THÉORIE DE MAC-CULLAGH
217. Hypothèses fondamentales. — Mac-Gullagh et Neumann admettent les mêmes hypothèses que dans le cas de la réflexion vitreuse :
1° La vibration est parallèle au plan de polarisation; 2° L'élasticité de l'élher est variable et sa densité constante; 3° Le principe des forces vives est applicable; 4° Les trois composantes du déplacement ;, ■f\ et ^ sont des fonctions continues.
218. Équations du mouvement lumineux. — Rappelons d'abord quelles sont les équations de la double réfraction rapportées à des axes quelconques (179).
Soient X, Y, Z les trois composantes de la vibration de M. Sarrau; \, tj, Ç celles de la vibration de Neumann, u, v. lo
(1) Mae-Cullagl],Tiausai;liotis da l'Acailemic royale d'Irlande, vol. XVIII; Journal de Liouvitle, première série, lome Vil, page 211; Neumann, Jownal de LiouviUe, première série, tome VII, pngo 369, Iradiiclian d'un mémoire lu à l'Académie de Berlin, le 7 décembre 1835.
celles de la vibration de Fresnel, il viendra :
dy dz dy dz dt'^ du
rfX£/Z 1^1^ cP\ dW,
^ dz dx dz dx dt- dv
^ dY dX^ drr^dl rf2Z tWj
dx dy dx dy dt'^ dio
2W2 = au^ -|- 6i'2 | c^a -j 2eivo -f 'ïfuw -)- 2guv.
Si l'on observe qu'en tenant compte des expressions de u et de ï», on a
rfw, c^w, rrw, cfW, rfW, rfW,
==. ^ i e., é = ^ f\ pin
il viendra
t/^^ rf (^^Z d d^^ d dWa t/ (iW, rf<2 — f/y f;<2 f^is fifi ~ "" r/y d\;, ~ rfa- f/if
ou
d^l d d\\., d rfWo d cAV,
r;<2 ^a; ai^ dy dTc.;, dz dli
On en déduirait par symétrie deux équations analogues d\ ^dK
Cela posé, nous allons reprendre l'hypothèse de l.i couche de passage que nous avons exposée plus haut (208) et montrer que cette hypothèse est équivalente à celle de Neumann.
Dans la théorie de la double réfraction on regarde les coefficients de Wj comme des constantes. Mais ici nous n'avons plus affaire à un milieu homogène. Nous devons donc regarder ces coefficients a, h, c, e, f. g comme variables.
Nous considérerons loujoiirs deux milieux séparés par une couche de passage extrêmement mince; celte couche de passage sera limitée par deux plans parallèles, à savoir par le plan des xy et par un plan infiniment voisin. Dans chacun des deux milieux les coefficients de W^ conserveront des valeurs constantes; dans la couche de passage au contraire ils varieront très rapidement. Remarquons de plus que, si l'un des plans qui limitent la couche de passage est pris pour plan des xy, ces coefficients seront fonctions de z seulement.
On aura alors par exemple :
--^ = gu-\-hv-\-ew, et
d c^VV., du , , dv , dw , dg dh . de
Je dis maintenant que les équations que je viens d'écrire équivalent aux hypothèses de Neumann et Mac-GuUagh.
219. Densité de l'éther. — En premier lieu elles entraînent le principe des forces vives et la constance de la densité de l'éther. En effet nous avons vu dans le chapitre I" que
sipestla densité del'étheretque / W^^t représente la fonction
des forces, l'équation du mouvement s'écrira
^"' P di^ ~ dx d\'^ dy rf?,;" dz d\Ç'
Cette équation devient identique à l'équation (1) si l'on y fait p= 1.
L'existence d'une fonction des forces entraîne le principe des forces vives. On est obligé d'ailleurs, pour identifier les équations (1) et (2), de supposer p = 1 , c'est-à-dire de regarder la densité de l'éther comme constante, ce qui est précisénnent l'hypothèse de Neumann.
220. Principe de continuité. — En second lieu les équations du mouvement telles que nous venons de les écrire entraînent la continuité de l, T|, l qui constitue la seconde hypothèse de Neumann.
