II
du dm ~di/'~'d^^ '
di dn
'd'z^'Th;-^'
dm dl
dx dy '
dont chacune est formée avec /, m, n, de la même manière que ces quantités sont formées avec L, M, N.
De l'équation (3) nous pouvons tirer une relation fntre les valeurs moyennes des quantités qui y entrent. L, M et N étant des fonctions périodiques, et la valeur moyenne de la dérivée d'une fonction périodique étant nulle, nous aurons
V^[pL]o=[L-aQ]„,
les quantités afi'eclées d'un indice 0 représentant les valeurs moyennes de ces quantités. En remplaçant Q par sa valeur (4) et en écrivant immédiatement les deux équations analogues à la précédente qui s'en déduisent par jtennutation, on obtient un nouveau groupe de relations :
j V= [pL]„ = L„ - a (xLo + fiM,, + yN„)
(III) VMpM],, = M„ - ft (al,, + ftM„ + yN„)
( V^' [pN]„ = N„ - y (aL„ -1- «Mo 4- yN„)
Enfin les équations (1) du mouvementnous donnent une dernière relation. Nous en tirons en dérivant respectivement chacune d'elles par rapport à x, y, s et additionnant
dx P dC' + dy ^ df' + ds P dfi ~ \dx + dy + dz
d^iè iP% d'^® dx- dy- dz-
ou, puisque le second membre est identiquement nul
dx P dfi + dy P rf<2 + fi^ ? a^i — "•
Or, pour les valeurs de ;, 7|, Ç définies par les relations (2), on a
d'i -.VM P
= ..-v-Le" ;
DOULiLE KKKRACTION 263
par conséquent l'identité précédente peut s'écrire
dx ' "y as '
ou
-^ cL + ^ oM + ^ cn\ -f h.ç.e'' [rh + SM 4- yN = 0.
Si, comme nous l'avons dit, nous négligeons les termes contenant u. nous aurons simplement
(IV) J^ çL + f pM 4- -^ cN = 0.
^ ' dx ' ''il ds
Nous avons donc pour déterminer V, les fonctions L, M, N et les valeurs moyennes de ces fonctions, les trois groupes d'équations (I) (II) (III) et l'identité (IV). Au premier abord le problème semble indéterminé, puisque la fonction p est inconnue. Nous verrons cependant qu'il peut être résolu si on ne cherche que les quantités susceptibles d'une mesure expérimentale; mais auparavant nous allons établir deux propriétés des fonctions périodiques qui nous permettront de démontrer la périodicité des quantités /, m, n, et de déterminer les valeurs de ces quantités.
170. Propriétés des fonctions périodiques. — 1° Si M et V sont deux fonctions périodiques de --, on a la relation suivante entre les valeurs moyennes
En effet, le produit uv de deux fonctions 'périodiques est une fonction périodique; par conséquent, la valeur moyenne
de la dérivée de ce produit sera nulle. On a donf\
ou
puisque la valeur moyenne d'une somme est égale à la somme des valeurs moyennes des parties qui la composent.
2° Si p et cp sont deux fonctions périodiques de x, y, z, satisfaisant à
d d<sf I d ^ , j! '^h n
dx ^ dx'd^/ ^ dj/ '^ 7h ^ in '^ '
la fonction (p doit se réduire à une constante. En effet, d'après la propriété précédente ou a
r d dml et par conséquent
td(ù dct)~\
tf d ddt . d dtsi d da\~]
Mais par suite de notre hypothèse, le premier membre de cette égalité est égal à 0 et on a
rp((s+(g)'+(â)")i-
Si p est positif, la quantité entre crochets est le produit de deux quantités positives et sa valeur moyenne doit être positive ; elle ne peut donc être nulle comme l'exige l'égalité précédente, que si
ce qui exige que chacun des termes soit nul, c'est-à-dire,
dx dij dz
Or, cette suite d'égalités n'est vérifiée que si m est une constante.
Remarquons que si on l'.iil p ^ i dans la relation qui, par hypothèse, lie h^s fcmctions p et ;f, cette relation devient Acp = 0. Par conséquent, si une fonction périodique cp est telle que l'on ait Aç ■= 0, cette fonction se réduit à une constante.
171. Valeurs des quantités 1, m, n. — Le groupe d'équations (11) exprime que
Idx -\- mdy -\- nds
est une différentielle exacte. Si nous désignons par '.p la fonction dont cette quantité est la différentielle, nous aurons
dtù dm df
dx dy dz
En dérivant la première des équations du groupe (1) par rapport à x, la seconde, [)ar rapport à y, et la troisième, par
rapport à«, puis additionnant, nous obtiendrons
dl 1^ dm dn dl-'^'di/'^'d'z^ •
ou, en remplaçant /, m, ii par les expressions précédentes,
d'^!f . '/-^ d-zi
dx^ ~^d^^'^dP^^'~
Montrons que ï. est une fonction périodique. L, M, N étant, par hypothèse, des fonctions périodiques, l, m, n seront, d'après les équations (I) des fonctions périodiques a3-ant pour valeur moyenne zéro; par conséquent, les dérivées partielles de la fonction a. seront de la forme
(h dx
^ = V A sin \ax + hy + c; + d) = V A sin 0,
=^ Bsin («.-; + hij -f- cz + d) =^ B sin 9,
^ =2i G sin {ao- + è,y + c;r -f- rf) =^ G sin 6.
Kn dérivant la première de ces égalités par rapporta y et la seconde par rapport à x, nous obtenons deux expressions de
la même quantité , \ \ ces deux expressions doivent être ^ dxdy
dx(
identiques. On a donc identiquement
y Xfj cos e =^Ba cos 6
et par conséquent,
Ai = Ba.
