Propriétés de la fonction des forces. — Si on
développe U suivant les puissances croissantes des ; (en désignant pari l'qnsemble des quantités ;,, vi,,C| ; i2"i2,?2---)> on a :
Ug, qui représente le terme constant, peut être supposé nul, car la fonction U n'entre dans les équations du mouvement que par ses dérivées.
U,, qui représente l'ensemble des termes du premier degré par rapport aux l, c'est-à-dire
2KÎ).
est nul, car -jr- représente la projection sur OX de la force s'exerçant sur la molécule M,, force qui est nulle dans la position d'équilibre, c'est-à-diro pour;,- = o. (-rê~) est nul, et
par suite U^ aussi.
Enfin, comme les quantités ; sont supposées très petites (2), on peut négliger les termes d'un degré supérieur au second par rapport aux ;, et on a simplement :
Uj est une forme quadratique par rapport aux 3n quantités; ; on peut donc la mettre sous la forme d'une somme de carrés. Cette somme doit être négative, car, l'équilibre étant stable quand les ^ sont nuls, la fonction U doit passer par un maximum pour ; = o, et une des conditions pour qu'une fonction passe par un maximum est que l'ensemlîle des termes du second degré du développement soit négatif.
Si on divise les forces agissant sur le système en deux groupes, forces intérieures et forces extérieures, et si l'on désigne par U' la fonction des forces relative au premier groupe, par U" celle qui est relative au second groupe, on aura :
5. Propriétés des fonctions U et U". — Si les diverses molécules se déplacent de manière que leurs distances respectives ne varient pas, le travail des forces intérieures est nul ; U' est alors nulle. U' peut donc élre considérée comme une
fonction de la dislance des molécules. En désignant par R, R'--les carrés de ces distances, nous poserons :
6. Si nous supposons que deux molécules ;jl et y.' s'attirent ou se repoussent suivant des forces égales, dirigées suivant la droite qui les joint, et ne dépendant que de la distance ;j.u.'; en d'autres termes, si nous nous plaçons dans rh ypothèse des forces centrales, U' sera la somme des fonctions des forces relatives à deux mole'cules (x et </ ; nous aurons dans ce cas':
7. Les forces extérieures au système peuvent être de deux espèces :
1° Les forces qui s'exercent à la fois sur les molécules intérieures et sur les molécules superficielles, comme, par exemple, les forces dues à la pesanteur.
2° Les forces qui n'agissent que sur les molécules superficielles, comme celles qui s'exercent sur la surface interne des parois d'une enceinte contenant un gaz.
Les forces du premier groupe ne se rencontrent pas en optique, l'étlier étant supposé impondérable. Quant à celles du second groupe, nous n'avons pas le droit de nier leur existence! Si Ton suppose qu'elles n'existent pas. la fonction des forces relative aux forces extérieures au système est nulle. On a alors U"=: 0.
8. Nous pouvons développer les fonctions U et U" par rapport aux ])uissances croissantes desÇ, et nous aurons, en né-
gligeant les puissances des ; supérieures au second degré :
En identifiant le développement de la fonction U (4) avec la somme des fonctions U et U" développe'es, nous obtiendrons les relations suivantes :
(7) U', + Ua'=U,= U.
Nous pouvons d'ailleurs supposer que les constantes Uq et Uô sont séparément nulles.
