VS
La valeur du couple reste la même; pour l'exprimer en u),, il suffit Ede résoudre l'équation précédente en b)„ et de porter dans C.
81. Diaques. — Disque animé d'un mouvemenl de rotation lanenl dans un liquide illimité. — Pour le disque de rayon a, ^Bans épaisseur, il l'aui annuler l' daus li-s expressions pw'cédcntes, ce
92 LIVRE I. — GKNÉRALITKS.
qui les simplifie.
— - —- h arc tane - —
G = — '^ fjiawo.
Disque dans un vase, — En assimilant le vase à un ellipsoïde homofocal au disque, pour lequel on ait u = a, il faut prendre
toi wo =
—-^ h arc lanff —
irVa'-f-a i a
Si le vase est large et peu profond, l'expression de u montre que a est de même ordre de grandeur que le carré de la distance du disque au fond.
Si le vase est profond, mais de diamètre peu supérieur au disque, a est de même ordre que la différence des carrés des rayons.
82. Disque compris entre deux plans parallèles. — On n'a pas fait encore de calcul rigoureux; nous indiquerons le mode d'approximation adopté par Maxwell, qui convient très bien lorsque les plans sont très rapprochés du disque. Pour l'espace compris entre un disque indéfini (s = o) animé de la vitesse angulaire o) et un plan fixe parallèle (2 = — /i), on a
et
d^A = 2 7t(Jito /'"^ dr
sur la surface inférieure.
Pour un disque de rayon limité R très grand par rapport à A, le mouvement dans la partie centrale du disque sera le même, le frottement aussi. Si l'on pouvait admettre cette distribution jusqu'au bord, on aurait
pour chacune des faces du disque.
Mais au voisinage du bord, soit libre, soit proche de parois fixes, les surfaces d'égale vitesse angulaire se recourbent pour envelopper le disque; il en résulte un accroissement des glissements près du bord et, par suite, un accroissement de frottement.
Lorsque le disque a un f!;ran(l diamètre par rapporL à l'iîpaisseur A, I ]fi région iroulilëe ne s'étend êvidemmenl qu'à nue distaime coiiipatrable à A, c'esl-à-dire pelile par rapport au diamètre. Le trouble
alors le même caractère qu'auprès du bord rectiligne d'une lame pi^ane, animée d'un mouvement de translation tiiR le long de son F bord, la section méridienne de l'ensemble des parois servant à définir le problème de translation. Nous avons vu que dans ce cas l'auj^uieu- 1 latioa du frottement sur la lame plane équivaut à l'addition d'une irgeur L, que nous avons calcuice pour diiïércnts cas (n*" o7, o9, [ 60, 61) avec mouvement uniforme.
Pour le disque nous ajouterons au couple -c!!!r> le couple
I S,C=^ 2 7t[i;u)R''lj dû ù cette longueur supplémentaire, supposé appli-
I que au bord du disque. C'est du moins ce qu'a fait Maxwell, même
dans ses expériences où ce terme correclif a quelquefois dépassé le
[ dixième du terme principal.
8li. Discussion. — 11 y aurait évidemment beu, tout en conservant la distribution de vitesses définie par le bord rectHigne, d'en améliorer l'application aux dis(|ues. Sans entrer dans aucun détail, il est I évident que la correction laite par Maxwell est excessive : les eicès I <ie frottement relatifs à chaque couronne ont une valeur moindre [ parce que la longueur de la circonférence est plus petite que celle du I hard; leur bras de levier est moindre dans le m^me rapport; enlin (c'est avec la vitesse linéaire de la limite de la région centrale non f troublée, mal délinie mais plus petite que celte du bord, que doit se ■ Ëtîre le raccord. Pour toutes ces raisons il semble que le couple sup- Vplëmenlaire doive être réduit à
rfC
I pour cbaque couronne dy de rayon R. — j- {f est la fonction défini Idans le problème de mouvement rectiligne correspondant; y^ |au bord). On peut même montrer qu'il conviendrait mieux pour I I raccordement d'attribuer à cbaque zone (R — y) non pas l.i \ §ltesse de translation du bord wR, mais celle de la zone elle-mèui
0»-.i,j rail ainsi
94 LIVRE l. — GÉNÉRALITÉS.
d'où
le premier terme de 82 C reproduisant seul la correction de Maxwell,
Sans pouvoir donner aucun résultat général, on peut penser que le rajon moyen auquel il faut appliquer le frottement supplémentaire est plus près de R — L que de R.
La correction serait ainsi
Lorsque la correction de Maxwell dépasse o, i , (4 L >► o, i R), il est
possible qu'elle soit elle-même en excès de plus des — de sa valeur.
Certainement excessive, elle peut laisser subsister sur C une erreur supérieure au centième.
On doit donc trouver après la correction de Maxwell une valeur trop faible de la viscosité; si on ne la faisait pas, on trouverait une valeur beaucoup trop forte.
84. Suite de la discus'sion. — Précisons la démonstration : l'équation à satisfaire par la vitesse angulaire est
ôr- r ôr dz"^
avec les mêmes conditions pour co le long de la méridienne des parois que pour la vitesse linéaire u dans les problèmes de translation du chapitre précédent. Près des bords, où r est grand, si co ne varie pas
trop vite dans le liquide, le second terme - -p peut être négligé en
première approximation. L'équation en w se réduit à l'équation en u
des problèmes de translation, el — ds k dv.
On a donc bien pour le couple élémentaire
dO* — iTzr^ -7- ds,
CH*PITRK V. — MOtHEMBNTS DE ROTÀTiON. gS
■eyi\ donne pour le couple de oorrRClion l'expression désignée plus l^aiit par SaC
i le mouvement ainsi obtenu salisfail exactement aux condîbions aux parois, sans satisfaire rigoureusement à l'équation du mou-
iremenl du liquide, nous savons (n" 28) que, même en faisant exac- |t«ment la correction 3,0, le couple ainsi calculé serait évalué par
Bscés.
Lorsque le rayon n'est pas Ir^'S ftrand, on pourrait augmenter la
arécision en introduisant l'intégrale précédente dans le tei'rne — — .
ïlclierchanl un terme complémentaire w, donné pHr
s tout l'espace occupé par le liquide, avec w nul sur tout le conloui Bt à l'infini, et calculant ensuite le couple qu'il produit.
