CHAPITRE V. — MOUVEMENTS DE ROTATION
Le terme en to est une résistance proportionnelle à la vitesse; le
facteur de -t- est un accroissement de moment d'inertie. Tous deux ot
dépendent d'une manière très complexe des circonstances du mouvement.
89. Approximations. — Lorsque l'amortissement est faible, comme il arrive généralement dans les expériences de mesure, 2 7^ est peu
supérieur à -; on peut donc poser
IT, = - -h2Ç (61 <o)
et développer en Ç.
Lorsque l'amortissement est très voisin de l'amortissement critique, apériodique, 62 est au contraire très petit, et 271 est peu inférieur à Tc; on peut poser alors
2 Tj =71 — 2 Ç
et développer en Ç.
Une autre circonstance peut faciliter également les approximations dans deux cas extrêmes : lorsque la viscosité est grande, la densité petite, la période longue et l'amortissement faible, la longueur
t être beaucoup plus grande que R ; Re est petit, le couple est
presque proportionnel à la vitesse, à jjl, et au volume de la sphère. Si, au contraire, la viscosité est faible, la densité grande, la période
1res courte ou l'amortissement très rapide, la longueur - peut être
beaucoup plus petite que le rayon R, le couple dépend surtout du terme en e^; il dépend à la fois de la vitesse et de l'accélération dans des proportions comparables.
Supposons réunies, comme il arrivera souvent, les deux circonstances d'une viscosité faible telle que Re soit grand, et d'un amor-
tissement faible tel que r, — - = X soit petit. On a alors, en négligeant î^, ,
c'flî-+-^|= R*£2[A2e2TiRH-B2e-2Ti»^— 2ABcos(2':2R-t-a— {i)] dans l'expression des coefficients de C,
47r[jLv/2 r A«e2'^i>t— Bge-2T^iR-f-2AB sin(2T2 K -f- a — .S ) ^ "" 3 ^^^['•^ Aîe2^i»^-h Bîe-î'TiK— a AB 005(2x2 K -h a — ^ )
d(xi A^e^-^iR— B2e-2Ti»^— 2ABsin(2-:2K-ha— ^)
(i) peul
62 df Aîe2'fi»^-+-B«e-2T,R— 2ABcos(2T2R-ha
lOO LIVRE I. — GENERALITES.
et, si l'on adopte la même approximation dans le choix de l'origine du temps,
3 sin(2X2R ■+- a — ^)
— cos(aH- P)-h 2Cos^X2R H- a — y j cos ( Tg K — ^ -+- t ) j
on remarquera comment les deux termes dépendent de jjl : le premier
a en facteur ms ou sensiblement i/^-^ — > le second — ou {/— —
En outre, à cause du facteur t^R, le rapport des deux termes
varie périodiquement avec l/- lorsqu'on conserve la période et
l'amortissement, c'est-à-dire 8, et 82-
Si, malgré la petitesse de la viscosité, Rs est petit par suite de la petitesse de R et de la longueur de la période, l'amortissement étant
toujours petit / yj =: - j ; on obtient la forme très simple
l'augmentation d'inertie est indépendante de la viscosité à égalité de période (80).
90. Liquide indéfini extérieur à la sphère ('). — La vitesse angulaire et le couple doivent être nuls pour R infini, ce qui exige
On a alors, sur la sphère mobile,
fi / c?=— ^ -^Be-'r.R[Ç£sin(x2R— p-4-r^)-hsin(T2R— ^-h2T))]sine2/
avec
R£C0S(T2R — P H- ^i) H- cos(t2R — ^ -h tzrj = o,
(ï) Pour la théorie, voir: Lampe, Prog des Gymn. Daotzig, 1866. — Klemep^ <i. Wien Ber., t. LXXXIV (Abu II), 1882, p. i46.— Lampel, WienBer. (Abl. II), t. \K2LZ i886, p. J91. — KoNiG, Wied. Ann., t. XXXII, 1887, p. 198.