9. Etude de la fonction U'. — Soient deux molécules ;ji et |ji', dont les coordonnées sont dans la position d'équilibre,
x,y,z, .-B-fDx, y+Dy, 3- + De-,
Nous désignons par la notation Dr l'accroissement d'une des coordonnées, car la distance de ces molécules voisines n'est pas infiniment petite. Le carré de cette distance est :
R:=Dà;2 + D!/= + D^2
Si on écarte ces molécules de leurs positions d'équilibre, leurs coordonnées deviennent :
et le carré de leur dislance est alors :
L'accroissement p du carré de cette distance est donné par la relation :
p = 22D^'DE+2D?^
et, si nous posons :
(8) p, = 2(D.rDç + UyDY,+ DcDO= 2 ^^ Da-D?,
(9) p, = Bl^-^Bri'^BV-=^W, nous aurons, pour p :
La fonction des forces relative aux forces intérieures (5) a pour valeur, quand les molécules sont écartées de leurs positions d'équilibre :
U' = F(H^p, ir + p, H" + p", ..);
et, si on la développe par rapport aux puissances croissantes des p, ou obtient :
Dans celle exprcs.-idii, le ternie F (H,U',ll",...) ne d('peiid pas du déplacement; c'est donc le terme constant U,', obtenu en dévehiinjanl la roiiclidU U par rii|iport aux ; ; par suite, ce terme est nul. Gomme les quantités p sont du même ordre de grandeur que les ;, on peut, dans le développement de U', négliger les termes qui contiennent c à im degré supérieur au second ; on a donc :
En remplaçant p par la valeur finie de la relalion (10), on obti(Mit :
Si maintenant on identifie ce développement avec celui de la même fonction par rapport aux ; (8), on a, pour le second terme U ,' ,
^^12) U', =^ ^f , - 2 V ^ (D.rD'; + D^Dr, + D.^D!;).
10. Dansle cas particulier où la pression extérieure est nulle dans la position d'équilibre, l'expression précédente permet de trouver six relations importantes. En efîet, la fonction des forces U" relative aux forces extérieures a le second terme UJ de son développement égal à zéro, puisque lés dérivées partielles de U" par rapport aux quantités ; représentent les composantes de la pression extérieure ; la relation (6) montre que l'on doit avoir identiiiuement :
Une substitution quelconque faite dans U' à la place de ;,7), î doit donner pour résultat zéro ; en particulier, si on fait l=^x, 71 = î; =0, on a
On aura évidemment aussi :
Si maintenant on fait la substitution l^ y, -^ ^ Ç = o, on obtiendra :
rfF
et des substitutions analogues donneraient :
dF
El ■>-»» = «■
Ainsi, si la pression extérieure est nulle dans l'clat d'équi libre, les six relations suivantes :
E SI ■"'=»■ Ei ■'■'"'•'="■
pont satisfaites. Gauchy a démontré que, réciproquement, si ces six relations sont satisfaites, la pression extérieure est. nulle. Dans la suiledu cours nous serons amenés à démontrer cette réciproque.
11. Le troisième terme Uj du développement de L" par rapport aux quantités ; a pour expression, si on néglige les termes du troisième et du quatrième degré en D; :
fPF
clR ' - ^ 2 — / dti- • * ~ ^ dRc/H ''''■
En substituant celte valeur de Uj dans la relation (7), on obtient :
Le premier terme, UJ, de cette expression ne jouera en général aucun rôle dans l'élasticité; il ne dépend, en effet, que des pressions extérieures et ne peut provenir que des déplacements des molécules superficielles. Or. quand on étudie le mouvement dans un milieu indéfini, on est conduit à admettre que les quantités Ç sont nulles à l'infini; en outre, dans un milieu limité, les conséquences déduites des calculs dans lesquels la quantité U^' est supposée nulle, rigoureusement vraies pour les portions du milieu situées à une certaine dis-
tance des surfaces extérieures, sont à peine modifiées pour les portions voisines de ces surfaces.
Le second terme
est nul dans un cas, celui où on suppose la pression extérieure nulle dans l'état d'équilibre. Cette propriété sera démontrée plus loin.
Quant au troisième terme, il subsiste dans tous les cas.
Enfin, le (UKitrième ternie. > „-. ,^.c,z',, disparaît dans ' ..lj rtnc/n ' ' '
l'hypothèse des forces centrales. Nous avons vu (6) que
cette hypothèse réduisait la fonction Lî' à une somme de
termes dont chacun ne dépendait que d'une seule quantité.
En dilTérentiant la relation (o) par rapport à R, on obtient :
dfi~ dR '
et, comme la fonction /"(R) est indépendante de R', une nouvelle différentialion par rapport à R' donnera pour résultat :
d^V c/-F d dfJR)
dR'dR dRdR' dR' ' dR
Le quatrième terme de la fonction U est donc nul dans ce cas.
