Juand on suppose que la pression extérieure est nulle

dans l'étal d'équilibre, le terme V ——p., du développement

(20) disparaît (15) ; par conséquent y., est nul et la relation précédente devient :

Il ne reste alors que deux coefficients arbitraires dans la fonction W..

Dans l'hypothèse des forces centrales le terme ^ , -77—777: c, s.'

est nul (17). elle premier membre de la relation (29) se réduit à

-^ -TT-ff. Or nous avons vu que, si on remplace pf par sa

valeur tirée de la relation (22), on obtenait

. , / f/; , d-f\' (Il (h,

coef, de | -r+ , 1 = coef, de 2 — y^

\clij ' dx/ dxdy

par suite, le coefficient de \',i^ doit être égal à celui de 2 \'j.-t^',j dans le premier membre de l'égalité (29), et il doit

en être de même dans le second mcmlire. Le terme 'i',,- s'y tniuve avec le coefficient y. — y., ; le terme 2;.;.ri,^ entrant

dans H- avec le coefficient 1 et dans K avec le coefficient -,

il est dans le second membre de (29) avec le coefficient v + -• Par c<mséquent. on a la relation:

En y rcmplai;ant y. — y., par sa valeur donnée par (30), on obtient :

et le nombre des coefficients arbitraires se trouve réduit à deux.

27. En résumé, la fonction W^ relative aux forces intérieures qui résultent de la déformation d'un milieu isotrope est une fonction homogène et du second degré des neuf dérivées des quantités ç. qui contient au plus trois coefficients arbitraires X.jx.v. Le nombre de ces coefficients pouvant se réduire dans certains cas particuliers, nous aurons :

1° Trois coefficients arbitraires dans le cas général;

2° Deux coefficients quand la pression extérieure est nulle dans l'état d'équilibre et que les forces ne sont pas centrales;

3° Deux coefficients quand les forces sont centrales et la pression extérieure différente de zéro dans l'étal d'équilibre (hypothèses de Cauchy);

4° Un seul coefficient quand les forces sont centrales et la pression extérieure nulle dans l'état d'équilibre, car, dans ce cas, les relations (31) et (32) sont vérifiées simultanément.

28. Expression de 'W, en fonction des dérivées partielles. — LafoncCion W, est li' torme du premier degré du développement de la fonction "\V par rapport aux puissances croissantes des ; (13) ; cette dernière fonction peut, comme la fonction U', être développée par rapport aux puissances croissantes des p, et, en nous reportant aux relations (12) et (17), nous obtiendrons :

la sommation s'étendant seulement aux molécules de l'élément de volume rfx. En remplaçante, par sa valeur tirée de la relation (22), la fonction W, devient :

C'est donc une fonction homogène et du premier degré par rapport aux neuf dérivées partielles.

29. Pressions extérieures. — Équations du mouve ment. — Considérons une surface ferm.ée S (/?</. 1) divisant le milieu élastique en deux parties : Tune R intérieure à la surface, l'autre R' extérieure. Les diverses molécules de R' exercent des actions sur les molécules de R, mais, le rayon de la sphère d'activité moléculaire étant très petit, il n'y a que les molécules de R voisines delasurface qui sont soumises aux actions de R'. Ces actions peuvent être remplacées par un système de forces appliquées aux éléments cho de la surface S et qui, en

ÉTUnK DES PKTITS MOUVEMENTS 33

général, agiront obliquement sur l'élément considéré. Nous désignerons par

les composantes suivant les trois axes de la pression s"exerçant sur Télément dw ; ce sont des forces extérieures au système, si on ne considère que le volume R limité par la surface. L'application du principe ded'Alembert et du principe des vitesses virtuelles à ce système va nous permettre de trouver les valeurs des composantes des pressions, et, en même temps, nous donner une nouvelle forme des équations du mouvement.

