Équation du cylindre de polarisation. — Si nous posons
G == B'a — Ap,
le premier membre de l'équation
(3) n = rtA2 -j-ÔB^" -|- cG2 4- MBC + 2eGA + 2/AB = l,' sera homogène, et du second degré par rapport à A', B', Cet
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THKORIli MATHÉMATIQUK DE LA LUMIÈRE
par rapport à a, fi, y ; nous allons démonlroi' que c'est l'équation du cylindre de polarisation de Neumann.
Nous allons d'abord faire voir que si le polynôme n est de celte forme, les équations (1) sont satisfaites quand on y remplace A', B', C par a, fi, y. On a en etTet
1 f/TT (7 A <7R
-f(cG + f/B + cA)|^,.
Or, si dans les relations (2') on fait A' = a, B' ^ S, C = y, on trouve A =; B ^ C =: 0; par conséquent, quand on fera cette substitution dans l'éqiialion précédente, les coefficients des dérivées qui entrent dans le second membre seront nuls et on
aura -tt-, =: 0. On démontrerail d'une manière analogue que les
deux dernières des équations (1) sont également satisfaites. L'équation (3) représente donc bien un cylindre dont les génératrices sont parallèles à la direction a, fi, y.
Pour compléter la démonstration il faut démontrer que réciproquement, ?i II = 1 est ré(iuation d'un cylindre dont les génératrices sont normales au plan de l'unde, cette équation peut se mettre sous la forme (3), A, B, C étant définis parles relations (2). Nous laisserons au lecteur le soin de démontrer cette réciproque.
Nous pouvons prendre les axes de coordonnées de manière à faire disparaître les termes rectangles de réqualion (3) qui alors se réduit à
(4) n = «A^-f-^-B'-feG^ = 1.
Les nouveaux axes de coordonnées sont alors les plans de
DOUBLK RÉFRACTION 2o3
symétrieopliquedumilieu. Eneffel, si l'on se reporte aux équations (2), on voit que le changement deA'en — A'etdexen — a ne change pas la valeur de A et ne fait que changer les signes de B et de G ; ces quantités n'entrant dans FI que par leurs carrés, ce polynôme conservera la même valeur quand on changera les signes de A' et de oc, et par suite, le plan des yz est un plan de symétrie optique. Un raisonnement analogue montrerait que les deux autres plans de coordonnées sont également des plans de symétrie optique. Ce sont donc les mêmes que ceux que nous avons pris dans la théorie de Fresnel et ceUe de Cauchy.
165. Propagation d'une onde plane. — Les équations de condition qui donnent les directions de vibration et les vitesses de propagation d'une onde plane sont ici
2 dk' ~ 2 \dk d.V ' dB dk' + dG dk')' ou A'V- = hyB — cfiG,
et BV2 ^ eocG — n-;k,
G'V2 = rt^A — hxB.
Ces trois équations peuvent être remplacées par un système de trois autres ne contenant plus A', B', G'. Pour cela multiplions la troisième par p. la seconde par v et retranchons ce dernier produit du premier; nous obtiendrons
(G'p — B'y) V-' = rtA (,8- + y-) — X (i3B — cyG),
et en remplaçant G'S — B y par A, puis ajoutant l'identité 0 == aAa- — % (aa.k).
nous aurons
AT- = aA (a2 + [i- + Y^) — a (aaA -f- //iB + cyC).
Si nous posons
H = «aA + ipB + CYG,
l'équation précédente et les deux qui s'en déduisent par permutation deviennent
AV2 = flA — aH, BV- = ^-B — pH, GV* = cC — yH.
Ce sont les équations que nous avons déjà trouvées (154) l'n exposant la théorie de Fresnel ; elles nous montrent donc ([ue les quantités A, B, G sont proportionnelles aux cosinus directeurs de la vibration de Fresnel, et qu'en outre les vitesses de propagation ont les mêmes valeurs dans les deux théories.
Dans ces deux théories les vibrations ont lieu dans le plan de l'onde ; il est facile de voir qu'elles sont rectangulaires. En effet si nous mulliplions les relations (2) successivement par A', B', G', et si nous additionnons, nous obtenons
AA-fBB'+GC'=A'G'p-A'BYH-A'B'Y— B'C'a-t-B'Goc— A'G'fi=0.