12. Troisième hypothèse. — Nous allons maintenant introduire dans notre étude une nouvelle hypothèse. Nous supposerons que les molécules des corps, extrêmement nombreuses et séparées par des intervalles très petits, n'exercent
leurs actions miiluelles qu'à des distances très petites. La distance mnxima à laquelle ces actions peuvent s'exercer s'ui)pelle le rayon d'activité moléculaire.
L'introduction de cette hypothèse va nous permettre de simplifier l'expression de la fonction U'. Considérons un certain volume occupé par le milieu élastique et divisons ce volume en deux parties H et II' [fig. \). La fonction des forces U' dues aux actions mutuelles des molécules du voUinie total pourra être considérée comme la somme des trois quantités suivantes: 1" du [)otentiel V, relatif aux actions mutuelles des molécules du volume R; 2" du potentiel Y', dû aux actions mutuelles des molécules du volume R'; 3° enfin, du potentiel résultant de l'action des molécules du volume R sur les molécules du volume R'. Ce dernier potentiel est très petit. En effet, les molécules réagissant l'une sur l'autre doivent être à une distance moindre que le rayon de la sphère d'activité moléculaire ; par suite, les molécules du volume R agissant sur celles du volume R' et les molécules du volume R' agissant sur celle du volume R seront comprises à l'intérieur d'un volume limité par deux surfaces parallèles à la surface de séparation de R et de R' et situées à une distance de cette surface égale au rayon d'activité moléculaire. Ce volume sera négligeable par rapport à R et à R', et, si nous admettons que le nombre des molécules d'un milieu est proportionnel au volume qu'elles occupent, les molécules de chacun des volumes R et R' qui réagissent sur les molécules de l'autre volume seront en nombre
négligeable par rapport aux molécules contenues dans U ou dans R'. Par conséquent, le potentiel dû à l'action des molécules du volume R sur celles du volume R' pourra être négligé vis à vis de V et V ; on aura :
Ce raisonnement subsiste d'ailleurs si on divise le volume occupé par le milieu élastique en un nombre infiniment grand de volumes infiniment petits, pourvu que les dimensions de ces volumes élémentaires restent infiniment grandes par rapport au rayon d'activité moléculaire; cela sera toujours possible puisque ce rayon est un infiniment petit en valeur absolue. En désignant par ch un de ces éléments de volume, par Wrfr le potentiel dû aux actions mutuelles des molécules situées à l'intérieur de cet élément, le potentiel des forces intérieures du volume total sera :
(16) u'=^rwf/T.
13. Nous pouvons développer W suivant les puissances croissantes des ;, et, en négligeant les termes d'un degré supérieur au second, nous aurons :
Le terme constant W,, peut être supposé nul et la relation (16) nous donnera :
(17) \]\=J\\,elr,
La lonclion des forces U qui entre dans les équations du mouvement deviendra, en len.mt (^omple de l.i relation (7) :
(19) \] = v::+ fw^^r.
Nous pouvons aussi développer la fonction W suivant les puissances croissantes des p, comme nous l'avons fait pour la fonction U' ; et, en nous reportant à la formule (la), nous écrirons :
mr/R'"
la sommation s'étendant seulement aux molécules de l'élément dr.
La quantité ;, étant homogène et linéaire par rapport aux quantités D;, \ir\, Dl,. et p^ étant homogène et du second degré par rapport à ces mêmes quantités, il résulte de l'expression précédente que Wj est une fonction homogène et du second degré de D?, Dy,, Dî;.
14. Nouvelles hypothèses. — Nous admettrons ijue les déplacements ;, y,, C, sont des fonctions continues des coordonnées X, y, z de la molécule dans la position d'équilibre, et qu'il en est de même de leurs dérivées successives. Cette hypothèse est légitime; car, s'il en était autrement et si le déplacement relatif de deux molécules très voisines n'était pas très petit, il en résulterait des réactions élastiques très considérables qui ne permettraient pas à un pareil état de choses de subsister.
