PROPAGATION RECTILIGNE DE LA LUMIERE

188. Propagation rectiligne de la lumière dans un milieu isotrope. — Nous avons déterminé plus haut (181) la direction du rayon lumineux dans un milieu cristallisé en nous appuyant sur le principe de Huyghens ; mais ce principe, quelles que soient l'utilité et l'importance de son rôle en optique, prête à un grand nombre d'objections dont nous avons cherché à donner une idée dans la première partie du cours.

Aussi ne sera-t-il pas inutile d'expliquer ici comment on peut déterminer la direction du rayon lumineux dans un milieu isotrope ou anisotrope en s'afTranchissant du principe de Huj'ghens et des difficultés sans nombre qu'il soulève. Nous commencerons par le cas le plus simple qui est celui des milieux isotropes, et nous écrirons les équations du mouvement

transversal sous la forme habituelle,

avec

Cherchons à satisfaire à ces équations en faisant :

(1) l = Ae^ 7| = BeP, Ç = GeP,

où

^^ — Nt

Si nous regardions A, B, G comme des constantes, nous retomberions sur la théorie ordinaire de la propagation d'une onde plane indéfinie. Mais alors la question de la direction du rayon lumineux ne se poserait pas, puisque tout l'espace se trouverait également éclairé. Nous devons donc supposer qu'une portion seulement de i'éther est agitée par des ondulations et par conséquent que A, B, G sont des fonctions de X, y, z et t.

Nous prendrons une unité de longueur comparable à nos

unités habituelles, de telle sorte que \ sera une longueur très

2 m petite et^r- une quantité infiniment grande ; (si dans l'e-xpor

sition de la théorie de M. Sarrau, nous avons regardé cette quantité comme très petite c'est que nous avions pris une

unité de longueur comparable à la distance qui se'pare deux molécules matérielles). Au contraire nous supposerons que les fonctions A, B, G et leurs dérivées des divers ordres sont finies.

Les considérations qui vont suivre ne s'appliquent donc pas, du moins sans modification, au cas où les fonctions A, B, G sont discontinues et où par conséquent leurs dérivées ne sont pas finies ; dans ce cas, en effet, il se produit des phénomènes de diffraction et il y a déviation du rayon lumineux.

Substituons les valeurs (1) dans la première des équations

du mouvement, il viendra, en divisant par — e^ — ->

P V i^ dt~ 4,^2 ai^ j- A -t- .^ ^^ - ^^., AA

Nous négligerons les termes en X^; si nous remarquons que pV^ = 1, nous verrons que les termes indépendants de À disparaissent ; les deux membres contiendront alors le facteur — • Si nous faisons disparaître ce facteur, il restera simplement

dl ' ' dz On trouverait de même

dt ' dz dt ' dz

Si nous substituons les valeurs (1) dans l'équation 0 =z 0 et que nous la divisions par e^ , il viendra

\ '^ dx'^ dy'^ dz ~

Cette équation nous montre que C est un infiniment petit du même ordre que 1. Quant à l'équation (2), elle a pour intégrale générale :

A = fonction arbitraire de a-, y et ir — y t.

Ainsi la valeur de A au temps t et au point dont les coordonnées sont X, y, ei z -\- Ni, sera la même qu'au temps Oet au point a\ y, z. Si à l'origine des temps il n'y a de lumière sensible qu'à l'intérieur d'unepetile sphère ayant pour centre le point x,y, z ; à l'époque t, il n'y aura de lumière sensible qu'à l'intérieur d'une petite sphère du même rayon ayant pour centre le point x, y ei z -\- \t. En d'autres termes, la lumière se sera propagée dans la direction de l'axe des z, c'est-à-dire perpendiculairement au plan de l'onde.

Ainsi datis un tnilieu isotrope le rayon lumineux est normal au plan de l'onde.

189. Propagation rectiligne de la lumière dans un milieu anisotrope. — Passons au casd'un milieu cristallisé, et prenons par exemple les équations de M. Sarrau :

dz Cherchons à y satisfaire en posant

\ = LeP, Y, =: MeP, C = Ne"",

L, M, N étant des fonctions de ,/■. y, z et t.

a df-

1 f/^Yl b dt^

i dK

cdf'

Si L, M et N devaient être des constantes Lq, M^, N(,, ces constantes et V devraient satisfaire aux équations

(1) VJio^Lo-aH, IJLil=M„-pH, I-^"^N„^H.

H = QcLo + pM„ + yN„.

Posons alors :

L = Uf-^g, M = Mo/- + /*, N = N/,

et cherchons à déterminer les trois fonctions f, g et h.

