Changements d'axes de coordonnées. — Les

équations du mouvement dans les diverses théories de la double réfraction ont été établies en prenant pour axes de coordonnées des axes particuliers, les axes de symétrie optique du milieu. Les équations du mouvement mises sous la forme (III) présentent le grand avantage de se prêter à un changement d'axes et de donner facilement les cosinus directeurs de la vibration de M. Sarrau. Les relations qui existent

entre les directions des vibrations de Presnel, de Neumann et de M. Sarrau étant indépendantes du choix des axes de coordonnées pourvu qu'ils soient rectangulaires, les groupes de relations (I) et (II) permettront toujours de trouver les cosinus directeurs des vibrations de Neumann et de Fresnel quand on connaîtra les composantes ?, y), Ç de la vibration de M. Sarrau. Cherchons donc ce que deviennent les équations (III) quand on fait un changement d'axes Posons

au- -{•• hv- -\- cio^ = F(m, V, lo).

Les équations (III) peuvent alors s'écrire :

d^___yj^ ^__lrfP £^Ç__lrfF

L'équation du plan tangent à l'ellipsoïde F = 1 au point P de coordonnées — n, — v, ■ — lo est :

au ' dv dw

et la distance OT(/îgr. 19) du centre 0 de l'eUipsoïde à ce plan est:

du) '^\dv) "^ \dw) '

Si donc on prend sur la droite OT une longueur OS = j=7=

les coordonnées du point S seront r^ — -r' r~ c'est-

^ du do dto

/■72Ï fl'l, fl'^T ' '

à-dire le double de —'i —7-^1 -j-^' Lo point S se déduisant du

point P par une construction géométrique indépendante de la direction des

axes, les valeurs de -7-7' ^-r- -r-; auront al^ dt^ dt-

toujours la même forme quels que soient les axes. Les équations (IV) seront toujours vraies, mais F aura pour expression dans le cas le plus général

Fig. 19.

F = mi'^ -|- iy2 | cjc,2 j 2c?vîo -]- 2ewu -j- 2/'«<w.

En développant les seconds termes des équations (IV), on obtient alors

d^ dt^'

= — [au-\- fv + eic),

J = {fu J^bv-\- dw), d^^

ce sont les équations de la double réfraction rapportées à des axes quelconques.

SURFACE d'onde. — PROPAGATION RECTILIGNE DE LA LUMIÈRE.

180. Surface donde. — Si nous supposons l'éther primitivement au repos et qu'à l'origine des temps on ébranle les molécules contenues dans une sphère de rayon très petit, les

ftiolécules en mouvement au bout de l'unité de temps appartiendront à une certaine surface qu'on appelle surface d'onde.

Cette surface est une sphère dans un milieu isotrope. En étendant aux corps non isotropes le principe deHuyghens, on peut trou ver l'équation de la surface d'onde dans ces milieux quand on connaît la vitesse de propagation d'une onde plane. Maison peut faire à cette extension du principe de Huyghens les objections que nous avons signalées dans le cas des isotropes, et pour être rigoureux, il nous faudrait recommencer pour les corps anisotropes la justification à laquelle nous sommes parvenus dans le chapitre III. Nous nous bornerons à admettre la manière de raisonner de Huyghens sans eq chercher la justification.

Considérons une onde plane PP' {flg. 20) passant par un point 0 d'un milieu anisotrope. Au bout de l'unité de temps, cette onde coïncidera avec le plan QQ' parallèle Fig. 20.

à PP', et situé à une distance de ce dernier plan égale à la vitesse de propagation V de cette onde.

D'autre part, l'ébranlement initial du point 0 mettra en mouvement au bout du temps 1 les molécules du milieu élastique qui, d'après la définition de la surface d'onde, sont situées sur la surface d'onde S relative au point 0. Or, d'après le principe de Huyghens, le mouvement de l'éther en tout point de l'onde plane QQ' est la résultante des mouvements qu'envoient isolément chacun des points 0,0' de l'onde PP'. Les ondes élémentaires de ces points étant S, S',... il ne peut y

fS;^"'

avoir de mouvement au-delà du plan langent commun Q|Q,' à ces ondes. De plus il y en a certainement au point Qj où ce plan Q,Q' touche la surface S; car Q, étant extérieur aux autres surfaces d'onde S' elc ; le mouvement envoyé en Q, par le point 0 ne peut-être détruit par le mouvement envoyé par les autres points du plan PP'. et comme le mouvement ne doit avoir lieu que dans le plan QQ , les deux plans QQ' etQ, Q/ doivent se confondre.

