partie de 20", soit rrrr- de seconde. Nous aurons alors ^ oOO
AG = V' + w (1 — -^j coscp.
Prenons maintenant des axes liés au milieu mobile. 11 faudra remplacer dans l'expression précédente la vitesse absolue
d'entraînement r ( 1 — — ) par la vitesse relative
Par conséquent nous aurons pour la vitesse de la lumière par rapport à ces axes
V — »' coscp.
237. Temps employé par lalumière pour passer d'un point à un autre d'un milieu en mouvement. — Gonsi dérons un rayon lumineux allant d'un point A^ à un point A„
Ao^
Ai
Pli An
d'un milieu en mouvement en suivant la ligne brisée A„A,..A„ {/îg. 34). Pour passer du point A, au poinlA,, le rayon mettra
un temps égal à
Développons cette quantité
V — v' coscp
par rapport aux puissances croissantes de v' en nous arrêtant à la première puissance; nous aurons
A<A. , A,Ao coscp , V "'" V'2
Si nous menons une droite .ry parallèle à la vitesse du milieu en mouvement l'angle des diverses portions de la ligne brisée avec celte droite est précisément l'angle d'aberration cp qui
entre dans l'expression précédente; par conséquent A, Ajcostfi est égal à la projection A,' Aj de A, A^ sur xy et le temps employé par la lumière pour aller de A, en A, devient
», V Nous avons d'ailleurs i'' = — - et V = — ^ c étant la vitesse
de translation du milieu et V la vitesse de la lumière dans le vide ; en remplaçant r'. et V par ces valeurs dans la somme précédente, nous aurons
Le temps employé pour aller du point A^, au point A„ sera la somme de quantités semblables, c'est-à-dire
V Ma 4. JL A'A'
Le premier terme \ ' , - représente le temps qu'emploierait la lumière si le milieu était en repos, le second ne dépend que de la position des points extrêmes et nullement du chemin parcouru par la lumière pour aller de l'un à l'autre de ces points.
328. Phénomènes optiques dans un milieu en mouvement. — Une conséquence importante de la formule précédente est que les lois de la réflexion et de la réfraction, les phénomènes d'interférences ne sont pas affectés parle mouvement de la Terre.
Considérons en particulier le phénomène de la réfraction.
SLAetB(/?^. 35) sont deux points situés dans deux milieux différents, le chemin ACB suivi par la lumière pour aller deAàBesl tel que le temps employé pour parcourir ce chemin est minimum. Pour montrer que les lois de la réfraction sont les mêmes quand les deux milieux sont en repos ou sont en mou- Ia vement, il nous suffit de montrer que si AGB est le chemin le plus court quand les milieux sont en repos, il l'est encore quand les deux milieux sont animés du même mouvement.
Soient, T le temps employé par la lumière pour aller de A
Fig. 35. ' ^
à B parle chemin minimum quand les milieux sont en repos; T' le temps nécessaire pour parcourir un chemin infiniment voisin AG'B. Si ACB est celui qui corres[)ond aux lois de la réfraction, on a T < T'. Or d'après ce que nous avons dit précédemment les temps employés pour parcourir les chemins ACB et ACB dans le cas où les milieux sont animés d 'un mouvement de translation dont la vitesse est v, sont
Ti=T'+;-^A'B'
A'B' étant la projection de AB sur une droite parallèle à la vitesse v ; ils ne diffèrent de T et de T' que par une même quantité. Si donp on a T< T' on aura T, < T,' et le chemin le plus court dans les milieux en repos sera encore le plus court quand les milieux seront en mouvement. Les lois de la réfraction sont par conséquent les mêmes dans les deux cas. Les phénomènes d'interférence des rayons lumineux ne
dépendent pas non plus du niouvemenl du milieu dû ils se produisent. Si T et T' sont les temps mis par deux rayons pour aller d'un point A^ à un point A„ d.ins le cas où le milieu est en repos, ces temps seront tous deux augmentés de la même quantité si on suppose le milieu en mouvement ; par conséquent la différence des temps ne variera pas et les phénomènes d'interférence resteront les mêmes dans les deux cas.
