrations, (a et v soient liées (46) par la relation.

La fonction W^ devient alors :

OU. en remplaçant dans cette expression H et 0 par les valeurs trouvées aux n°' 19 et 20,

W2 = a[2;i3-(Hi + 7i; + Ci)^]-

On déduit facilement de cette nouvelle expression, l'équation suivante pour l'ellipsoïde de polarisation.

n = a^y + sa + va)(A2-fB2 4-C2) — ^Ax+B? + Cy)2] =1

c'est l'équation d'un cylindre de révolution tangent à la sphère

suivant la circonférence découpée dans cette sphère par le plan

Aa + BB -f- Cy = 0.

L'ellipsoïde de polarisation se réduisant à un cylindre de révolution, l'un des axes de cet ellipsoïde devient infini, et la vitesse de propagation correspondante, qui est l'inverse de la longueur de cet axe, devient nulle. Les deux autres axes sont égaux au rayon de la sphère. Par suite, on n'a qu'une seule valeur pour la vitesse de propagation de la lumière dans un milieu isotrope, conséquence conforme à l'expérience.

THÉORIE DE FRESNEL

149. Convaincu, par l'étude des phénomènes d'interférence de la lumière polarisée, de la transversalité des vibrations lumineuses dans l'air, Fresnel tenta en s'appuyant sur ce résultat expérimental d'expliquer les phénomènes de la double réfraction présentés par les cristaux à un axe et à deux axes. En admettant que ces vibrations transversales sont normales au plan de polarisation, il ne tarda pas à trouver une explication de la propagation de la lumière dans les uniaxes dont les conséquences s'accordaient avec les lois expérimentales connues, en particulier avec la loi de Malus. Par une suite de déductions heureuses, dont on trouve la trace dans son

premier Me'moire si;r la double réfraction (11. il parvint à se rendre compte de la marche de la lumière dans les biaxes.

Ayant vérilié, par de nombreuses expériences, la conceplion qu'il s'était faite du phénomène de la double réfraoïion, Fresnel en rechercha l'explication mécanique. Il y parvint, grâce à deux iiypolhèses fondamentales. Nous verrons plus loin quelles sont ces hypothèses, et comment une analyse rigoureuse permet d'en déduire les véritables lois de la double réfraction. Mais d'abord nous rappellerons succinctement quelle a été la marche des idées de Fresnel, en renvoyant pour les détails aux œuvres complètes du grand physicien.

150. Explication mécanique de la double réfraction. — Si on imprime à une molécule d'un niilieu élastique, des déplacements égaux dans toutes les directions, chacun d'eux donne naissance à une force élastique inversement proportionnelle à la racine carrée du rayon vecteur, dirigé suivant le déplacement, d'un certain ellipsoïde, et parallèle à la normale à l'ellipsoïde à l'extrémité de ce rayon vecteur. C'est cet ellipsoïde qu'on appelle ellipsoïde inverse cTélaslicitè, et souvent aussi ellipsoïde d'élasticité Les axes de cet ellipsoïde sont donc tels qu'à un déplacement dirigé suivant l'un d'eux correspond une force élastique de même direction et de sens inverse ; ce sont les axes d'élasticité du milieu.

L'intersection de l'ellipsoïde d'élasticité par un plan sera une ellipse que nous désignerons par E; un déplacement suivant un des axes de cette ellipse donnera naissance à une force élastique qui, en général, ne sera pas dans le plan de l'ellipse E, mais dont la projection sur ce plan sera dirigée

(I) Œuvres complètes de Fresnel, t. II. p. 261.

suivant l'axe lui-même. Si on admet avec Fresnel que cette composante de la force élastique est seule efficace, la vibration résultant du déplacement se propagera dans le milieu en conservant lîi même direction. La vitesse de propagation qui est en général proportionnelle à la racine carrée de la force agissante sera proportionnelle à l'axe de l'ellipse dirigé suivant le déplacement. Dans le cas où le déplacement considéré est quelconque dans le plan de l'ellipse, on peut le regarder comme résultant de deux déplacements dirigés suivant les axes; les axes étant inégaux, les vitesses de propagation seront différentes.