Quelle que soit la direction du plan de l'onde PP' passant par le point 0, la surface d'onde de ce point sera toujours tangente à la position occupée par l'onde plane au bout de l'unité de temps; par conséquent, elle est Tenveloppe de ces positions.

181. Direction du rayon lumineux. — Voici comment on peut, en s'appuyant sur le principe de Huyghens, déterminer la direction du rayon lumineux. Soit P {fig. 21) la position du plan de l'onde à un instant quelconque, et P' la nouvelle position du plan de l'onde au bout Q de l'unité de temps.

^ Supposons maintenant que le plan P ne soit pas tout entier ébranlé, et que la partie éclairée p de ce plan se réduise à un élément AB, ayant Fig. 21. son centre de gravité en 0, très petit, d'une manière absolue, mais assez grand toutefois, pour qu'on puisse négliger les phénomènes de diffraction.

On obtiendra la portion éclairée du plan P' en construisant les surfaces de l'onde qui ont pour centres les divers points de AB, et on cherchera les points de contact de ces surfaces avec le plan P'. Les points ainsi obtenus formeront un élément

plan A' B' ayant son centre de gravité en 0'. La droite 00' est alors le rayon lumineux cherché, iToù la règle suivante :

On obtiendra la direction du rayon lumineux en joignant le "point 0 au point de contact de la surface de l'onde, qui a son centre en 0, avec un plan tangent parallèle au plan de l'onde.

Nous allons appliquer celte règle sans nous inquiéter des objections soulevées par le principe de Huyghens, Nous en donnerons d'ailleurs plus loin (189) une démonstration rigoureuse.

182. Soient a, p, •; les cosinus directeurs de la normale à une onde plane, V la vitesse de propagation de cette onde, et X, y, z les coordonnées du point où la surface d'onde est rencontrée par le rayon lumineux passant par l'origine. Ce point appartenant au plan occupé par l'onde au bout de l'unité de temps, ses cot)rdonnées satisfont à l'équation

(1) aa; + flj/ -f- Y3- = V ;

comme il appartient également à l'enveloppe de ce plan on a aussi

(2) xdru -)- yrffi -f- zd^ = dS .

Quant à la vitesse de propagation V, nous savons riue dans toutes les. théories de la double réfraction que nous avons exposées, elle est donnée par l'équation

(3) vi^« + v^ +V^c = ^ (^' f^' ^) 0-

qui, 'par différentiation. donne :

d¥ , , rfF „ , f/F', , f/F „, a a c/jï ' d'i ' '■ d\

En y remplaçant d\ par le premier membre de l'égalité (2) celle équation devient :

D'ailleurs a, p, v sont liés par la relation

qui donne par difTérentiation

(3) arfa + Sf/S + Y^Y = 0. ,

Les deux relations (4) el (o), satisfaites à la fois pour toutes les valeurs que l'on peut donner à c?a et </p, doivent être identiques ; nous aurons donc en introduisant une constante arbitraire K

dF , dF ^ «a ' d\

dF , dF («) ^+-''dV = ^?'

dF , dF

Cherchons les valeurs de K et des dérivées partielles qui entrent dans ces équations. Pour cela rappelons que lavitesse de propagation V satisfait aux équations

AV2 = aA — aH, .

(I) BV2 = 6B — pH,

CV^ = cC — vH,

DOUBLE REFRACTION 289

H = A«a + bip -|- CcY,

et qui par élimination de H nous ont conduit (154) à l'équation (3). Nous aurons

dF 2a

et, en remplaçant V^ — a par sa valeur tirée de la première des équations du groupe (1),

rfF 2A rfoc ~ ~ H ■

Nous trouverons

dF ■2B ^ 2G

f/p ^ ~ H ' dy ~ H '

de la même manière.