En un mot les phénomènes optiques ne peuvent mettre en évidence que les mouveme-nts relatifs par rapport à l'observateur de la source lumineuse et de la matière pondérable. C'est ce qui a lieu dans l'aberration où l'observateur et l'astre observé ne sont pas animés du même mouvement; c'est ce qui arrive aussi dans l'expérience de M. Fizeau où l'eau contenue dans les tubes possède un mouvement relatif par rapport à l'observateur. Un seul fait ne s'accorderait pas avec ces conclusions ; c'est la variation du plan de polarisation de la lumière réfléchie sur le verre avec l'orientation de la direction lumineuse par rapport à la vitesse de rotation de la Terre. Cette influence a été constatée par M. Fizeau mais la difficulté des expériences ne lui a pas permis d'en être absolument certain.
239. Hypothèses de Fresnel. — L'explication que nous avons donnée de l'aberration et les conséquences que nous avons tirées de l'expression du temps employé par la lumière pour aller d'un point à un autre d'un milieu en mouvement, reposent sur l'hypothèse que la vitesse d'entraînement de
l'éther contenu dans un milieu en mouvement est vil ;
L'indice de réfraction )i n'est pas une constante; il varie avec
la couleur du rayon lumineux et n'est pas le même pour un rayon ordinaire et un rayon extraordinaire dans un milieu biréfringent. Il en résulte que la vitesse d'entraînement de l'éther n'est pas la môme suivant qu'on considère un rayon extraordinaire ou ordinaire ou encore deux rayons de couleurs difTérentes. On a pu vérifier, au moyen d'expériences suffisamment précises, que le rayon ordinaire et le rayon extraordinaire ne sont pas entraînés de la même manière- Aussi ne doit-on pas admettre, comme parait le faire Fresnel, que la vitesse d'entraînement de l'éther est indépendante de la longueur d'onde de la lumière et égale à la valeur moyenne des valeurs qu'elle prend pour une infinité de valeurs de la longueur d'onde.
Fresnel supposait que, quand un milieu transparent est en mouvement, la masse d'éther entraînée par le mouvement était l'excès de la masse contenue dans le milieu en mouvement sur la masse qui serait contenue dans nn même volume du milieu environnant. En appelant p„ la densité de l'éther dans ce dernier^ p la densité dans le milieu en mouvement, f — Po sera la densité de l'étherj entraîné. Pour avoir la vitesse apparente d'entraînement de l'éther contenu dans le milieu en mouvement, nous n'avons qu'à chercher la vitesse du centre de gravité de deux molécules M et M' dont l'une M a pour masse p^ et reste en repos et dont l'autre M' a pour masse p— po et possède la vitesse v du milieu en mouvement. Si nous appelons w, la vilesse du centre de gravité, nous aurons, en appliquant le théorème des quantités de mouvement,
(p — Po + Po) "i = (p — Po) " -1- Po X 0 ;
ABliURATlON ASTRONOMIQUE 393
d'où
Dr dans la Ihéorie de Presnel on a, en désignant par V,, et V les vitesses de propagation des ondes lumineuses dans les milieux de densité p^ et p,
p -Vg-n^'
par conséquent on a pour la vitesse apparente d'enlrainement de l'élher
Il n'y a là qu'un simple aperçu dont il est difficile de se contenter, mais nous allons chercher à justifier la façon de voir de Fresnel par une analyse plus rigoureuse.
240. Vitesse do propagation dans un milieu en mouvement. — On peut se rendre compte de l'entraînement apparent de l'éther en étudiant la propagation d'une onde plane dans un milieu en mouvement et en admettantque le déplacement des molécules d'élher dépend du déplacement des molécules matérielles. Si nous désignons par l et ^, les composantes suivant l'axe des x des déplacements des molécules d'éther et de matière, nous aurons, dans le cas où le milieu matériel n'est pas animé d'un mouvement de translation les équations suivantes (142).
39i THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE
Supposons maintenant que, l'éther restant en repos, le milieu matériel possède nu mouvement de translation de vitesse v normale au plan de l'onde ; prenons pour plan des y.r un plan parallèle au plan de l'onde et cherchons ce que deviennent les équations précédentes.
l, est une fonction de z et de < seulement. Quand le milieu est en repos, la vitesse de la molécule matérielle à l'instant t
est -— ; mais par suite du mouvement de translation que
possède ce milieu le ? de la positidn d'équilibre de la molécule augmente de vdt pendant le temps dl. Par conséquent 'accroissement de ?, pour un accroissement dt du temps sera
dt ^ dz dt ^ dz
et la vitesse de la molécule matérielle à l'instant t aura pour
valeur
dl^ . dl^ dt ' dz
L'accélération à ce même instant sera
dw dio 1^ dw dz
dt ~'cir'~dt 'dî'
les dérivées de w, placés dans le second membre étant des dérivées partielles. En remplaçant dans cette expression w par sa valeur, on a pour l'accélération
dt^ ^ dzdt ^ dz"^ L'équation du mouvement de la molécule matérielle est
donc, en négligeant le carié de v,
Telle est l'équation (]iii doit rpmjilaccr rr-quation (2). Quant à l'équation (1) elle se réduit dans le système d'axes adopté à
puisque \ ne dépend plus que de s et de t.
