THÉORIE DE NEUMANN ET MAC CULLAGR
211. Neumann et Mac Cullagh ont fondé sur des hypothèses toutes contraires à celles de Fresnel, une théorie qui est cependant également confirmée par l'expérience. Dans l'étude de cette théorie, nous adopterons un mode d'exposition qui diffère beaucoup de celui des inventeurs, mais qui fait mieux ressortir la véritable raison de ce fait étrange.
Soient ;, t|, Ç les projections sur les trois axes du déplacement dû à la propagation d'une onde plane quelconque, de sorte que ;, yj, Ç soient les parties réelles de
ou
Ae'^ Be'P, Ce''',
P = -|^(aa;+Py + Y.'-VO.
Si l'on pose
dX, rf-r, d\ dX, d-r dl
ay dz ds d<c dx dy
u, V et îo seront les parties réelles de
A'e'P, R'e'P, Ce''"
ou
A' = ^(8C-yB), B' = ^'(yA-aG), G'=^(aB-pA).
Si l'on regarde it, v, ic comme les projections sur les trois axes du déplacement dû à la propagation d'une seconde onde plane, il y aura entre les deux mouvements vibratoires représentés respectivement par ?, ïj, ^ et par u. v, w les relations suivantes:
1° Les deux vibrations {l, ■r\, Ç) et {n, v, îo) seront toutes deux dans le plan de l'dude (qui sera le même pour les deux mouvements vibratoires); mais elles seront perpendiculaires l'une à l'autre.
2° II y a entre les deux vibrations une différence de phase
égale à ^ (à cause du facteur i qui entre dans A', B' et G'). 3° L'amplitude de la vibration {u, u, lo) sera à celle de la
vibration (ç, -ri, Q dans le rapport — •
212. Revenons maintenant à la théorie de Presnel que nous venons d'exposer; nous avons vu que si l'on appelle ç,, -ri^, Ç, ; ?2, 7i2, îo; ^3, «ij, <;3;,les composantes du déplacement dû respectivement à la lumière incidente, à la lumière réfléchie, et à la lumière réfractée, des considérations théoriques ont conduit Fresnel à établir entre ces neuf quantités certaines relations que l'expérience a confirmées.
On peut former alors les quantités u^,v^,w^•, ii^, v^, lo^'.
Mg, Wj, ic^; de la façon suivante :
dlf d-i\,
dX,.^ drto Cil/ dz
Supposons avec Neumann el Mac CuUagh que la vibration est parallèle au plan de polarisation, perpendiculaire par conséquent à la vibration de Fresnel.
Supposons en même temps que les trois composantes des vibrations incidente, réfléchie et réfractée sont respectivement iif, Vf, Wf ; M,, v.^, w.^', M3, v^, w^ ces quantités étant liées par les mêmes relations que dans la théorie de Fresnel.
Nous allons montrer d'abord que ces hypothèses ne sont pas contredites par l'expérience, c'est à-dire que les résultats vérifiables expérimentalement sont les mêmes que dans la théorie de Fresnel.
En effet, les vibrations (ç, ri, Ç) et (m, v, la) sont perpendiculaires entre elles, d'où il suit que la direction des vibrations incidente, réfléchie el réfractée est dans la théorie de Neumann perpendiculaire à ce ([u'clle est dans la théorie de Fresnel; mais, comme nous supposojis en même temps que le plan de polarisation est parallèle à la vibration et non perpendiculaire comme l'imaginait Fresnel, le plan de polarisation qui est seul accessible à l'expérience, est le même dans les deux théories opposées.
Soient 1,, U, I3 les intensités des lumières incidente, réfléchie et réfraclée dans la théorie de Fresnel ; soient 1 ,' , K, I3 les intensités des mêmes lumières dans la théorie de Neumann. Soient },,, a., et X3 les longueurs d'i;nde correspondante.
RÉFLEXION 3i9
Gomme les intensités sont proportionnelles aux carrés des amplitudes, on aura
l'-hli l'-^i i'-iii:i
Comme X, = 1., = hX., on aura
ri I ' T
ia. I2, 13. ,,0 tz.