Pour la dérivée par rapport à V nous aurons

rfF Y 2oc^V ç,v V "■' dY ~ Zj(V2«)2— -'Zj(V2 a)2 —

Or nous avons vu (155) que si le point A. B, (] est sur l'ellipsoïde d'élasticité, on a

^yi ^B^-f-G^'

il en résulte

dF d\~

2V 1 2 H3 \2 — VH2

Calculons le coefficient K. Pour cela multiplions les équations (6) par a,Ep, Y et additionnons, nous aurons

mais

>ri dF y-^ 2Aa

et d'après l'équation (1)

Par conséquent

rfP 2

En portant ces valeurs K et des dérivées partielles dans

les équations (6), puis multipliant par — rr^ i nous obtiendrons

AH + I = a, (II) BH + I = p,

GH-f-f = Y-

équations qui nous donneront les coordonnées x, y, 4rdu point d'intersection de la surface d'onde par le rayon lumineux.

183. Relations entre la direction du rayon lumineux et celles des vibrations. — Considérons la vibration de

DOUBI-E RÉFRACTION 291

Neumann dont les cosinus directeurs sont proportionnels à A', B', G'. Si nous multiplions les équations du groupe (II) par A', B', C nous obtenons pour là somme de ces produits

Nou= savons d'ailleurs que la vibration de Neumann est situe'e dans le plan de l'onde et qu'elle est perpendiculaire à celle de Fresnel ; par conséquent, nous aurons

A'a -\- B'p -f C'y = 0, AA'+BB'-f-CG'"=0,

et la relation précédente se réduira à la suivante

qui exprime que la vibration de Neumaiin est perpendiculaire au rayon lumineux

Prenons maintenant la vibration de M. Sarrau, dont les cosinus directeurs sont proportionnels à Aa, B6, Ce. En multipliant respectivement chacune des équations (II) par ces quantités et additionnant, nous avons

H^aA^ -j-i^rtAa; = ^ Aaa.

Le point de coordonnées A, B, G étant sur l'ellipsoïde d'élasticité, SaA^ =: 1 ; d'autre part, par hypothèse, H = SAflot. Par conséquent, la relation précédente se réduit à la suivante

a\x 4- 6B(/ -f cGz — 0,

qui exprime que (a vibration de M. Sarrau est perpendiculaire au rayon lumineux.

184. Équation de la surface d'onde. — L'équation de cette surface s'obtiendra en éliminant a, p, y, A, B, C et V entre les équations formant les groupes (I) et (II) et la suivante

(IV) kax -1- Wji/ + Ccz = 0,

que nous venons de de'duire du groupe (II). La première des équations (II) peut s'écrire

Y = ocH — AH2,

et la première des équations (I) nous donne

aH=A(a — V2), Nous aurons donc

Cherchons la valeur de V^ -\- H-. Pour cela tirons des équations (II) les valeurs de x, y, z et formons les carrés de ces quantités; nous aurons :

a; = aV — AHV, a;^ = a^V^ — SAaHV^ -|- A^H^VS y = pV — BHV, y2 = p2V2 2BpHV2 -j-B^H^VS, ^ = ^V CHV, ^2 = Y^ys 2GyHV2 + C^H^V^,

et par conséquent

a;2 ^ y2 | ^2 — ,.3 ^ y% 2HV2 V Aa -f H2V2 S A2.

DOUBLE nÉFRACTIOX 2fl3

Nous avons déjà vu que S Aa = 0 et S A^ = — ; parsuile

nous aurons pour le carré du rayon vecteur de la surface d'onde

En portant cette valeur de V^ -|- H^ dans l'expression pré-

cédomment obtenue de —, nous obtiendrons

et par symétrie,

Nous avons ainsi des quantite's proportionnelles à A, B, C qui portées à la place de A, B, G dans l'équation (IV) nous donneront

c'est l'équation de la surface d'onde sous sa forme la plus simple.

Cette surface paraît être du sixième degré; il est facile de montrer par le développement de l'équation précédente qu'elle est seulement du quatrième degré. On aura en chas"

sanl les dénominateurs

^rta;2 (?-2 — b^) (r2 — c^) = 0,

H V ax''- — r^ V{b-\-c) ax^ + abc [x^ + 2/= + :^) = 0.

»•- se trouve donc en facteur ; en supprimant ce facteur on obtient

2 x^^ax^' — 2 {ab + ac) x'^ + «ic =. 0,

équation qui n'est que du quatrième degré.