La conliniiilé des fonctions ; et de leurs dérive'es étant admise, nous pouvons développer ces fondions suivant les puissances croissantes des variables x, y, s, et nous aurons :
Les quantités Bx, Dy, De, qui sont les accroissements des coordonnées quand on passe d'une molécule ?i une molécule voisine, sont de l'ordre du rayon d'activilé moléculaire; les carrés de ces quantités seront des infiniment petits qu'en général on pourra supprimer. Nous verrons cepcndani qu'on n'a pas toujours le, droit de faire disparaître ces carrés, et que l'une des théories données pour l'explication de la dispersion de la lumière nécessite leur conservation. En les supprimant. Dç, Dy|, DC sont données par des fonctions linéaires et homogènes des neuf dérivées partielles :
d^ d\ dX dt\ dx ' dy ' dz ' dx'"'
On a:
de ' dy ' dz
(21) D-^ = ^D.r-f^Dy-f^D.-
dx ' dy • ' dz
^^=Tx^'"+di,^'>+7jl^'
15. Étude de la fonction "W^,. — Nous avons vu (13) que Wj était uni' fonction homogène du second degré par rapport
aux quantités D;, Dr,, Bl; c'est donc aussi une fonction homogène et du second ordre par rapport aux neuf dérivées
partielles -p, -y,..., dérivées que nous représenterons souvent
dans la suite par la notation de Lagrange : Ij. ly E;'..-. Une forme quadratique à neuf variables indépendantes contient neuf termes carrés et un nombre de termes rectangles égal au nombre des combinaisons de neuf objets deux à deux :
— ^r — = 36; elle peut donc renfermer quarante-cinq coefficients arbitraires. Nous allons ciiercher le nombre des coetficients de la fonction \\'.,.
Considérons d'abord le premier terme V ^- p., de celte
foMctiiin développée suivant la formule (20). Les termes en
ç'j. qui entrent dans ^ — p^ ne peuvent provenir que de D;-,
car, ni Dr,, ni IK ne renferment çj.. Or on a, en élevant au carré les deux membres de la première des relations i2I) :
et le coefficient de l'î dans V —- c, est :
On trouverait la même quantité pour le coefficient de rj} et de Çj-. Les coefficients des carrés des neuf dérivées partielles se réduisent donc à trois :
l7m^'-' l77ïï°-'^-' Itîr^''-
LA LUiMitnE. 2
Le coefficient du double produit 2 -j^-r est V —- D.cDy.Ilest
facile de voir, en développant les carrés de Dr, et deDi^.que les
produits 2-7-* -7^ , 2 -T^ -7^ , ont pour coefficients cette même ' (Li- ay ci.c dy
quantité. Les coefficients des neuf doubles produits qui entrent dans A, 7K P2 ^^ réduisent donc aux trois suivants :
xi»-%. El»^»- Ei»--»-
Par conséquent le premier terme de W^ ne contient que six coefficients arbitraires. Ces six coefficients sont nuls quand on suppose la pression extérieure nulle dans l'état d'équilibre, ainsi que nous l'avons établi au n" 10.
16. Les deux derniers termes de Wj sont homogènes en p, et Pi'. En remplaçant, dans l'expression de p,
p, = 2(Da;Df -f- DyDy, -f D jDî;), D;, Dy,, D^ par leurs valeurs (21), on trouve :
+fê+:|)%-+(â+S)-°-
c'est-à-dire que p, est une fonction linéaire et homogène des six quantités
d\ dr^ f/Ç £^r£^ f^îll'A 1^1!^ d.c' ■ dy' dz' dy~^ dx' dz'^ dy' dx'^ d:'
La somme des deux derniers termes de Wj est donc une fonction homogène et du second degré de ces six quantités ; par suite plie ne contiendra que 21 coefficients arbitraires (6 coefficients pour les carrés et lo pour les doubles produits).
17. Nous voyons déj;\ que, dans le cas le plus général, la fonction Wj ne contiendra que 21 -\~G = 27 coefficients arbitraires, nombre qui se réduira à 21 quand la pression ettérieure sera nulle dans l'état d'équilibre.
Dans l'hypothèse des forces centrales, nous avons vu (11) que l'on avait :
dRdli
Le troisième terme du développement (20) deWj disparaît, et si, dans le second terme, on remplace p? par sa valeur tirée de la relation (22). on constate que. parmi les 21 coefficients, six sont égaux deux à deux. Ainsi on a :
coef.def4-' + i^y=coef. de2 4-' ^.
