o,A + PB -j- yC) (^,A -f fi,B -f- Y,G

et en admettant que ï.,, [3,, Yi sont des fonctions linéaires et homogènes de a, p, y- Les plans de coordonnées étant les

plans di' symétrie optique, l'équation précédente ne doit pas changer, quand on change simultanément les signes de a et de A, ou de p et B. ou enfin de y et C. Les fonctions linéaires ï,, fi,, y, doivent donc se réduire à

a, =rt,a, p, = 6,p, Y, = C,y;

en portant ces valeurs dans l'équation de l'ellipsoïde de pola^risation, elle devient

(1) n = (a^ -f- f + f,{a\' -I- iB2 4- cC^) H-

-f (aA + [ÎB + yC) {a^l:^ + 6,flB -|- C,yG) =: 1.

Si nous admettons maintenant que les forces sont centrales nous aurttns entre les coefficients de celt^ équation, trois relations dont la première est

coef de a^B^ — coef de 4xpAB = coef dea^G^ — coefde4ayAG;

elle donne :

Les deux autres conduisent à

Ges trois dernières relations peuvent d'ailleurs s'écrire

a — 4ff, = b — 4^j, = (■ — 4r-,.

Telles sont les conditions introduites par l'hypothèse des forces centrales; il serait facile de montrer que, quand elles sont

remplies, le plan de Tonde n'est pas un plan de symétrie de rellipsoïde.

162. Si nous ahandoiinons l'hypothèse des forces centrales, le plan de l'onde pourra devenir un plan de symétrie de l'ellipsoïde de polarisation. 11 faut pour cela que la perpendiculaire au plan de l'onde soit un axe principal, c'est-à-dire que X, p, Y. satisfassent aux équations des directions principales de l'ellipsoïde (1) du paragraphe précédent. La première de ces équations est

^^ = I S = ''■^ (^'+?^'+ï*) -f- 1 a(«,aA+6,SB-l-o,YCj

-f5a,a(ocA + ,8B-f yG);

en y remplaçant A, B, G par a, p, y elle donne, après simplification,

Les deux autres équations conduiraient à

Pour que ces trois dernières équations se réduisent à une, il faut et il suffit que l'on ait

lin particulier, si on a

le plan de Tonde sera un plan principal de l'ellipsoïde de polarisation et les vibrations seront rigoureusement transversales et longitudinales. Les vitesses de propagation des ondes dont les vibrations sont transversales sont inversement proportionnelles aux axes de l'ellipse d'intersection; celle de l'onde dont les vibrations sont longitudinales est proportion nelle à 1 inverse de l'axe normal à l'onde, c'est-à-dire à la racine carrée de

' + 1') i^'' + ?' + f) + l («.^' + ^^r- + c.Y^); quantité qui, par suite des relations (2), se réduit à

Or, puisque a, b, c sont positifs, il résulte des relations (2) que a,, S,, c,, sont négatifs ; S sera négatif, la vitesse de propagation des vibrations longitudinales est imaginaire, et le rayon longitudinal évanescent.

On retrouve donc ainsi très facilement toutes les conséquences de la théorie de Fresnel.