L'addition de ces deux dernières équations élimine M et nous donne
,Pl (d% d% \ d-^l
(°) ?d^+^'[-dfi+-'d^t)~d?-
Nous supposerons que M est très grand ; l'équation (4) montre alors que M (?, — i) est fini. On en conclut que ;, — l est très petit et nous sommes conduits à admettre à titre de première approximation que l'on a ; = ?,. L'équation (5) devient alors
(6) (p+p,)^^ + 2.p, ^7Jf-^,-
L'équation du mouvement dans le vide se déduira de la précédente en y faisant p, =0; nous savons que dans ce cas. la vitesse de propagation est
Si on suppose le mouvement (umineux se propageant dans
396 THÉORIE ÎIATHt.MATIQLIE DE LA LUMIÈRE
un milieu matériel en repos, il faut faire y r= 0 dans l'équation (6) qui donne alors pour la vitesse de propagation
Vp + p,
Par conséquent l'indice de réfraction de la substance est
Pour avoir la vitesse de propagation dans le cas où le milieu matériel est animé d'un mouvement de translation suivant l'axe des :r, cherchons à i-alisfaire à l'équation (6) par la valeur suivante de l
Nous obtiendrons après sup[)ression des fadeurs communs aux deux membres
(p + p,) V2 - 2»Vp, = 1 ;
d'où nous tirons
J^^Mh.
P + fi ? + Pi
Cette valeur V différant peu de la vitesse de propagation dans le même milieu supposé immobile, nous pouvons dans le second membre de l'égalité précédente remplacer V par
sa valeur approchée — == et nous avons
Vp, + P
va ^ * . 2yp<
OU puisque nous avons négligé les quantités qui contenaient le carré de v ,
J i El
Vp + P, P + Pf
Tout se passe donc comme si l'éther se trouvait entraîné avec une vitesse égale à
P +P) Cette formule peut d'ailleurs s'écrire,
ou, puisque n =l/'- '-'->
On retrouve donc la même expression que dans les théories de Fresnel. Ce n'est là qu'une premièreapproximation. Eneffet ;, — ; n'est pas nul mais seulement très petit; la différence est de l'ordre de la dispersion.
L'analyse du n° 142 montre que le rapport ~ qui est
voisin de l'unité, dépend de la longueur d'onde. Pour rendre compte des expériences qui, comme nous l'avons vu, donnent
pour la vitesse d'entraînement vi 1 :; y nélant l' indice deré-
fraction de la couleur considérée il faut admettreque cerapport est, quelle que soit la couleur indépendant de v ; nous ne connaissons aucune théorie satisfaisante pour justifier cette hypothèse.
241. Dans l'ytude de chaque phén(irnène nous avons exposé parallèlement plusieurs théories rendant également bien compte des faits observés. Ces théories peuvent d'ailleurs se rattacher à l'un des deux groupes suivants : celles où l'on suppose comme Fresnel l'élasticité e du milieu constante; celles où on admet avec Neumann que la densité p de l'éther est constante. Nous n'avons trouvé aucune raison pouvant faire préférer l'une de ces hypothèses à l'autre. Seule l'explication de l'aberration par l'entrainemenl partiel de l'éther peut faire pencher la balance du côté de l'hypothèse de Fresnel ; car l'entraînement partiel de l'éther suppose que la densité de l'éther n'est pas la même dans tous les milieux. Mais, comme nous l'avons fait remarquer, il est difficile de se bien rendre compte de ces phénomènes d'aberration et aucune théorie n'est satisfaisante. Il n'y a donc pas là de raison suffisante pour décider du choix d'une théorie.
