THEORIE DE CAUCHY
157. Plans de symétrie optique dans les cristaux biréfringents. — Gauchy admet que dans tout milieu aniso- Irope, l'éther qui s'y trouve contenu admet trois plans de symétrie rectangulaires. La forme extr'rieiire d'un certain nombre de substances cristallisées nous montre qu'une telle symétrie existe pour les molécules matérielles dans les cristaux appartenant aux systèmes cubique, hexagonal, rhomboédrique, quaternaire ou orthorhombique; il est donc rationnel d'admettre que dans ces substances la même symétrie se présente pour les molécules d'étlier. Mais pour les cristaux des deux derniers systèmes cristallins, le système clinorhombique et le système anorthique, on n'a plus trois plans de symétrie et rien, a priori, ne nous autorise à admettre l'existence de ces trois plans dans l'éther. En réalité, l'expérience montre qu'au point de vue optique les cristaux anorthiques et clinorhombiques possèdent trois plans de symétrie ; mais ces plans, au lieu d'avoir des positions fixes par rapport aux éléments de symétrie du cristal, ont des directions variables avec la durée de la vibration, c'est-à-dire avec la longueur d'onde de la lumière. Si donc nous admettons, avec Cauchy, l'existence de
trois plans de symétrie rectangulaires dans tout milieu anisotrope nous devrons toujours supposer la lumière homogène et nous négligerons ainsi les phénomènes dus à la dispersion, comme nous l'avons fait dans l'étude de la théorie de Fresnel, où les plans principaux de l'ellipsoïde d'élasticité n'étaient autres que les plans de sj'métrie optique.
Nous choisirons ces trois plans de symétrie comme plans de coordonnées. Par raison de symétrie, le premier membre n de l'équation de l'ellipsoïde de polarisation ne doit pas changer quand on y fait a= — a etA= — A, ou p = — p et B ^ — B, ou enfin y ^ — y et C := — G. 11 en résulte que II ne doit, contenir que des termes de la forme suivante,
fA^
PyBC,
fB\
ayAG,
oc^C^.
fc%
upAB,
Le nombre de ces termes étant égal à 12. n pourra contenir 12 coefficients numériques arbitraires et i'équalioude l'ellipsoïde de polarisation sera de la forme
(1) A2 (Xa2 + ,xf- + vY^) + B2 (X'a2 + ^y + v'y") -I-G2 (V'a^ + ,/'p | ^'.^2) ^ ^pPfBC + 'iqyxCK -f 2ra,8AB = 1.
158. Conséquences de l'hypothèse des forces centrales. — Pour Gauchy toutes les forces sont centrales; aussi, dans sa théorie de la double réfraction admet-il implicitement qu'il en est ainsi. Nous avons fait remarquer (17) que dans l'hypothèse des forces centrales, le nombre des coefficients
DOUBLE RÉFRACTION 2tl
numériqiK'sile l.i foBftion \^^, se trouvait nkluit; nous devons donc nous altcni]rc à avoir dans ce cas un certain nombre de relations entre les douze coefficients nunit'riques de l'ellipsoïde de polarisation. Gherclions ces relations.
Dans le premier clja)iitre de cet ouvrage, nous avons vu que si les forces sont cenlrali>s, on a
p, = Dr- + dy,^ + w.
ou,
et
rf? ff^ (P-
w-Sn-' + l'^ + l''---
Dans le cas d'une onde plane ;, t\, t, étant de la form(; nous aurons
D; = ^ .Xe"" (aD,K + fjD// + yDî).