Pour obtenir ces trois fonctions, substituons dans les équations du mouvement à la place de \, -rj, X,, leurs valeurs, c'està-dire,

l = [W 4- 9) e^ ■n= (MoA + h) e^ 1 = N„/fe^

Nous obtiendrons ainsi trois équations différentielles entre/", g e[ h. D'après leur mode de formation ces équations seront :

1° Linéaires et homogènes par rapport àf, g et h et à leurs dérivées partielles des deux premiers ordres ;

2° A coefficients constants, après que l'on aura supprimé le facteur commun e^.

Eliminons maintenant g et /( entre ces trois équations ; il restera une équation différentielle unique qui définira f.

Cette équation sera encore linéaire, homogène et h coefficients constants ; mais elle sera d'ordre supérieur au second.

Elle ne contiendra pas f; car les équations du mouvement doivent être satisfaites quand on fait

Elle ne changera pas quand on multipliera à lafoisX, x, y, z

DOUBLE KÉFRACTIO.N 305

eU par un même facteur, ce q ui revient à changer simultanément et dans un même rapport l'unité de longueur et celle de temps. Soit :

un terme quelconquedu premier membre de notre équation; A est une constante indépendante de X et D" /" une des dérivées partielles d'ordre jh de/". Quand on changera X x, y, z et t en kl, kx^ ky, kz, el At, ce terme se trouvera multiplié par k>^"K Pour que l'équation ne change pas, il faut que m — p ait même valeur pour tous les termes de l'équation. Nous multiplierons notre équat'ion par une puissance de À telle que m — p soit égal à l.

Alors les coefficients des dérivées du premier ordre ne contiendront pas X ; ceux des dérivées du second ordre contiendrontle facteur X; ceux des dérivées du troisième ordre contiendront le facteur X^ ; et ainsi de suite. Mais X étant très petit, nous pouvons négliger les termes qui contiennent ce fadeur ; il ne nous restera plus alors que les dérivées du premier ordre et l'équation en f s'écrira

df, , df „dr df

[A, jji', [a" étant des constantes.

L'intégrale générale de cette équation sera :

f = fonction arbitraire de a; — \x.t, y — \i!t et x- — </'t,

ce qui veut dire que les cosinus directeurs du rajon lumineux sont proportionnels à jjl, a' et [a" et que la vitesse de propagation, estimée non pas normalement au plan de l'onde, mais dans la direction du rayon est \\i.- -f- \x- -\~ ni'-.

On pourrait déterminer |/ |jl' et [a" en eflecluant tous les calculs que nous venons d'indiquer ; mais cela est inutile. En effet les équations du mouvement devront être satisfaites si l'on fait /"= e^~y', d'où g el h =: constante très petite X e^-/" et

Lu, Mq et Nq étant desconstantes très peu différentes de Lq, M^ et Ng. On aura alors

Or nous avons vu que si l, v), ï sont égaux à des constantes multipliées par e^ et que l'on pose :

P=Ç(aa-|-py-fy.'-V<)

X étant choisi de telle façon que a'-' + P"' "F T^ = 1 ; on devra avoir

Nous désignerons comme nous l'avons déjà fait plus haut le premier membre de cette équation par

Comme a^ -}~ P^ + ï" =^ ^ ! "ous aurons également

La relation (3) étant homogène en a, p, y et V subsistera encore quand on aura multiplié à la fois a, ,8, y et V par un même facteur. Elle est donc encore vraie, même quand on ne suppose plus que la somme a^ + P^ -(- Y^ *°'' égale à 1.

Ainsi la relation (3) devra être satisfaite quand on y remplacera a, p, Y et V par les coefficients de a-, y, -? et — t dans P', c'est-à-dire par

On aura donc

Cela est vrai avec le degré d'approximation adopté plus haut, c'est-à dire en supposant que 1 est très petit ; on a alors en négligeant X'^

[Kèy+P^ + ^^] =[(^^+P=+r-^) + g] '

=(i+gr=^+ê'

. Xu. aVX

( X \ 2 2e7r 2«Tt '

Il reste donc en tenant compte des relations (3) et (4): clF , dF ,, ilF

clF , ,dF ,,, f/F

c?F „rfF ^rfF df "T"^ d\~^ d\'

Si l'on compare ces équations aux équations (6) et du §(182), on verra que le point dont les coordonnées sont ^, a' et |ji" n'est autre que le point que nous avons appelé 0' dans ce paragraphe (voir figure 21) et dont les coordonnées étaient désignées par x, y et z.

Comme les cosinus directeurs du rayon lumineux sont d'après ce que nous venons de voir proportionnels à rx, ja' et [i" ; la droite 00' de la figure 21 est bien parallèle au rayon lumineux; ce qui est conforme au résultat où nous avait conduits l'application du principe de Huyghens.