On obtiendrait d'une iiiaiiiiTe analogue
Ac = Ga; nous avons donc
abc cl par suite,
c?tp = ^D [adx -f br/;/ -\- c,h) sin 0 = ^n sin 'U/l.
En intégrant nous aurons
(p = — 2 D cos 9 -f G"=
cp est donc une fonction périodique, et puisqu'elle satisfait à Aoi := 0, elle doit, d'après la propriété des fonctions périodiques précédemment démontrée, se réduire à uneconslante.il en résulte que /, m, n qui sont les dérivées partielles de cp ont pour valeur 0.
172. Recherche des quantités L, M, N. — Puisque les quantités l, m, n sont nulles, le groupe d'équations (I) noi's donne les relations
di/ dz ' dz dx ' dx dy '
qui expriment que
\.dx -f miy + ^dz est une différentielle exacte. En désignant par >\ la fonction
dont cette quantité est la ditTérentielle exacte, nous aurons
(1) hdx 4- Mr/.y -}- xNrf^- — rf^,
équation qui peut remplacer les groupes (I) et 'JI). Si l'on connaissait cette fonction 'i on en déduirait immédiatement les valeurs de L, M, N, qui sont les dérivéï-s partielles de •]< par rapport à x, y, z. Nous allons monlr>'r que, pour des valeurs données des valeurs moyennes L,,, M,,, N,, de L, M, N,il existe une fonction A satisfaisant aux conditions imposées par les hypothèses de M. Sarrau et qu'il n'^n existe qu'une en négligeant la constante d'intégration.
Remarquons que L,,. >!„, X„ étant des constantes,
est une (lilféreiitiellf exacte. Par conséquent on a
(2) (L - Lo) dx + (M - M„l dy + {X - \) dz = d,,
f// représentant la dillérentieile d'une certainij fonction / ([iii iliiit être périodique. En effet, les dérivées partielles L — L,,, M — M,|, N — N'„ de cette fonction sont des fonctions périodiques puisque, par hypothèse. L. M, N sont périodiques ; de plus la valeur moyenne de chacune de ces dérivées est évidemment nulle. La fonction ■/ doit donc être périodique. L'intégration des équations (1) et (2) donne
rcl.itioii qui nous montre ipie, si ;i des valeurs données de L„. M„. N„ correspondent plusieurs fonctions •!/, ces fonctions ne peuvriii ijitl'érer entre elles (jiie par la partie périodique /.
Par conséquent, pour démontrer qu'il ne peut exister qu'une fonction '|/ il nous suffit de démontrer qu'il ne peut y avoir qu'une seule fonction périodique y.
Pour cette démonstration considérons l'éijuation (IV). En
y remplaçant L, M, N par -—■• ~^ -fji elle devient :
^ ' (Le ' dx ' (h/ ^ aij ' dz ' d^
Si nous admettons qu'il existe deux fonctions '1, et 'j^^ satisfaisant à cette équation, la différence •]/, — 'j/^ devra également y satisfaire. Or celte différence est une fonction périodique égale, d'après ce qui précède, àladin'érence/, — /., desparties périodiques des fon(>ti(ins '|, et'j/j ; elle doit donc se réduire à une constante. Par conséquent les deux fonctions ■}, et 'j/j ne diffèrent que par une constante.
173. Montrons qu'il existe une fonction '|/ satisfaisant à la relation (3).
Considérons la fonctujn
Sa valeur moyenne est essentiellement positive puisque p est une quantité positive et le second l'acleur une somme de carrés. En outre elle ne peut devenir nulle, car il faudrait que l'on eût L = M = N = 0, ce qui est impossible puisque les valeurs moyennes L„, M,,, N,, qui sont données ne sont pas nulles en général. Cette valeur moyenne doit donc passer par un minimum auquel correspond une certaine valeur de la fonction /. Si nous donnons à y un accroissement 1/ les accroissements 8L, 8M, oN de L, M, N satisfont en vertu des
propriétés des minimums à la relation
[p (LoL + M5M -f- NoN)] = 0.
Or, la valeur de ■]/
donne
Par conséquent on aura
°L = 4-, Sx, 2M = i:: 5/.. SN = -Jl V,,
rfa; ^^'
dz
et par suite.
En additionnant ces relations membre à membre on obtient une égalité dont le premier membre est nul d'après la relation (4) ; on a donc
Si nous transformons chacun des termes de cftte égalité en n(jus appuyant sur la iinipriéto dos fonctions périodiques dé-
montrée précédemment (170), nous obtiendrons
[vl.4+[-,v4+l-s4=»-
Celte égalité devant être satisfaite quelle que soit la valeur dnnnée à S/, on doit avoir
Il existe donc ime fonction / cl par suite, une fonction ■]/, telles que les valeurs de- L, M, N, qui s"en déduisent satisfont à l'équation précédente.
11 est facile de démontrer que si
pour L|, = l, M„ = N„ = 0 on a -f = to
No=l, M„ = L„ = 0 -j. = ^3,
la forme la plus générale de la fonction '\ sera
En effet, puisque ■]/,, 'j/j, •\-^ satisfont à. l'équalion (5), la fonction i doit y satisfaire également. De plus les valeurs moj'ennes des dérivées partielles de ■! sont bien égales à Ly, Mji, Nq. car on a
puis(|ue par hypothèse
[£]„-• [Si- [tl-
On verrail de la même manière que les valeurs moyennes des dérivées partielles par rapport à ?/ et à ^ sont respectivement
M„ et Nfl.