071 = ^ BfiP yiXix + tlD.y + vl)^),
DÇ = ^ GeP (aDa; + flD// -f yD^) ;
m THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
et par conséquent, •
Il est facile de constater que dans pj,
/et' \ 2
coef. de a^'B-' — coef. de 4apÂB = [=j\ e^^Dx-^,
coef. de a^C^ — coef. de ^x^AC = i^) e-^'Bœ',
et que dans p|, coef.dea2B2-coef.de4a,8AB=4(^ye-''(D«2Dî/2 D.»D^Dj5D^)
coef.dea2G2-coef.de4aYAG:^( — ) «'-■"(Dj.-sDj^-DxDjDx-D^-)
Dans p? et pj, la relation
coef. de a'-B2 — coef. de 'ixpAB= coef. dea^G* — coef. de4aYAG
est donc satisfaite ; par .suite elle l'est dans W., et aussi dans 11. Par permutations circulaires, nous pouvons en déduire deux autres. Les douze coeflicients numériques du premier membre de l'équation de l'ellipsoïde de polarisation étant liés par trois relations, neuf seulement de ces coefficients sont arbitraires. Les trois relations entre les coefPicienls de l'équa-
lion (1) sont:
159. Vibrations quasi-transversales et vibrations quasi-longitudinales. — Les vibrations d'une onde plane se propageant dans un milieu anisotrope devant être dirigées suivant les axes de l'ellipsoïde de polarisation (147) il faut, pour qu'elles soient rigoureusement transversales ou longitudinales par rapport au plan de l'onde, que ce plan soit un des plans principaux de l'ellipsoïde de polarisation. Cette condition sera réalisée si la normale au plan de l'onde est un des a.v.'S de l'ellipsoïde, c'est-à-dire si a, p, y satisfont aux équations
^^ - 2 rfÂ' ^^ - 2 .7b' '^^ - 2 ^
Tirant de l'équation (1) de l'ellipsoïde de polarisation de Cauchy les valeurs des seconds membres de ces dernières équations et remplaçant ensuite A par a, B par p et C par -f, nous obtenons après réduction
S = X'a^+aïl- + v'y- + rx' + l)f, S = Vx- -f ix"p2 + v"y^ -f P'i- + qx'-
Pour que ces équations soient satisfaites quels que soient
24i THÉURII-; MATHKMATrQUIi DE IX LUMIÈRE
a, p, y, il faut que les coefficients de a'-, p-, y- soient les mt'mes dans les trois équations : on a donc
Or ces relations jointes aux relations (2) déduites de l'hypothèse des forces centrales exigent que l'on ait
p = q = r, et elles deviennent alors,
u. = tj.' — p. f/ = a" -j- p,
Ces dernières relations ci induisent aux égalités
>«-' + i4'^ + vy'-^ — ;pa2 = /'a2 -f- ,/(f + v'y^ pS^
Il est facile de s'assurer (jue ce sont là les conditions auxquelles conduisent l'application à l'équation (1) des formules connues qui expriment qu'un ellipsoïde est de révolution autdur d'un axe ayant pour cosinus directeurs x. 3, y. Par conséquent, les viliratifuis ne peuvi^nt être rigoureusement transversales ou longitudinales que si l'ellipsoïde de polarisalion est de révolution autour de la normale au plan de l'onde. Une telle conséquence est inatimissible, car les deux ondes planes à vibrations rectangulaires et transversales qui ré-
DOLIIil.K KKPRACTION 245
sullent de l'onde plane incidente auraient même vitesse de propagation et la dnidile réfraction ne s'expliquerait pas.
Ainsi les hypoth 'ses de Cauchy conihiisent à adnn'ttre qu'une onde plane donne naissance, en se propageant dans un milieu anisotrope, à trois ondes planes dont les directions de vibration ne sont ni normales au plan de l'onde, ni situées dans ce plan. Mais la biréfringence étant très faible dans toutes les substances jouissant tic la dnuhle réfraction, les vibrations de deux des ondes planes seront qumi-lransrcrsale>! et celles de la troisième, quasi-longitudinales.