\ai/ dxj dx dy
Le nombre des coefficients arbitraires se trouve alors réduit à 15.
En résumé, nous aurons dans Wj :
1° 27 coefficients arbitraires dans le cas général ;
2° 21 coefficients quand la pression extérieure est nulle dans l'état d'équilibre et que les forces ne sont pas centrales ;
3'' 21 coefficients quand les forces sont centrales et la
20 THKOr.IK MVT.Jli.MATIOUE DK LA LUMIÈRE
pression exIi'Tieure diderente' de zéro iJans l'état d"ei[iiilibre (hypothèses de Caiichy) :
-i° 13 ouelTieients i|iiaiid les forces sont centrales et la pression extérieure nulle dans l'état d'équilibre.
La valeur de ces coefficients, dans un milieu quelconque, dépendra en général des coordonnées du centre de gravité de l'élément de volume d-z. Pour simplifier la question et nous placer dans le cas le plus ordinaire, nous supposerons le milieu liomoaéne: les coefficients deviendront des constantes.
18. Fonctions isotropes. — Un milieu homogène est dit isotrope quand, dans ce n^.ilieu, toutes les directions sont identiques. L'éther dans le vide, les corps gazeux, les liquides, les solides amorphes sont isotropes; les solides cristallisés ne le sont pas. De celte définition il résulte que, dans un isotrope, un plan quelconque est un plan de symétrie; en particulier les plans de coordonnées sont des plans de symétrie. Les équations du mouvement et. par suite, la fonction \V., ne doivent pas changer qo.iml on sulistitue -- x et — ; à .'-et ;, ou — y et — ''\^y et fi- ou enfin — z et — Ç à 5- et Ç. Remarquons d'ailleurs que les cnrps isotropes ne sont pas les^ seuls qui jouissent de cette propriété: elle appartient à tous les corps cristallisés qui possèdent tnjis plans de symétrie rectangulaires, cVst-à-dire aux corps cristallisés appartenant aux (juatre premiers systèmes cristallins. Pour ces corps et les isotropes la fonction Wo ne dnit pas contenir de termes changeant de signe par l'une des trois substitutions précédentes; il est facile de reconnaître que les ternies (]ui ])euvenl
subsister forment quatre groupes :
/-- 1° les termes carrés de la fnmir -i—, ; 2" ceux di> la forme
(il-
~r ; 3" les termes rectangles tels que -r -H ; 4° le terme
dy- ° (l.i- dy
—r , et ceux qu on en di'diiit par ncrmiilation dy d.r
Dans les corjDs isotropes et les cor|)S cristallisés du sj'stôme cubique, tous les termes d'un même groupe ont le mêmecoeflicient. En effet, dans ces corps les trois directions des axes de coordonnées jouent le même rôle ; par conséquent, nous pouvons permuter deux des axes ou les trois axes sans changer W^, c'est-à-dire que W^ doit conserver la même valeur quand on y permute, par exemple, .v et y, ; et y,. Pour qu'il
^V- /- en soit ainsi il faut que les coefficients des ternies -r-H , -pk,
dx- dy-
dC-
-~ soient les mêmes : par suite, les termes du premier
dz~
groupe entrent dans la fonction \\\, par leur somme :
rfr ^ ^ dx-^ dy- "^ ilz-'
Comme il en est de même pour les termes des trois autres groupes, la fonction W^ est la somme de quatre polynômes, homogènes et du second degré par rapport aux neuf dérivées partielles, multipliés respectivement par des coeflîcients numériques. Ces quatre polynômes sont :
rt-i I /-i I w/.)
^x htj T^ -.a- Sz T^ '\!i ^z '•"j ''\.r I '•'-- '=.f T~ ''i; ?.v
19. Il reste à chercher si ces quatre polynômes indépendants subsisteront dans le cas d'un corps parfaitement isotrope. Nous allons montrer qu'ils se réduisent à trois que nous appellerons polynômes isotropes.
Puisque dans un corps isotrope toutes les directions sont identiques, l'expression d'un polynôme isotrope ne doit pas changer quand on fait un changement quelconque de coordonnées en conservant la même origine ; la forme d'un polynôme isotrope doit être indépendante du choix des axes.