D'ailleurs nous ne pouvons nous plaindre d'être dans l'impossibilité de faire un choix. Cette impossibilité nous montre que les théories mathématiques des phénomènes physiques ne doivent être considérées que comme des instruments de
recherches; instruments très précieux, il est vrai, mais dont nous ne devons pas rester esclaves et que nous devons rejeter dès qu'ils se trouvent en contradiction formelle avec l'expérience.
242. 11 y a une raison générale qui nous empêche de choisir entre les théories optiques que nous avons exposées. Nous savons en effetqueles équations du mouvement dans un milieu élastique isotrope ou anisotrope sont des équations linéaires et à coefficients constants. Une propriété générale des équations de ce genre est que si ;, et ^j sont deux intégrales de l'une d'elles, la quantité A;, ~\- Bçj en sera également une solution. Nousavons donc une infinitéde manières de satisfaire aux problèmes optiques.
En outre nous avons vu que l'une des équations du mouvement dans un milieu élastique isotrope est
Si nous dérivons les deux membres de cette équation par rapporta une variable quelconque, nous aurons
dl^ - ^^ ^ dx'
Donc, si une fonction satisfait à l'équation (1) une dérivée quelconque de cette fonction y satisfera également.
Si nous désignons par ;, y), C les composantes du déplacement d'une molécule d'élher dans la théorie de Fresnel, quantités qui satisfont aux équations du mouvement telles que (1) les dérivées ij., \y, 11, r|i, . . . satisferont aussi aux équations. Il est aisé de constater qu'il en sera de même des des binômes alternés Ç — -r^!, \1 — Ç^, tj^ — ly.
Or, nous savons que les composantes du déplacement d'une molécule d'éther dans la théorie de Neumann sont précisément ces binômes alternés ; par conséquent, elles seront aussi solutions des équations du moiivemenl. On peut donc être assuré que tout phénomène explique par la théorie de Fresnel le sera également par celle de Nenmann. La réciproque estd'ailleurs vraie.
Dans certains cas cependant, nous avons eu des coefficients variables dans les équations du mouvement. Ainsi dans la théorie de M. Sarrau et dans la considération de la couche de passage dans la réflexion. Mais comme nous ignorons absolument la loi de variation de ces coefficients il nous suffit de quelques hypothèses pour faire concorder la théorie avec l'expérience et nous ne pouvons rien décider sur la justesse de la théorie.
243. L'étude d'un phénomène particulier, la jMlarisalion par diffraction semblait pouvoir permettre de décider entre la théorie de Fresnel et celle de Neumann. On croyait être arrivé par le calcul à ce résultat que la rotation du plan de polarisation n'avait pas la même valeur dans ces deux théories. Mais certainement les calculs étaient inexacts, car les équations du mouvement étant à coefficients constants, il ne peut, comme nous venons de le dire, y avoir aucune divergence entre les résultats des deux théories. Cependant, à la suite de ces calculs, des expériences ont été tentées dans cette voie. Elles sont très délicates car la déviation d'un rayon diffraclé est très faible et la rotation du plan de polarisation qui en résulte est excessivement petite. On a, dans le but d'augmenter la déviation du ray')n diffracté, expérimenté avec des réseaux. Mais le problème se complique alors, car il y a à la fois dif-
fraction et réfraction ou réflexion ; aussi les expériences ne furent d'accord ni entre elles, ni avec les conséquences de la théorie de Fresnel, ni avec celles de la théorie de Neumann.
Tout récemment M. Gouy a repris le même problème sans idée préconçue ; il a olilenu une déviation considérable du rayon ditfracté en plaçant la source lumineuse, formée par la concentration de rayons au foyer d'une lentille convergente, sur le bord d'un écran. Les résultats de ses expériences pour la valeur de la rotation du plan de polarisation ne sont pas non plus d'accord avec les deux théories de la polarisation. La théorie de la diffraction se trouve même en défaut, car M. Gouy a constaté que les phénomènes dépendent de la forme du bord de l'écran et de la nature de cet écran. Ce désaccord entre les expériences de M. Gouy et la théorie de Fresnel ne doit pas nous surprendre, car nous avons dit qu'il était impossible de trouver une solution de l'éipiation
satisfaisant e.raclement aux conditions du problème. Ce n'est qu'en y satisfaisant ai)proximalivement que nous avons pu édifier une théorie de la diffraction.
L'approximation était très largement suffisante dans les conditions habituelles des expériences de diffraction; car les quantités négligées sont alors extrêmement petites. Il n'en est plus de même dans les conditions où M. Gouy s'était placé.