L'existence de vibrations quasi-transveiv-ales n'est pas absolument contraire, à nos connaissances sur la direcliim des vibrations lumineuses, car si l'expérience nous apprend que dans l'air les vibrations doivent être rigoureusement transversales, rien ne nous prouve (pi'il en est ainsi à l'intérieur d'un cristal. (Juant au rayon dont les vibrations sont quasi-longitudinales, Cauchy ne put tout d'abord expliquer pourcjuoi il n'avait d'existence réelle ; il est probable que s'il avait eu occasion de revenir sur la double réfraction, il eut admis que ce rayon était évanescent.
160. "Vitesses de propagation des ondes. — l^a théorie de Fresnel se trouvant verihee par les expériences les plus délicates, toute théorie de la double réfraction di.iil conduire aux mêmes conséquences (pie celle de Fresnel; en particulier on doit arriver aux mêmes valeurs pour les vitesses de propagation des ondes réelles. Ces vitesses étant, dans la théorie de Cauchy, inversement proportionnelles aux axes de l'ellipsoïde . de polarisation et, dans celle de Fresnel, aux axes de l'ellipse E d'intersection du plan de l'onde avec l'ellipsoïde d'élasticité, il
faut, pour qu'elles aient une même valeur, que l'ellipse E se confonde avec l'une des sections principales de l'eUipsoïde de polarisation. Or s'il en était ainsi, le plan de l'onde, qui contient l'ellipse E, serait un plan principal de l'ellipsoïde de polarisation de Cauchy, ce qui ne peut avoir lieu, comme nous venons de le démc mirer. Par conséquent, les vitesses théoriques de propagation des ondes ne peuvent avoir les mêmes valeurs dans les deux Ihéories. Mais en assujettissant, comme le fuit Cauchy, l'ellipsoïde de polarisation à passer par l'ellipse E, les difiérences entre ces valeurs deviennent de l'ordre des erreurs expérimentales.
En effet, soit
l'équation de l'ellipsoïde de polarisation de Cauchy rapporté à ses axes. A cause de la faible biréfringence des cristaux, le plan de l'onde fait un angle infiniment petit avec l'un des plans principaux de cet ellipsoïde, par exemple, avec le plan z ^ o. En appelant a, fi, y les cosinus directeurs de la normale au plan de l'onde, % et 3 seront des infiniment petits D'après nos conventions, l'imersection ds l'ellipsoïde par le plan de l'onde est l'ellipse E. L°s inverses des carrés des axes de cette section sont donnés par les racines de l'équation en R,
a2(6 R)(e— R) + p2(c — R)(a — R)+Y2(rt — R)(6 — R) = 0;
en négligeant les carrés de a et de [i cette équation se réduit à la suivante
dont les racines a et i sont précisément les inverses des
carrés des deux axes principaux de l'ellipsoïde de polarisation situés dans le plan s =: o. Par conséquent, ces axes ne différent de ceux de l'ellipse E que par des infiniment petits du second ordre; il en sera de môme de|leurs inverses et par suite des valeurs des vitesses de propagation.
161. Équation de l'ellipsoïde de polarisation de pauchy. — En résumé, Gaucliy admet l'existence de trois plans de symétrie optique, suppose les forces centrales et assujettit son ellipsoïde de polarisation à passer par l'ellipse d'intersection du plan de l'onde et de l'ellipsoïde d'élasticité de Fresnel. Cette dernière hypothèse permet de trouver facilement l'équation de l'ellipsoïde de polarisation.
L'équation de l'ellipsoïde d'élasticité étant
celle du plan de l'onde
aA + flB 4- yC =z 0,
l'équation de l'ellipsoïde passant par l'intersi'ction de ces deux surfaces est de la forme
n = (aA- + Z-B- + cG-^) -i- (ocA -f- fJB-f- yC)(a, A+pjB-f Y,C)=1 ,
Cette équation sera homogène et du second degré par rapport à a, p, Y et par rapport à A, B, C, en l'écrivant
n = («A- + bC^ -f cG-) (x2 -\-f-\- f)