Fig.
Soient uc,y,z les coordonnées d'une molécule [i. [fig-^) d'un milieu isotrope ; x -)- Da:, y -\- Hy, z -{-Us celles d'une molécule voisine \j! . Lorsque la molécule y. sera dérangée de sa position d'équililire, elle viendra en ;j.j dont les coordonnées sont x-\- ;, y -\- Y^. c -}- Ç ; la niole'cule y. occupera le point IX,' de coordonnées o; -|- : -j- D.»- -|- De, y -\- y, + Dy -\- Dr,, .?-|-?-]-D5 4- Di;. Par le point \-t. menons la droite ay." égale et parallèle à u, y.,', et joignons \j! à ;/'. Par le point 0, origine
des coonlonnées,, traçons une droili." OM égale et parallèle k •j.'/ et une droite OP égale et parallèle à a';x" ; les coordonnées du point M seront Dr, Dy, D^," celles du point P seront D;, Df,, DC. En désignant par / la longueur de la droite OP, nous aurons :
(23) P 1= D;- + Dr,- + D:-\
et comme, d'après les équations (i21 i, D;, Dy|, DZ, soiit des fonctions homogènes et du premier degré par rapport à D.c, Dy, D:r, /- est une fonction homogène et du second degré par rapport aux coordonnées du poini M. Par suite le lieu des points M tels que la lonaurur (IP reste constante est un ellipsiiïde dont le centre est en i). Le milieu étant isotrope on doit trouver le même ellipsoïde, quelle que soit la direction des axes. L'équation de rellipsoide dépendra naturellement du choix des axes ; mais l'ellipsoïde lui-même ne changera pas quand on changera les trois plans de coordonnées. Or on sait que. si un ellipsoïde est fixe dans l'espace, il existe certaines fonctions des coefficients de son équation, connues sous le nom d'invariants, qui sont indépendantes du choix des axes ; elles devront être des fonctions isotropes. L'un des invariants est la somme des carrés des coefficients des termes carrés. Pour le trouver, remplaçons dans l'équation (23i les quantités D;, Dr,, Dï par les valeurs (21). Nous aurons entre les coordonnées D.v, Dy, Dr du point M une relation qui sera précisément l'équation de notre ellipsdïde et nous obtiendrons pour le coefficient de De- la somme :
- n + vi + a;
24 THÉORIE MATllf.MATlyLE HE LA LUMIÈRE
celui de D//- sera :
et celui de De- :
H + -ui + ri.
La somme de ces trois coefficients sera donc une fonction isotrope. Nous la désignerons par H ; ce sera la somme des carrés des neuf dérivées partielles
20. Pour trouver d'autres fonctions isotropes, considérons le cas où les molécules ijl et y.' se déplacent de façon que la droite a;j.' reste toujours parallèle à elle-même : les droites OP et OM sont parallèles, et, en désignant par a le rapport de leurs longueurs, on a :
D; = ïDa', Dr, = xDy,
xD?.
Si on porte ces valeurs dans les équations (21) du n° 14, on obtient :
xV)x = ;; D,v + ;; Dî/ + ;: Dr, oiDy= Y,;. D,r + -v;D.y + Y„ D;, aD^ = ^; D.r + g D// + Il D^,
et l'élimination de U.r, D^, D: entre ces équations conduit au déterminant :
ÉTUDE DES PETITS MlUVEMEMS 23
Cette équation déterminera a. Or celle quantité est évideinmenl indépendante du cliuix des axes de coordonnée;;, [lar conséquent les coefficients de celle équation en a sont des invariants. Le coefficient ilii terme en a- est :
^; + v + çj-
Nous désignerons celte nouvelle fonction isotrope par <-», et, comme elle entrera au second degré dans la fonction W^, nous considérerons son carré:
%1. Cette fonction H a une signification géométrique intéressante.
Le volume d'une portion du /nilieu élastique dans sa position d'équilibre a pour expression ;
fJJ'ir,y.,:..
Par suite de la déformation du milieu, les coordonnées du centre de gravité de chaque élément du volume deviennent X -\-l, y -f- Tp ; -|- C. et le volume de la portion considérée prend pour valeur :
fff{dx + dl) {dy + dr,) [dz + dX,) .
