CHAPITRE IV. — MOUVEMENT KECTILIGNK A DEUX DIMENSIONS

au loin est T entraînement de tout le liquide avec la même vitesse U. Inutile de revenir sur ce sujet. La difficulté subsiste quelle que soit la forme du cylindre, même quand sa section est limitée, en particulier pour une lame plane de largeur finie. Elle disparaît dès qu'on précise la position des parois fixes; avec un cylindre immobile de rayon R, concentrique au cylindre a, on trouve ainsi

iQar —

1 «fil ilTLlU

avec une résistance totale par unité de longueur Ç — r- •

'«Kl)

51 . Cylindre dans le voisinage d un plan fixe indéfini, 3 = 0. — Soit Ri le rayon du cylindre, et s = =b D, y = o, deux points Oi , O2 symétriques par rapport au plan, que nous prenons pour origines de

Fig. 6.

coordonnées bipolaires r«, r-j. La distance A.G de Taxe du cylindre au plan est y/D^-j- Rf . L'intégrale est

^t le frottement total est par unité de longueur

52. Cylindre mobile et plan diamétral extérieur fixe. — Prenons pour origines 0< O2 de coordonnées bipolaires les arêtes de contact du cylindre et du plan, et appelons co^, cog les angles de M0<, MO2 avec un des plans, pris comme origine. La solution est

Elle donne en effet w = U sur 4a circonférence qui a O, O2 comme

diamètre, et w = o sur les deux demi-plans extérieurs et partout à l'infini. Le frottement par unité de longueur axiale sur l'élément de contour CO2, CO2 -f- diù2 est

dY = — ^ <af[log(tanga>2)].

Entre deux génératrices définies par les angles co^, o)!», qu'on peut prendre l'un très petit, l'autre très voisin de 90 ', le frottement total est

Mais on ne peut ni partir de o, ni aller jusqu'à -; l'intégrale devient

infinie.

Le frottement devient infini dans les angles, à cause de l'extrême proximité de la partie fixe et de la partie mobile ; on voit qu'il n'est * pas nécessaire pour cela que les parties fixe et mobile soient tangentes ; il suffit qu'elles aient une arête commune.

Dans une expérience, le jeu nécessaire à la liberté du mouvement supprimerait cette difficulté.

L'influence de ce jeu très petit pourrait être calculée au moyen de l'exemple suivant.

53. Plan mobile infini normal à un plan fixe limité {Jig. 8). — La solution est fournie par les coordonnées hyperboliques homofocales, de foyers^ = ±:/, z = o. Les lignes d'égale vitesse sont des.