Ainsi le rapport de l'intensité de la lumière réfléchie à celle de la lumière incidente est la même dans les deux théories, de sorte que les expériences qui déterminent ce rapport ne permettent pas non plus de décider entre elles.
Le rapport tj est au contraire différent de rapport -f ; mais
si nous supposons par exemple que le premier milieu soit l'air et le second le verre, on pourra observer l'intensité de la lumière incidente, mais on n'aura aucun moyen d'aller observer dans le verre celle de la lumière réfractée; il faudra attendre, pour que cette observation devienne possible, que cette lumière soit sortie du verre par une nouvelle réfraction pour pénétrer de nouveau dans l'air. Son inlensité sera devenue alors Ij dans» la théorie de Fresnel, IJ dans celle de Ncumann et puisque la longueur d'onde sera de nouveau égale à \^, (longueur d'onde dans l'air) on aura :
de sorte qu'il viendra encore
Il -il
De même les expériences d'interférence telles que celle des trois miroirs ne peuvent permettre de donner la préfe'rence à l'une des deux théories. Si deux rayons interfèrent de façon à se détruire c'est que les valeurs de ;, t^, et ^ relatives à ces deux raj ons sont respectivement égales et de signe contraire. 11 en sera alors évidemment de même des valeurs de :
dy dz dz dx dx dy
En résumé les deux théories sont toutes deux également bien conformes à l'expérience.
213. Principe de continuité.— Nous avons vu, (203) que u,v, w sont des fonctions continues. Comme ces fonctions représentent dans la nouvelle théorie les composantes du déplacement, nous voyons que ces trois composantes sont continues. Le principe de continuité n'est donc plus ici soumis à la même restriction que dans la théorie de Fresnel où les composantes parallèles au plan de séparation devaient être continues tandis que la composante normale pouvait être discontinue.
Cette condition de continuité s'exprime en écrivant que pour ^^ = o, on a
214. Densité de l'éther. — Voyons quelle doit être dans la nouvelle théorie la densité de l'éther. Reportons-nous à ce que nous avons dit plus haut au sujet de l'application du principe des forces vives (202). Ce principe doit être applicable aussi bien dans l'hypothèse de Neumann que dans celle de Fresnel. Soient v^, V2 et l'g les volumes de trois parallélipipèdes d'éthcr CDEF,
C'D'E'F' et G"D"E"F". Soient p, et p^ les densités de l'éther admises par Fresnel dans le premier et le second milieu ; Pi' et p3 ce que doivent être ces mêmes densités dans la nouvelle théorie; on aura d'après l'une des hypothèses de Fresnel
Pa =«^Pc Le principe des forces vives s'écrira dans la théorie de Fresnel
(2) p. (»^J, — i^ok) = Ps^sh' et dans celle de Neumann
(3) pl{vM-v.^^)=p^v,\i.
L'équation (2) donne
tJ,I, —V2I.2 =«^"313 d'où
ou enfin en comparant à (3) :
P3 — Pc
Ainsi dans la théorie de Neumann, la densité de l'éther doit être regardée comme constante et son élasticité comme seule variable.
En résumé les hypothèses que nous avons faites équivalent aux suivantes qui sont celles qui ont été énoncées par Neumann et Mac CuUagh :
1° La vibration est perpendiculaire au plan de polarisation ;
2° La densité de l'éther est constante ;
3° Les trois composantes du déplacement sont des fonctions continues.
Fig 27.
215. Théorème de Mac Cullagh. — Soit 0 [fig. 27) un point du plan de séparation; menons par ce point trois droites 01, OR' et OR dont les projections sur les trois axes soient R respectivement, «,,«, ,?o^,- xi^,v^,w^; «3, l'j. ït'j. Ces trois droites représenter! ml en grandeur et direction, dans la théorie de Neumann, les vibrations incidente, réfléchie et réfractée. D'après les équations (1), OR est la somme géométrique de 01 et de OR', c'est-à-dire la diagonale du paralléiiigramme construit sur 01 et OR'. Les trois droites 01, OR et OR' sont donc dans un même plan.