Si çest la densité d'un élément de volume d- (la lettre s sera désormais exclusivement employée dans ce sens), la masse de l'élément est uh. et les trois composantes de la force d'inertie qu'il faut supposer appliquée à cet élément, pour que, d'après le principe de d'Alembert, cet élément puisse être considéré comme étant en équilibre, sont :

, d'I . d\ dK

-P^^- -r'f-âi^^ -r<'-âï^-

Tous les éléments du volume R étant en équilibre sous l'action des forces effectives et des forces d'inertie, on pourra appliquer à ce volume le principe des vitesses virtuelles : dans un système en équilibre la somma des travaux virtuels est nulle. En désignant par U la fonction des forces relatives aux forces intérieures et extérieures à R, la somme des travaux virtuels de ces forces estoU; et. en appelant 5;, S-r,, oj les projections du déplacement virtuel d'un élément d-, le travail

LA LUMIÈRE. • i

virtuel de la force d'inertie est :

■uh

La somme des travaux de toutes les forces d'inertie sera :

et, d'après le principe des vitesses virtuelles, on aura :

quels que soient 5;. or,, S^.

Remarquons que. d'après la relation (19), nous avons :

SU=SU"-f- Aw^t;

3U " étant la somme des travaux virtuels des force? extérieures, c'est-à-dire des pressions précédemment définies, nous aurons donc :

SU" = jd^ (P^ i\ + p,, Sy, -h P. sq,

l'intégrale étant étendue à toute la surface S. Si on suppose que les composantes oti et SÇ du déplacement sont nulles, le travail virtuel des forces extérieures se réduit à :

oU" = Trfco P^ l\.

La fonction W relative aux forces intérieures est une fonc-

ÉTUDIv DKS PETITS MOUVEMENTS 33

tion des neuf dérivées partielles des ç. Par suite du déplacement virtuel donné au système, chacune de ces dérivées varie en général, mais dans le cas particulier où ronaS7i = 3Ç= o, les seules dérivées qui changent de valeur sont :^, ;,,, ;;. Par conséquent :

U^j; W,^ U,- ^-" tt^X'

fP cl

Or S^j. c'est-à-dire o -j^ est égal à -^ Se, et l'expression de

EW devient

Par suite, on a

et, en portant cette valeur dans l'égalité (33) où l'on fait ot)^ 3i^ ::= o dans le terme relatif aux travaux des forces d'inertie, on obtient :

30.11 faut maintenant transformer cette expression qui contient à la fois 3; et la dérive'e de cette quantité par rapport à X. Pour cela nous nous appuierons sur le lemme suivant, qui sert ordinairement à la démonstration du théorème de (jreen dans la théorie du potentiel :

Étant donnée une fonction F des coordonnées x, y, z d'un

point, l'intégrale de la différentielle Fa fZw, où a est le premier

cosinus directeur de la normale à l'élément r/to d'une surface

fermée S, cette intégrale étant étendue à tous les éléments de

<^F la surface S, est égale à l'intégrale de la différentielle "T^d-:,

étendue à tous les éléments d- du volume R limité par la surface S.

Si nous posons :

nous aurons

n dW ^,

ou, en développant l'intégrale du second membre,

Nous obtiendrons de la même manière les deux relations :

W,., , / ' dV, .. . , / d^d.ll ,

'■'U J dy ' J ,lt dy

En additionnant ces trois relations membre à membre, nous

avons :

d-^^-j^, —r- — J oçrfwN ï-^— / o;(/t > — j — .

Le premier membre de celle relation est précisément le terme de l'égalité' (34) qui contient In dérivée de S;; remplaeons ce terme par sa valeur, nous obtiendrons :

ou, en réunissant sous le même signe les quantités qui subissent la même intégration,

Cette égalité devant avoir lieu, quel que soit S:, il faut que les coefficients de o;f/(oet de S;c?t soient nuls; par conséquent, nous aurons :

31. La première de ces égalités donne la valeur de la composante de la pression suivant l'axe des x ; en posant

l'expression de cette composante devient :

Considérons l'une des quantités P^x, ^ui entrent dans cette expression, on a :

dW dW, d\\.,

^"^T de' ~~ d'' c/ï' '

Or W^ est une fonction linéaire et homogène des dérivées partielles, M'., une fonction du second degré de ces irèmes quantitçs, donc le premier terme de Pj-.r est une constante et le second une fonction du premier degré des dérivées partielles. Lorsque le milieu est dans sa position d'équilibre, les quantités ; sont nulles et, comme zéro est un minimum pour ces quantités, leurs dérivées ;j, II,... sont nulles aussi; le second ternie de P^^^ disparaît et la valeur de P^^ dans la position d'équilibre est :

Si l'on se reporte à la valeur de W, (|iie nous avons trouvée

(28), on voit que:

On trouverait que, pour la position d'équilibre du système, on a de même :

"-.=-^2 S"'»"' ''-= = -^SrR»-"-

Ces expressions montrent que, si les six quantités

l^m^-^' IdR^'-^-- 2.:ni^'-'

1%^^^- sfo^D-^-. :s:i°^%'

sont nulles, la pression extérieure est nulle dans l'état d'équilibre. C'estf la réciproque de la propriété que nous avons démontrée au n° 10.