Considérons maintenant une onde plane ; nous admettrons avec Fresnel, que la force élastique développée par les vibrations des molécules de cette onde est proportionnelle à la force élastique résultant du déplacement d'une seule molécule. Si nous regardons cette onde comme résultant de la superposition de deux ondes planes ayant pour directions de vibrations les axes de l'ellipse, ces deux ondes auront d'après ce qui précède des vibrations rectangulaires et des vitesses de propagation différentes. Cette conséquence est donc conforme à l'expérience, qui montre qu'une onde plane polarisée dans un azimuth quelconque se dédouble dans un cristal biréfringent en deux ondes planes distinctes, polarisées à angle droit.

Dans le cas où le plan de l'onde incidente se confond avec une des sections cycliques de l'ellipsoïde d'élasticité, les deux vitesses de propagation sont égales, et l'onde ne se dédouble pas; de plus l'onde émergente doit conserver son plan primitif de polarisation. Comme un ellipsoïde à trois axes inégaux possède deux séries de plans cycliques, on devra avoir en gé-

DOUBLE UÉFRACTION 229

néra) deux directions de propagation jouissant des propriétés précédentes ; ces directions seront celles des axes optiques du cristal. Quand l'ellipsoïde d'élasticité devient de révolution, il n'y a plus qu'une série de sections cycliques, et par suite qu'un seul axe optique : c'est ce qui a lieu pour les cristaux uniaxes.

151. Hypothèses de Fresnel. — Telle est, en résumé, la théorie de Fresnel. Elle est de tous points conforme aux lois expérimentales; mais nous voyons qu'elle repose sur deux hypothèses qui demandeiit fi être examinées de plus prés. Ces deux hypothèses peuvent s'énoncer:

1° La force élastique développée par le mouvement d'une onde plane est indépendante de la direction du plan de l'onde, elle ne dépend que de la dirL'ction des vibrations des molécules, et elle est proportionnelle à la force élastique développée par une molécule isolée, les autres molécules du plan de l'onde restant en repos.

2° La seule composante de la force élastique qui soit efficace est la composante parallèle au plan de l'onde. ,

La première de ces hypothèses, que Fresnel a vainement essayé de justifier, est entièrement arbitraire, mais rien n'em-. pèche de l'admettre. Il suffit pour cela de supposer que l'ellipsoïde de polarisation de Cauchy est invariable et indépendant de la direction du plan de l'onde, c'est-à-dire de a. p et y. Gela arrivera quand le polynôme II se réduira à un polynôme du 2'' degré en A, B, G multiplié par

3t2 -|-fj2 ^ ^2 — 1,

Cet ellipsoïde fixe de polarisation n'est autre chose, comme

nous le verrons plus loin, que l'ellipsoïde d'élasticité de Fresnel.

Quant à la seconde, elle est une conséqueace immédiate de l'incompressibilité de l'éther. Nous avons déjà dit (48) que, dans ses calculs, Fresnel admettait, souvent implicitement, tantôt que la résistance de l'éther à la compression était nulle, tantôt qu'elle était infinie. Dans ce cours, nous nous sommes placés jusqu'ici dans la première hypothèse; cherchons maintenant quelles sont les équations du mouvement dans l'hypothèse où la résistance à la compression est infinie, c'est-à-dire dans l'hyiiulhèse où le milieu élastique est incompressible.

152. Équations du mouvement dans un milieu incompressible. — L'incompressibilité imposée à l'éther suppose des liaisons entre ses diverses molécules; nous devons donc appliquer la théorie des systèmes matériels à liaisons.

