OS

OQ OF cos 9

Nous avons donc bien OM = OS.

Le point M étant un point de la surface d'onde, nous pourrons construire celte surface de la manière suivante : Couper l'ellipsoïde réciproque S par un plan quelconque, et porter sur la normale OM à ce plan des longueurs égales aux axes de l'ellipse E' d'intersection.

186. Sections de la surface d'onde par les plans de symétrie. — Prenons pour plans de ligure l'un des trois

Fig. 23.

plans de symétrie optique du milieu. Ces plans étant les plans principaux de l'ellipsoïde d'élasticité seront également les plans principaux de l'ellipsoïde réciproque S. Un plan perpendiculaire au plan de la figure et passant par le centre de cet ellipsoïde contiendra donc un de ses axes, celui qui est perpendiculaire au plan de figure.

Si OS [fig. 23) est le plan de section considéré, on aura les deux points correspondants de la surface d'onde en portant sur la normale OM à ce plan la longueur OM = OS et la longueur OM' égale à l'axe projeté en 0. Les deux points M et M' sont situés dans le plan de la figure, et on obtiendra l'intersection de la surface d'onde par ce plan en faisant tourner le plan OS autour de la normale passant par 0. L'un des axes des sections ainsi obtenues étant l'axe projeté en 0, la longueur OM' sera constante et le point M' décrira un cercle. Le point M décrira une ellipse qui n'est autre que l'ellipse ÂB d'intersection de l'ellipsoïde réciproque par le pian de la figure, ellipse dont on a fait tourner les axes de 90°.

L'intersection de la surface d'onde par chacun des plans de symétrie se compose donc d'un cercle et d'une ellipse. La connaissance de ces intersections permet de se rendre assez bien compte de la forme de la surface d'onde. Si nous supposons que l'on ait a'>h'>c la partie

Fig. 24.

de la surface d'onde comprise dans le trièdre où les trois coordonnées d'un point sont positives aura la forme représentée par la figure 23.

Dans le cas particulier de cristaux à un axe l'ellipsoïde d'élasticité est de révolution ; l'ellipsoïde réciproque, et par suite la surface d'onde le sont également. L'intersection de cette surface par deux des plans de symétrie se compose d'une ellipse et d'un cercle; l'intersection par le troisième plein de symétrie est formée de deux cercles. — La surface d'onde se compose alors d'une sphère et d'un ellipsoïde de révolution tangents.

187. Ombilics et plans tangents singuliers de la surface d'onde. — Considérons un plan cyclique de l'ellipsoïde récipro(iue. Tous les rayons vecteurs de cette section seront des axes égaux; par conséquent, à un plan cyclique ne correspond qu'un seul point M de la surface d'onde. Mais, à chaque direction OS d'un axe correspond un plan tangent normal au plan passant par OS et OM ; nous aurons donc une infinité de plans tangents en M. C'est un point conique. Comme a chaque section cyclique correspondent deux points coniques, nous aurons quatre points coniques réels et huit points coniques imaginaires. On appelle encore ces points les ombilics de la surface d'onde.

Le cône formé par les plans tangents à la surface d'onde en un point conique est du second degré. En effet, il ne peut être du troisième degré, car la droite passant par deux de ces points rencontrerait la surface en six points, ce qui ne peut avoir lieu puisque cette surface est du quatrième degré.

La considération des plans cycliques de l'ellipsoïde d'élasti-

cité conduit à une nouvelle propriété intéressante de la surface d'onde.

Si nous supposons que le plan de l'onde soit un plan cyclique, tout rayon du cercle d'intersection sera une direction de la vibration deFresnel. A chacune de ces directions correspond un plan tangent PM à la surface d'onde; mais comme

OP ^ — et que OF est constant, ces divers plans tangents se

confondent. Leurs points de contact avec la surface d'onde ne se confondent cependant pas, car à chaque direction de OF correspond une direclion particulière de OS et, par suite, de OM. Par conséquent, le plan PM correspondant à une section circulaire de l'ellipsoïde touche la surface d'onde en une infinité de points distincts. Ces points forment une courbe qui doit être du second degré, car, en général, la section d'une surface par un plan tangent singulier se composant de deux courbes confondues, chacune de ces courbes est d'un degré égal à la moitié du degré de la surface. D'ailleurs, cette courbe du second degré est un cercle. Rn effet, les directions asj'mptotiques de la surface sont données par les termes du plus haut degré ^x^'Saa;^ ; deux de ces directions sont celles d'un cercle, et comme pour les plans tangents singuliers les directions asymptotiques doivent se confondre deux à deux, puisque les courbes d'intersection se confondent, les quatre directions asymptotiques sont celles de cercles. La courbe d'intersection de la surface par un plan tangent singulier se compose donc de deux cercles confondus. Il y aura quatre de ces plans tangents singuliers qui seront réels, un ellipsoïde ayant deux directions de sections cycliques à chacune desquelles correspondent deux plans tangents singuliers.

Bien d'autres propriétés de la surface d'onde ont été étudiées par divers mathématiciens. .En particulier, nous citerons les procédés élégants indiqués par M. Mannheim pour trouver les rayons de courbure et tracer les lignes de courbure de la surface d'onde. Mais nous n'insisterons pas sur ces propriétés qui n'ont aucun intérêt au point de vue de l'Optique. Seule, la considération des ombilics et des plans tangents singuliers a une grande importance. On sait, en effet, qu'elle a conduit Hamilton à la découverte de la réfraction conique intérieure et de la réfraction conique extérieure que Lloyd a pu mettre en évidence par des expériences délicates.