CHAPITRE IV. — MOUVEMKNT RECTILIGNE A DKUX DIMENSIONS. 8l
et appelant r la distance au centre de la sphère. D'où
xz I ia b\ yz / ^a b'
hz
La vitesse uniforme au loin est égale à — W. Le long de la sphère, l'adhérence est complète; posons donc, pour r = R,
ou
La solution étant ainsi entièrement déterminée, cherchons la réaction éprouvée par la sphère. L'expression générale donne ici
ou
M =6irjJLRW.
Telle est l'expression de la réaction que le courant d'eau uniforme et constant, de vitesse W au loin, exerce sur la sphère de rajon R; c'est aussi la résistance que la sphère de rajon R éprouve à se mouvoir avec la vitesse constante W au sein du liquide immobile.
71. Applications. — i" Chute d'une goutte d'eau dans Vair sous son propre poids, — La vitesse limite qu'acquiert la goutte sphérique de densité 5 est
La goutte peut se déformer un peu, si elle est grosse. La composante normale de la force est en un point
AI 3 fxW et la composante tangentielle
rj, 3fxW .
celte dernière tire le liquide du pôle avant vers le pôle arrière, le long d'un méridien, et tend à produire dans la goutte une circulation avec retour au voisinage de Taxe, analogue à celle des vortex sphériques de Hill (M. Comme la viscosité de l'eau est grande, ce mouvement reste très lent dans la goutte.
La composante normale entre dans l'équation de la surface capillaire ; négligeons les mouvements internes de la goutte', sensiblement sphérique, l'équation capillaire est sensiblement
rj 3 |lW / I 1 \
en appelant 8 la densité et ^ la tension superficielle du liquide; G est l'angle de la normale avec la direction du mouvement; z la hauteur sous le centre, peu différente de RcosG; R le rayon moyen; R' et R" les deux rayons de courbure vrais, peu différents de R. La goutte s'allonge en poire, aplatie à l'avant, allongée à l'arrière.
2" Ascension d^une bulle gazeuse au sein (T un liquide. — Mêmes remarques. La circulation est beaucoup plus visible, à cause de la faible viscosité du gaz; la déformation est en poire, aplatie à l'arrière (en bas) et allongée à l'avant (en haut), parce qu'il faut changer le signe de la pression due à la tension superficielle.
La condition d'adhérence ne traduit ici que très imparfaitement la réalité, et le mouvement réel est beaucoup plus compliqué.
72. Sphère. Translation alternative. — Nous supposerons l'amplitude du mouvement de la sphère, très petite par rapport à son diamètre. Prenant toujours le centre de la sphère pour origine des coordonnées, on peut prendre
avec
d'où
(zp2 pe = o,
■.-"*[îrNB.»'(è-i?*P-)],
(*) Phil. Trans., 1894. — Lamb, Hydrody nanties, p. 264.