L'équation e,\primant i|ue l'éther est incompressible est 0 = 0. Si nous C(jnsidérons un certain volume K de l'éther limité par une surface S, et si nous désignons par U la fonction des forces relative au.\ forces intérieures et exlérieures à R, nous arriverons, en appliquant le principe de d'Alembert et celui des vitesses virluelles, à l'équation

5U- / pc^.(go^4-5o,-ff 5C)+ / AZ^dr = 0,

qui, pour un choix convenable de la fonction arbitraire A, doit être satisfaite identiquement, quels que soient les déplacements virtuels 8?, Sy), BÇ. On peut donc supposer que l'on a

or, ^= 5^ = o. Dans ce cas, SU peut, comme nous l'avons déjà vu (29), t'ire remplacé par la somme

SU =J?J,\d,^ -f- f^Wch,

Px étant la composante suivant l'axe des a; de la pression qui s'exerce sur un élément (/m de surface S, et qui résulte des actions des molécules de R' sur celles de R. L'équation précédente, en y faisant Syj := SÇ == o et en remarquant que l'on a 0 = ?i -1~ "riy + Ç; , devient alors

(1) / PJ;d^-{- I ?A\ch - I p^8|t/T-|- / AS'ciff'T^O.

Nous devrons, comme nous l'avons fait au n° 30, transformer les intégrales du premier membre de manière à ce qu'elles ne contiennent plus de termes en S^j.. Dans cette transformation nous obtiendrons des intégrales doubles étendues à la surface S et des intégrales triples étendues au volume R. Les intégrales doubles n'entrant pas dans les équations du mouvement, nous abrégerons la recherche de ces équations en n'introduisant pas ces intégrales dans nos calculs, ce qui peut se faire en supposant qu'on étend les intégrales triples à tout l'espace et qu'à l'infini les forces élastiques sont nulles.

Dans ces conditions, la première intégrale de l'équation précédente distrait, et nous avons pour la valeur de la seconde

/ SWrfT = — / S

. -^ d cm

''"^'l^dccWL'

Quant à la dernière intégrale nous la transformerons d'une manière analogue en nous appuyant sur l'égalité connue

et en posant

Nous obtiendrons

iF dx

F — Kl\.

aFf/o.

dx

aAû^c/ct

dA .

dx

OU, puisque d'après nos conventions l'intégrale double est nulle,

Par conséquent l'équation (1) peut s'écrire

/-^r^s^y d dW , f d^\ ^, , , CdA ,, , ^^^^S d^dî--^J ^dF^ ''^^^ +J dTc '^'^ -- 0'

ou

^fdF^+2jd^^dû+d^)°^'^' = ^-

Puisqu'elle doit être satisfaite quel que soit 3;, le coefficient

de cette quantité dans l'élément difTérentiel doit être nul. On a ainsi une des équations du inouvem(>nl. Si nous faisons p = i et si nous remarquons que nous avons déjà trouvé (32) l'égalité

^dx d\'x ^ dx dH,,

nous aurons pour les équations du mouvement

d^. Y ± (i^ dA

dt^ j^ dœ d^^ dx'

m 'iÎQ - V ^ ^W, r/A

^ ' dt^ . 2j dx rfïii dy '

df^ ~ 2a dx dX,[ dz '

153. Propagation d'une onde plane. — Considérons une onde plane parallèle au plan

tt,x -\- Py -f- Y^ = 0.

Les composantes des déplacements des molécules de cette onde seront de la forme

l = AeP, 71 = BeP, Ç = Ce^,

où

Nous avons vu précédemment (145) que pour des valeurs de l, 7), C de cette forme, on a

2jdx dl^ ~ ri\l ) '^ dk'

23i THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

Nous sommes donc conduits pour satisfaire aux éciuations du mouvement (2), à poser

H. étant une constante indépendante de x, y, z et t; nous tirons de cette égalité

f/A „ /2™\2 -; — = an

Si nous portons les valeurs de ces diverses quantités dans les

équations (2), nous aurons en supprimant le facteur ("t— ) e"" commun aux deux membres,

1 dïl

Ces trois équations jointes à l'équation de liaison 0^0 permettront de déterminer H et des quantités proportionnelles à A,B,G. L'équation de liaison devient, quand on y remplace les. dérivées partielles de ^, -rj, C par leurs valeurs,

@=^e^ (Aa + Bp + Cy),

d'où

(4) Aa 4- Bp -f- Gy = 0.