En effet, supposons qu'on cherche à satisfaire aux équations du mouvement en faisant comme nous l'avons fait plusieurs fois dans la théorie de la rétlexion vitreuse,
X = Xie-C-^ + P'), l = ^le-'^-^ + P'), u = ?<,(;'■(« + ?'),
Z = Z^e''<«^ + P'), Z, = !:,e'''='-^ + P", ic = «p, e' '"^ + P" ,
X,, Y, , Z|, ?,, Tii, Çi, M|, r,, ï<?, étant des fonction de z seulement.
Les équations du mouvement donneront:
w = ia.-i\.
Ces équations montrent :
1° Que les dérivées de ç, tj, X et Y sont finies et que ces quatre quantités sont par conséquent continues;
2° Que Ç et w sont égaux a Y et à ïi au facteur constant près
dz ~
d-r, dz-^
/ocY,
ix. Donc Ç et w sont continues comme Y et tj le sont ellesmêmes.
Ainsi :
1° Les trois composantes ;, tj, ^ de la vibration de Neumann sont continues ;
2° Les deux composantes de la vibration de M. Sarrau parallèles au plan de séparation, c'est-à-dire X et Y sont aussi continues.
231. Vérifications expérimentales. — En écrivant que X, Y, ;, ïj et C sont des fonctions continues, on a un nombre suffisant J'e'quations pour déterminer en grandeur et direction les vibrations réfléchie et réfractée, quand on connaît la vibration incidente. Nous ne croyons pas utile toutefois de former ici ces éq-uations linéaires et de les résoudre efTectivement; il n'y a là qu'un calcul algébrique qui est assez long mais ne présente aucune difficulté. Nous nous bornerons à dire que les prévisions de la théorie ont été confirmées par l'expérience.
Dans toutes les expériences qui ont été faites, le premier milieu était monoréfringent et le second cristallin et dans les développements qui vont suivre nous supposerons toujours qu'il en est ainsi. Une des difficultés principales provient de ce que toutes les substances connues sont assez peu biréfringentes; il en résulte que le plan de polarisation diffère peu en général de ce qu'il serait avec une substance isotrope. On a tourné cette difficulté en prenant comme premier milieu un liquide dont l'indice de réfraction diffère peu de l'indice moyen • du cristal. Dans ces conditions on peut observer des déviations très considérables du plan de polarisation. Les déviations ob-
3fi4 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
servées paraissent concorder suffisamment avec les déviations calculées.
Il semble toutefois que certains cristaux présentent des anomalies. Ainsi le diamant qui est du système cubique et devrait se comporter par conséquent comme un corps isotrope donne lieu à une polarisation elliptique très intense.
222. Réfraction uniradiale. — Si un rayon incident tombe sur un cristal, il se partage en un rayon réfléchi et deux rayons réfractés ; ces deux derniers sont entièrement polarisés. Supposons maintenant que le rayon incident ait été polarisé par son passage à travers un nicol; quand on fera tourner ce nicol, les intensités des deux rayons réfractés varieront; dans une des positions du nicol, l'un des rayons réfractés disparaît; dans uneautre position, c'est l'autre rayon réfracté qui s'éteint. On dit alors qu'il y a réfraction uniradiale. Les directions de la vibration incidente qui correspondent à cette extinction de l'un des deux rayons réfractés s'appellent les deux directions uniradiales.
223. Théorème de Mac-CuUagh. — Le théorème de llac-Gullagh 1^215) est susceptible d'une généralisation remarquable par son élégance (1), mais que nous énoncerons sans démonstration.
11 faut d'abord donner la définition du plan polaire d'une des vibrations réfractées. Nous considérons un des deux rayons réfractés ; par un point 0 quelconque menons une parallèle ON à la vibration de Neumann et une parallèle OM au rayon.- Construisons la surface de l'onde qui a pour centre le point 0
(1) Mac-Cullagli, Journal de Lioiwille, première série, tome VU, 1842.
et qui vient couper en M le rayi)n lumineux OM. En ce point M menons le plan tangent à la surface de l'onde et abaissons du point M une perpendiculaire OP sur ce plan tangent; nous appellerons R le chemin que la lumière aurait parcouru ^, dans le premier milieu pendant le temps que met dans le second milieu un ébranlement parti du point 0 pour parvenir au point M ou en un point quelconque de la surface de l'onde qui passe en M.
Prenons ensuite sur le prolongement de OP un point tel que :
