CHAPITRE V. — MOUVEMENTS DE ROTATION

Cylindres indéfinis concentriques :

^ = ar^ -\- b\o^r -\- d^

r or r-

Solt lo la vitesse angulaire du cylindre intérieur, R; le cylindre extérieur R' étant fixe, il vient

ia = — w rcTT i^y b = (jù

et le couple par unité de hauteur est

G = -47rfxR3 ( -j^= + ,,r{x— — ^^ o).

Si R' est infini,

Le cylindre peut laisser le liquide éloigné en repos, quand il tourne uniformément, ce qu'il ne pouvait pas faire quand il glissait suivant sa longueur (n° 50).

79. Sphère. — Examinons le cas où la fonction 4 dépend uniquement de la distance du centre

on a alors

d'où

A^ = -—^ -h - -r^ = const..

La vitesse angulaire est

lay

•lax

'la -

Si la sphère mobile de rayon R, avec une vitesse angulaire (Oq, est

90 LIVRE 1. — GENERALITES.

entourée d'une sphère fixe concentrique de rayon R', on a

'^^ — — ^^T^, rr;^ 6 = — a)(

et, pour R' infini,

Le frottement sur la sphère mobile donne un couple

C = ÔTtfxô / ^— sin^6 rfcos6 -+- sin^6 cos6 û?sinG) = 87r|ji6.

80. Ellipsoïde de révolution, -r- Détaillons les indications succinctes données par Kirchhoff dans sa vingt-sixième Leçon de Mécanique.

Considérons un ellipsoïde de révolution

et les ellipsoïdes homofocaux

dont la coordonnée elliptique est u.

On sait que le potentiel newtonien (*) d'une matière homogène de densité i , qui remplit l'ellipsoïde (<?), est en un point quelconque de l'ellipsoïde e*

-, a* -f- X c* -h X «pnrTra^c / a . — >

J H (a*-hX)v/c2-+-X

en appelant u la racine positive de l'équation e^

et l'on a

-7^= — '2 7ta2c/' I .

^'' J,, (a-^-HX)2v/c2-+-X

/— arclanfifl/— 1

( ' ) Tous les Traités de Mécanique, au Chapitre : Attraction, Potentiel; Appell, t. 111.

Si floue 011 [irciid

tçelLe vitesse angulaire saiisrait h l'équation aux di'rivées parlieltes, fpe réduit à ziîro à distance infinie, et à di,, sur l'ellipsoïde e.

Le couple se calcule siinplemenl, eu remarquant qne dans le mou~ Bvemenl permanent il est le même sur tous les ellipsoïdes homoiocaus, I p.trliculier à rintlui, là où l'ellipsoïde se réduit sensiblement KA une spiiôre.

\ ces très grandes distances, on a sensiblement

I ei, d'aprrs le résultat oitlenii pour la splir

c/Jï:

Espace compris entre deux ellipsoïdes homofocaiix ti =^ o et , le premier mobile avec la vitesse m,, l'autre au repos. — Comme le problème est un problème de inouvemeni relatif, il siiflit e chercher la relation entre (Uo et w,, qui est évidemment

■ -I- arc tang