CHAPITRE IV. — MOUVEMENT RECTILIGNR A DEUX DIMENSIONS. jS

63. Section circulaire. — \u est alors fonction de la seule distance à Taxe, /•. Transformons en coordonnées polaires dans le plan de la section droite; il vient

du \ r d dul dr ~ rydr drj

et, par suite,

l\ d / duX'] P

rldrY dr)\ ~ yil

d'où, successivement

d^u 1 du Aw = -r- -f- dr^ r

— ( A^\ ^ Pr dr\ dr ) ~ \i.l

du P o 4

dr -2 [il

du P A

dr i^il

u = — - — r^ -h A lofi r -h B.

Dans un tube circulaire plein de liquide, la vitesse est finie même joour r =t o ; A est donc nul ; d'où

Soit maintenant /< le rayon du tube s'il y a adhérence, ou, dans le cas contraire, le rayon du tube idéal plus grand sur lequel l'adhérence siurait lieu (w = o) ; on aura

Dans un tube annulaire, compris entre deux cylindres concentriques de rayons /(, et /i >> Tq, le long desquels il y a adhérence, A n'est pas nul, et l'on a

u=- — -,\—r^-\ ■ ^logr— ^ ^ ^ » 1

64. Tube circulaire. Calcul du débit. — Ce qu'on mesure faci- ^eiïient, ce n'est pas la distribution des valeurs de u dans une section "t* tube, c'est le débit total 1 correspondant à toute la section.

i-e débit à travers une couronne comprise entre deux cercles de ^^yoMxs /• et r H- dr est u . '2Tzr dr.

Le débit total I est donc

1=1 u.7.T:r.ar=— — j 1 (r\ — r^jrcir^

r-i étant le rayon véritable du tube^ dififérenl de l's s'il y a glissement à la paroi.

L'intégration donne

S'il n'y a pas de glissement à la paroi, on a

et alors I devient

d'où, les lois suivantes :

Le débit est proportionnel :

\'^ A la dijfférence des pressions aux deux bouts du tube. (Loi des pressions.)

2" A la quatrième puissance du diamètre. (Loi des diamètres.) 3° A r inverse de la longueur, (Loi des longueurs.)

Ces lois, découvertes ex[)érimentalement par Poiseuille (Livre 11^ Chap. I), portent son nom.

6e^. Cas où il y a glissement à la paroi. — Dans ce cas, posons To = Ti — £ et négligeons ( 7- ) " * * '

La loi des pressions et celle des longueurs sont conservées, mais la loi des diamètres se modifie. Un terme proportionnel au cube du diamètre apparaît.

Si même l'épaisseur e est comparable an diamètre, il faut déterminer le rayon auxiliaire r< en tenant compte de la courbure, ou

mieux déterminer la constante d'intégration B = - — y- r\ directement:

du , du

— JJL-— — -A:a ou e-T-=a (r = r%) or or