Rappelons que. si l'on a une intégrale
J J J ¥{x,y,z)d.ahjdz
où X, y, : sont des fonctions de trois nouvelles variables a,j5,Y,
cette intégrale devient, lorsqu'on prond pour variables a, 3, ■
désignant le déterminant fonctionnel de ./•,
par
rapport à x, p. v. En nous appuyant sur ce théorème nous
aurons, pour l'expression du volume après la déformatron :
D[(.'^+;).(.y+Ti),(^^+;)1
d.c dtj ds.
Le déterminant fonctionnel qui entre dans cette intégrafe a pour valeur :
et si, dans le développement de ce déterminant, on néglige les puissances des dérivées qui sont supérieures au premier degré, on obtient :
c'est-à-dire
v + iL + -r,;,+u.
Si niius portons cette valeur du déterminant fonctionnel dans l'intégrale qui donne le volume après la déformation, nous obtenons :
f f f [i + ^-y)dxdydz.
Un élément de volume dcclyclz devient donc, après la déformation. (1 -|- 9i)dccdydz ; par suite H est le coefficient de dilatation cubique tlu milieu.
22. Revenons à notre équation en a. Le coefficient du terme en — i est :
y-yij IV — -X 'm ■=;/ vc i m.v ■=; 'u '=.'/ i ■=; '.r '^x■!3•
C'est un troisième polynôme isotrope qui peut s'écrire : D(;.'^: D(v,.g) , D(;.^l
33. Les trois polynômes isotropes du second degré. H, (-)^, K, sont trois polynômes indépendants. Il ne peut }• en avoir d'autres, car, s'il y en avait quatre, tous les corps jouissant de la symétrie cubique, pour laquelle la fonction W'^ est une somme de quatre polynômes du second degré et indépendants, jouiraient en même temps de l'isotropie. D'ailleurs le premier des polynômes qui entre dans Wj. dans le cas des corps à symétrie cubique (18) :
n'est pas un polynôme isotrope, car il cbange quand on fait tourner les axes, comme il est facile de s'en convaincre en faisant tourner les axes des x et des y de 45" dans le plan des xy.
24. Expression de W^ dans le cas des corps isotropes. — La ionction W, ne peut contenir que les trois polynômes isotropes que nous venons de trouver, et comme cette fonction est homogène et du second degré par rap-
port aux neuf dérivées partielles ;.,'., ;,^ elle doit être linéaire et iiomogène par rapport aux trois polynômes isotropes qui sont eux mêmes homogènes et du second degré par rapport aux neuf dérivées partielles; elle sera de la forme
(27) W, = àK + aH -j- v(-)-.
Comparons cette expression au développement (20) de celte même fonction. Le premier terme de ce développement et l'ensemble des deux derniers devront être séparément isotropes, car, dans un milieu isotrope, toute foiu'lion symétrique des dislances mutuelles des points occupés par les molécules avant et après le déplacement doit être une fonction isotrope.
Considérons d'abord le premier terme > — r p., de cette expression ; nous allons démontrer qu'il est égal au polynôme H mulliplié par un facteur constant.
Dans l'étude de la fonction W^llB) nous avons vu que. si on remplaçait dans le premier terme du développement de cette fonction les quantités D^, Dv], DÇ parleurs valeurs données par les relations (21), nous obtenions pour ce terme un polynôme homogène et du second degré par rapport aux neuf dérivées partielles, contenant les carrés de ces dérivées et les neuf doubles
dl d\ produits de la forme -r -r. Mais ce terme, étant une fonction d.r dy
isotrope, ne peut contenir ces doubles produits qui ne rentrent
pas dans les quatre groupes des termes subsistant dans le cas
des corps à symétrie cubique (18); le |)reinier terme de WjSe
réduit donc à un polynôme ne contenant i|ue les carrés des
dérivées partielles. H ne peut renlermer ni h ni K, cardans la
fonction K se trouvent des doubles produits tels que ç,^ r^^. ne pouvant se réduire avec les doubles produits de i-r- cpii ne sont pas de cette forme Nous devons donc avoir :
ffF