La théorie de Neumann ne diffère donc de celle de Fresnel qu'en ce que la vibration au lieu d'être normale au plan de polarisation est parallèle à ce plan ; par suite toutes deux rendront également bien compte des faits expérimentaux puisque l'expérience ne peut indiquer si la vibration est parallèle ou normale au plan de polarisation.
166. Équations de Lamé. — Les équations du mouvement d'une molécule d'une onde plane dans un milieu élastique satisfaisant aux hypothèses de Neumann peuvent être mises sous une forme intéressante en introduisant les quantités M, V, w définies par les relations
dy dz
dz dx
dx dy Ces quantités, quand on y remplace ?, ■t\, l. par les valeurs l = k'e'\ 71 = B'e^ l — C'e^, deviennent
(5) ' „='^e-^K'^-C',) = ^dl^,
D'autre part, on a
g = (fV.™v..
rf<2 \ l
|| = (fV.c...
Or, la première des équations de condition trouvées dans le paragraphe précédent donne, quand on multiplie ses deux
membres par
2p\VA'v2 ^ «^B." - rf vpce-'-
et il est facile de voir, en carculant les dérivées partielles de M, V, 10 par rapport à x, y. z, que cette équation peut s'écrire
\\ ) dz dy
Il résulte de ces transformations et des transformations analogues que l'on pourrait eflectuer sur les seconds membres des équations (6) que ces équations se réduisent à
d^l df'
, dv 'dz"
dio
dt^ ~
dio dx
du dz
dK dt^ ~"
du
dy
dx
Ces équations seront satisfaites pour les déplacements S, t|, X, des molécules d'une onde plane vibrant suivant les hypothèses de Neumann. C'est sous cette forme que les équations du mouvement de ces molccules ont été trouvées par Lamé.
Remarquons que, d'après les équations (3), m, r, lo sont les composantes du déplacement d'une molécule d'une onde plane dans la théorie de Presnel quand ;, -^, Ç, satisfaisant aux équations (7), sont les valeurs des composantes du déplacement
DOUBLE RÉFRACTIO> 257
dans la théorie de Neumann. Delà résulte une méthode commode pour trouver les équations du mouvement d'une molécule dans la théorie de Fresnel. En effet, si de la dérivée par rapport à //de la troisième des équations (7) nous retranchons la dérivée jiar rapport à ^^ de la seconde, nous obtenons
du dfl dz dp ""'* dh/ d.rdi, ~ '^ dxdz ' " dz^'
d ^dX, d-r^\Jd-u ^ (Pu ^ d-n\ d'-u ^ d'^v d-io
/ai, 'in\ /«M I " " I u (i\ a-Il ,
dl-\dii dz) \dx-^ dif^dz-^j dx^- dxdy dxdz
ou encore
d'hi . (V-u , d'o d'^w
df- dx- dxdy dxdz
On trouverait par une marche analogue deux autres équations qui, avec la précédente, détermineraient les valeurs de u, V, te pour une molécule d'une onde plane. La substitution de u = Ac^, V =^ Bc^, w = Ce^ dans ces équations doit évidemment conduire aux équations que nous avons déduites des hypothèses de Fresnel (154) et que nous avons retrouvées précédemment (165') ; c'est ce dont il est facile de s'assurer.
TUÉORIE DE M. SARH.iL"
167. Équations du mouvement. — -M. Sarrau prend pour bases de sa théorie les mêmes hypothèses queBriot dans sa théorie de la dispersion, hypothèses que nous avons déjà
énoncées dans le chapitre précédent (140). Dans cette théorie les équations du mouvement s(jnt
à^ . dM
d'I dis
^dii-^^-Tz
où p est une fonction périodique des coordonnées qui, développée en série Irigonomélrique, peut s'écrire :
f =2r sin {a.c -\- /y.y-j- cz + d),
La valeur moyenne de tous les termes de cette série étant nulle, sauf celle du terme où l'on a« = 6 = c = o, la valeur moyenne de p est égale à R sinr/. A cause de cette périodicité imposée à la densité la résolution des équations du mouvement nécessite des calculs pénibles et, malgré les simplifications introduites par M. Potier, ils sont encore longs.
