CHAPITRE IV. — MOUVEMENT RECTILIGNE A DEUX DIMENSIONS

vitesse est

z = -7— e^^ocosa cos(^6n sina — a).

Soient :

T la période d'oscillation libre dans le vide ;

M la masse de la sphère ;

m la masse du fluide déplacé;

l'équation du mouvement est

M —^Si-h±^{M-^m)z = o,

et, si l'on écrit la résistance sous la forme Si = — W(A, -\- 1^2)6^^, 9 est déterminé par

(I) M62-+-(Ai-+-iA2)6-^-^(M- m) = o,

et réciproquement, de l'observation de 9 cette équation permet de tirer Ai -+• /Ag :

A li/rû 4^-/ii/r .ces a

, A,=- Meocosa — ^(M — m)-^,

A »*û • 4'^^/mir ,sina

A2 = --MeoSina-h ^(M— m)-^ —

Des expressions développées de A^ et de A2, on déduit deux équations indépendantes du second degré en y/jji, faciles à résoudre, et qui fournissent un contrôle. Mais si l'on n'a déterminé que la période et non l'amortissement, bien que cela suffise à la rigueur, la résolution est pénible et sans précision.

Pour calculer 9 à l'avance, remplaçons-le par sa valeur ^-^> et Si par sa valeur développée, l'équation (i) devient

^' P . + 3^ R li' P2 ( 4 4 p R + p 2 R 2 ) ^ 4i^ (M m ) = 0.

pop L

L'équation, étant du quatrième degré en |3, a quatre racines imaginaires conjuguées deux à deux; il y a donc deux périodes propres distinctes, douées chacune d'un amortissement particulier. On remarquera l'augmentation d'inertie — r— ^ ou — dans le coefficient de P'*, sigrnalée pour la première fois par Poisson.