Cherchons à déterminer ce plan. Soient OP et OF' les directions des vibrations incidente et réfractée dans la théorie de Fresnel. Le plan lOF est celui de l'onde incidente, le plan R'OF' celui de l'onde réfractée. D'après un théorème démontré plus haut (204),0Festla projection de OF' sur l'onde incidente. Les deux plans, lOF et F'OF sont donc rectangulaires; de plus l'angle IFO est dniil; donc 01 est perpendiculaire au plan FOF' et par conséquent à OF' ; OF' perpendiculaire à la fois à 01 et à OR est perpendiculaire au plan ROL Donc le plan ROI et le plan de l'onde réfractée sont rectangulaires. Donc le flan des trois vibrations 01, OR et OR' passe par le rayon réfracté.
Ceci permet de résoudre le problème suivant: connaissant en grandeur et direction la vibration incidente 01 (dans la théorie de Neumann) construire les vibrations réfléchie et réfractée.
Par ()I et li' rnynn ri'fracté faisons jiasser un plan qui coupe l'onde rc'fléchie suivant une certaine droite OR' et l'onde réfractée suivant une droite OR. Par le point I menons une parallèle à OR' jusqu'à sa rencontre en R avec OR, puis par le point R une parallèle à 01 jusqu'àsa rencontre enR' avec OR'. Nous avons ainsi construit en grandeur et direction les droites OR et OR'.
Si l'on veut énoncer le thcnrèmo sans faire intervenir la direction de la vibration, il faut dire:
Le plan de polarisation du rayon réfracté coupe le plan de polarisation du rayon incident^suivant une droite perpendiculaire au rayon incident et le plan de polarisation du rayon réfléchi suivant une droite perpeiidiculaire au rayon réfléchi.
THÉORIE DE CAUCUY (4)
216. Cauchy prend pdur point de départ le principe de continuité auquel il n'apporte aucune restriction ; non seulement ?, rj et Ç doivent être des fonctions continues, mais il en est de
, .... cU, d-fi di:, . . .. ,
même des dérivées -;-) -r-' et -7- i (si 1 on prend pour plan dz dz dz ' ^
des xy le plan de séparation).
Il serait impossible de satisfaire à ces conditions si l'on n'admettait qu'à côté des vibrations transversales susceptibles d'être observées, il se propage également des vibrations longitudinales inaccessibles à l'expérience. Nous ne devons donc
(11 Nouveaux exercices de malhémaliques, Comptes rendus, passim 1836 el 1839. Œuvres complètes, première série, t. IV, p,issim el principalement page 112 fqq. première série, 1. V, page 111.
LA LUiMIÈRE. 23
pas admellrp que la vitesse de propagation des rayons longitudinaux soit nulle; elle ne peut non plus être réelle, sans quoi une portion de la force vive due à la lumière incidente serait absorbée par ces ondes longitudinales et l'expérience n'indique aucune trace d'une semblable perte de force vive.
Nous sommes donc conduits à supposer que cette vitesse de propagation est imaginaire ; elle sera par exemple h dans le premier milieu et h' dans le second. D'ailleurs e et e' seront très petits. De cette façon les rayons longitudinaux seront évanescenls(53) et n'absorberont pas de force vive.
Soient ?,, v),, ^, les composantes du déplacement dû aux vibrations transversales, ç,, T|2, C2 l^s composantes du déplacement dû aux vibrations longitudinales, on aura :
ï = ;, -f ;o , T, = r,, -f- -fjo , ; = Ç, -f- ^2 ,
Cherchons à satisfaire aux conditions en posant comme plus haut (210)
Ço = X2e'''"" + *'', T|2 = Y2e''''-^ + '"', ^2 ~ Z^g/(ax + AO
les X, les Y et les Z étant des fonctions de z seulement. Nous aurons, dans le premier milieu , c'est-à-dire pour
X2 = Ae+ "S Y2 = Be+ ''% Z.^ = Ce+ ''^ ; et dans le second milieu, c'est-à-dire pour c^ > 0
Ecrivons que la vitesse de propagation dans le premier milieu est h, il viendra
a- — h On trouve de même
Nous voyons d'abord que £ et e' étant très petits, h et h' seront très grands. Par (Conséquent les facteurs e''- (dans le premier milieu où j- < o) et e-'''=(dansle second milieu où 2 > o) seront très petits à moins que la valeur absolue de ^ ne soit très petite. 11 n'y aura donc de lumière longitudinale sensible que dans le voisinage immédiat du plan de séparation ce qui explique pourquoi elle est inobservableet n'absorbe pas de force vive.