32. Considérons maintenant l'équation (36) qui est une des équations du mouvement; en y remplaçant W par son développement W, -|- Wj, elle devient :

P cU^ ~ Zj dx ^ 2j d.v ■

W, étant linéaire et homogène par rapport aux dérivées par-

tielles, -pv est une constante; la dérivée de cette fonction par

rapport à x est nulle et le premier terme du second membre de l'équation disparait. Les équations du mouvement se ré-

•40 THÉOniE MATHÉMATIQUE DE LA LUMIÈRE

duiront donc à :

d^l ^ dt-~

.cm,

dK ^di-^ =

33 Équations du mouvement dans les corps isotropes. — Dans le cas des corps isotropes, la fonction W^ est donnée par la relation (27) (24) :

W, = XK -f- ait + vi-)-.

En portant cette valeur dans les équations du mouvement, la première de ces équations devient :

„, ,dK ,dH rft")2

dx dx dx

Cherchons la valeur de chacun des termes qui composent le second membre.

De la valeur de K donnée par la relation (26) (22) on tire :

d%^-'''!'^---' di;,- ''•'■' dU- ^"

et, par suite,

dK rfK 'JK

di;: __ d^ , dK ^___^ d\! ^ d%

dx dxdy '^ dxdz^ dy dxdy'' dz dxdz

En additionnant ces dernières égalités, on obtient :

le coefficient X disparaît donc des équations du mouvement, mais il entrerait dans la valeur des pressions si l'on cherchait ces quantités dans le cas des corps isotropes.

En se reportant à la valeur de H donnée par la relation

on en déduit:

dU '■" dl'--'^" du--^^'

,m cjn <m

'Jl.^^d^ JM^=>^ '-Jl^=ofl dx ' dx-' dy " dy-' dz ~ dz^'

Cherchons maintenant la valeur du terme contenant 0 : nous aurons

d^=''^' ^=«' ./fi=*^'

, dQ-^ , r/H2 f/02

dx dx'' dy ' dz

^ dx dx'

Par conséquent, les équations du mouvement deviennent: — P "T7, = 2u.A; + 2v -r- (38, ,S=,.., + ..|

Elles contiennent deux coefTicients arbitraires, qui se réduisent à un seul dans le cas où les forces sont centrales et la pression extérieure nulle dans l'état d'équilibre. On a, vu, en effet (27), que l'on avait alors :

ce qui donne

34. Mouvements longitudinaux et mouvements transversaux. — Nous allons montrer que le mouvement d'unemoléculed'unmilieu isotrope peut être considéré comme résultant de la superposition de deux mouvements ; nous appellerons l'un, mouvement transversal, l'autre, mouvement longitudinal, et nous justifierons plus tard ces dénominations.

Prenons les équations (38), dérivons la première par rapport à X, la seconde par rapport à y, la troisième par rapport à ;;, et additionnons ; nous obtiendrons

, 2v(^^ + i^'-|-^'V Or, on a, d'après la relation (23) :

0 = ?i + r,; + îi,

pur suite

(h- dt- ' <!f^ ' di:^ ■

On voit donc que la somme précédente peut s'écrire :

équation différentielle à laquelle doit satisfaire la fonction 0. Si on suppose qu'à l'origine des temps, c'est-à-dire pour < = o, la fonction 0 et sa dérivée par rapport au temps sont nulles, l'équation précédente montre que la dérivée seconde est encore nulle. Endé rivant cette équation, on en obtiendrait une nouvelle de laquelle on conclurait facilement que la dérivée

troisième de ©par rapport au temps est nulle pour< = o. Les autres de'rivées seraient également nulles, ce qui exige que la fonction 0 soit identiquement nulle. Les petits mouvements pour lesquels la fonction t) est identiquement nulle sont les mouvements appelés transversaux,