Cette équation exprime que la vibration a lieu dans le plan

de l'onde; nous devions nous attendre à cette conséquence, la transversalité des vibrations étant exprimée par l'identité 0 = 0.

Si l'on compare les équations de condition (3) aux équations (3) du n° (145), on voit qu'elles ne difTèrent de celles-ci que par l'introduction des quantités aH, pH, yH. Ces quantités sont donc, à un facteur constant près, les composantes de la force de liaison; par suite, les cosinus directeurs de cette force sont proportionnels à a, p, •(. La force de liaison est donc normale au plan de l'onde, et cette conséquence mathématique de l'incompressibilité del'éther aurait pu remplacer la seconde des hypothèses de Fresnel.

154. Les valeurs de la vitesse de propagation de l'onde plane s'obtiendront en éliminant A, B, C, H entre les équations (3) et l'équation (4). Si nous admettons avec Fresnel que la force élastique résultant du déplacement d'une onde plane, est indépendante de la direction de l'onde, la fonction des forces Wj ne doit pas dépendre de oc, p, y, et, par suite, le polynôme n doit se réduire à un polynôme homogène du second degré en A, B, G, multiplié par un polynôme homogène du second degré de a, 8, y dont la valeur est constante ; ce dernier polynôme ne peut être que a^ -j- p- -f- y-. En prenant les axes de coordonnées parallèles aux axes de l'ellipsoïde de polarisation n = 1 , on aura

n = (aA^ + èB-i -j- cG2) (a" -f- p2 -f- /-) = ah.- + bB^ -\- cG^

et par suite.

1 cOi , 1 rfn , i dn -

En portant ces valeurs dans les équations (3) nous obtenons

AV^ = aA — aH,

BV2 = iA — pH, CV» = cG — yH;

d'où,

aH

ïH

Si nous multiplions ces dernières égalités respectivement par a, p, y, et si nous additionnons, nous trouvons

Aa-fB? + CY = -H(^ + ^^:^,4-,-^:

et si nous tenons compte de l'équation de condition (4), nous avons

Êl , ^i!

V2 rt T^ V2 — i ^ V3 — e ~

Cette équation déterminera V; on aura donc deux valeurs pour la vitesse de propagation.

155. Il est facile de trouver une expression de Yen fonction de A, B, C. Il suffît de multiplier sucessivemenl chacune des équations (5) par A, B et G et d'additionner. On obtient ainsi

(A2 + B2 + C^) V^ = «A2 + bB-' + cC\

Or les équations (5) jointes à l'équation (4) ne déterminent que des quantités proportionnelles à A, B, G; nous pouvons donc satisfaire à ces équations et par suite aux équations du mouvement par des valeurs de A, B, G satisfaisant à la rela-

DOUBLK RÉFRACTION 2S7

lion

(6) n = «Â= 4- hW- + cG2 = 1 .

On a alors

L'interprétation géométrique de celte expression est évidente; la vitesse de propagation est inversement proportionnelle à la longueur du rayon vecteur de l'ellipsoïde H = 1 ayant pour direction" celle du déplacement. Il en résulte que l'ellipsoïde

aA2 -I- 6B2 -{- cG2 = 1

n'est autre que l'ellipsoïde d'élasticité de Fresnel.

156. Nous terminerons l'étude de la théorie de Fresnel en faisant remarquer qu'il n'est pas nécessaire de supposer l'éther incompressible et qu'on peut arriver aux mêmes conséquences d'une autre manière. Il suffit de supposer que l'équation de l'ellipsoïde de polarisation est d'une forme particulière.

Si nous multiplions la première des équations (3) par a, la seconde par p, la troisième par y et si nous additionnons, nous obtenons