Ecrivons que la vibration [l.^, t\.^, t,.,) est longitudinale; nous aurons :
dy dz dz dx dx dy
Cela montre que -7-^ — ~^ est continu ; il en est de même dy dz
de ^ — puisque d'après le principe de Gauchy, ;, r,, l
sont continus ainsi que leurs dérivées du premier ordre. Donc
dX,. d-r^, , .. , . (^, dZ,, dy., dl,
-r- 7^ est contmu, de même que -r^ r^i —^ — -p-
dy dz dz dx dx dy
Ainsi si l'on ne considère que la lumière transversale observable les quantités que nous avons appelées plus haut u. v,îo sont continues comme dans la théorie de Fresnel.
Les conditions (2) peuvent aussi s'écrire,
a — ih a -\- ih
Donc YI2 = 0 et comme f\ est continu, y,, devra l'être aussi comme dans la théorie de Fresnel.
Il vient ensuite dans le premier milieu
dx dz
et dans le second milieu
ou, ce qui revient au même, dans le premier milieu
et dans le second
La vibration (;,,T|,,Ç,) étant transversale on aura dans les deux milieux
y-^-| — r-*- =; 0. (y|, est indépendant de y) ;
(Vit/ et -ta
dl , dX, 1 • -p <=^> I dX,^ ,
et comme —-j- 7- est continu, celasignilie que v^-f-'^T^ est
également continu.
Si donc nous appelons ç§ et ǧ les valeurs de Ço et de Çj dans le premier milieu, mais infiniment près du plan de séparation, et de même ?J et Ç| les valeurs de ?2 et C2 dans le second milieu et infiniment près du pian de séparation, nous aurons
dx "T" dz dx '^ dz'
et les équations (3) et (t) donneront
^^^ dx dx -h-^^ ' '\d.v "T- dz
Si la vitesse de propagation des vibrations longitudinales était la même dans tous les milieux, on aurait £ = e' ; le second membre de l'égalité (5) serait nul et -r-^ serait continu.
^ ' dx
11 en en résulterait que -j^ et par conséquent ?, seraient
des fonctions continues et il y aurait concordance complète avec la théorie de Fresnel.
Mais il est plus naturel de supposer e ^ s' ; dans ce cas,
comme e et e' sont tous deux très petits, le second membre de (5) n'est plus nul mais seulement très petit et la concordance avec la théorie de Fresnel n'est plus qu'approximative. En particulier le rayon réfléchi devrait présenter des traces de polarisation elliptique.
La théorie de Gaiichy a paru un instant recevoir une confirmation éclatante quand les expériences de Jamin ont décelé l'existence de ces traces de polarisation elliptique que le géomètre français avait prévues. Mais de nouvelles expé-
rieûées du même physicien ont cessé de concorder avec les prévisions de Gauchy.
Soient îe, ee', it les vitesses de la lumière longitudinale dans l'air, dans l'eau et dans le verre ; les observations de Jamin sur la réfraction de l'air dans le verre devraient fournir le
rapport — ; de même en observant la réfraction de l'air dans l'eau, puis de l'eau dans le verre, on devrait trouver les rapports — et -j,-
l.e premier rapport devrait être égal au produit des deux autres; il n'en est rien.
Aussi la théorie de Cauchy est-elle aujourd'hui abandonnée et préfère-t-on expliquer les phénomènes observés par Jamin en admettant que l'épaisseur de la couche de passage (208) n'est pas négligeable devant une longueur d'onde.
