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III. — PERTIIHBATIONS ADX EXTRÉMITÉS DU TÏÏBE CAPILLAIRE. GORRECTIOn DE FORCE VITE.

I 117. Exception apparente à la loi de Poiseuille. — Pniseuille inlrë que si la longueur du tuhe lonibe au-dessous d'iiue cerliniile, qui dépend du diamètre, sa loi ne s'applique plus. B théorie devient donc insuffisante.

, La théorie générale du mouvement des fluides visqueux d'où nous Stmines partis est correcte et, dans l'application que nous en avons jâle an cas des tubes capillaires, nous avons supposé seulement que 1 vitesse du liquide qui s'écoule est parallèle à l'axe du tuhe. Dans i^ute région du tuhe o\i cette hypothèse est légitime, l'intégration ionduit à la relation de Poiseuille entre le débit et la chute de preson par unité de longueur.

Soient :

^ la chute de pression entre deux sections t parallèle à l'axe;

Ba longueur de tube qu'elles cniuprenneat; |san diamètre et I le débit.

du tube où la vitesse est

tèttc loi élémentaire est certainement exacte pour toute section sufmment éloignée des bouts. Mais pour la vérifier par l'expérience K l'applique au tube entier. Dans ce cas, deux causes d'erreur appahissCnt :

I l" Au voisinage des bouts du tube les lignes de courant doivent fesser d'être parallèles à l'axe, car elles convergent vers l'entrée ilu pbe dans le réservoir d'où le liquide part et divergent à la sortie IBDS celni où elles aboutissent; et l'inlluence de ces changements de ilîreclîon doit se faire sentir sur une certaine longueur dans le tube.

l33 LIVRE II. — LES LIQUIDES.

2° La quantité P qui figure dans la formule (i) désigne la chute de pression entre les deus sections terminales du tube; or i;e qu'on mesure c'est la diUerence des pressions qui régnent dans les deux réservoirs entre lesquels le tube est établi. Cette différence peut s'écarter notablemenl de P.

118. Nature du mouTement aux extrémités du tube capillaire. — Supposons les bouts du tube coupés bien perpendiculairement à l'aie. Comme le diamètre du trou est très petit par rapport à l'épaisseur de la paroi, on peut se représenter le tube comme un étroit canal, creusé dans une masse de verre illimitée, aboutissant perpendiculairement sur deux parois indéfinies baignées par les masses liquides des réservoirs d'entrée et de sortie {fig- aa).

Fig. îa.

Les lignes de courant ne sont pas distribuées de la même façon à l'entrée et à la sortie

A l'orifice d'entrée, elles lorment un flux convergent venant de toutes les directions dans un angle de 180" autour du trou; on peut admettre que ces lignes ont la forme régulière indiquée par la figure 36, si les mouvements sont assez lents, c'est-à-dire qu'il ne se produit pas de mouvements tourbillonnaires. Ce faisceau de lignes de courant doit s'étrangler en entrant dans le tube pour prendre presque— aussitôt la direction de l'axe.

A la sortie, le liquide qui a acquis tout le long du tube un mouve

ment bien rectiligne forme une sorte de jet qui ne s'évase que lente

ment. On peut s'en assurer en colorant légèrement l'eau du réservoi — d'entrée, celle du réservoir de sortie restant incolore; le jet est ator^ rendu visible. On constate qu'il s'élargit lentement et ne se mêlants au liquide ambiant qu'assez loin de l'ouverture. Ce (lui sortant e»cz^ traine très peu par viscosité le liquide qui l'entoure; celui qui haig^K^t

ciiapithk i — bait. i33

média te ment la paroi n'est pas entramé d'une façon sensible, kiîsque le jet subsiste sur une longueur notable après la sortie, on ■ut conclure (|ue les lignes de cnufant resLeat certainement pai'al-

à l'axe à l'intérieur du tube jusqu'à la sortie. rEn résumé, le parallélisme des vitesses à l'axe est réalisé tout le mg du tube sauf sur une certaine longueur à l'entrée; cette Innigeur est silrement faible, sans doute de l'ordre du diamètre. C'est jonc seulement dans des tubes très courts qu'il en faudra tenir compte; nous ne ferons pas le calcul de correction qui serait alors nécessaire, parce que l'incertitude sur la forme réelle de l'end)ouclmre le rend illusoire.

Dès que la longueur du tube est un peu grande par rapport au diamètre, cette correction devient négligealile et, dans la formule de Poiseuiile, la longueur mesurée du tube peut être inlmduile telle ijuelle sans erreur sensible.

Mais la seconde des causes d'erreur signalée plus liatil ( n" 112) prend une importance autrement grande quand le déliil n'est pas très petit, et nécessite une correction qui introduit un terme proportionnel au carré du débit. Occupons-nous en maintenant.

119. Correction de force vive. — Appelons l'i et Pj les pressions

li régnent dans- les sections lernilnalrs du tube respectivement à l'entrée et à la sortie; P', et P!, les pressions, déduites hydrostaliquement de celles qu'on mesure dans les deux, réservoirs au moyen de manomètres en relation a\ec les régions où le liquide est inmio-

1 difl'ércn.c inruimu,.- P, - P, = P e=l 1^. (piaulilé qu'il faudrait li'oduire dans lu formulL: de Poîseuille; on introduit à la place ^différence P', — P!, (mesurée) qui n'est pas égale à P; d'où la cause irreur qui nous occupe.

"1 est facile de voir que l'écart est acquis à l'entrée et qu'il n'est ^détruit â la sortie.

Dans les parties du vase éloignées de l'orifice, où règne la pres- 1 P',, le liquide est immobile. Dans le tube, un peu au delà de riSce, il a acquis la l'oi-ce vive qu'il conserve tout le long du tube; on considère un filet liquide qui se dirige vers l'entrée en se Irécisssnl, la vitesse s'accélère le long de ce filet; la pression doit, t suite, être plus grande du côté large que du côté étroit vers lequel liquide est chassé, La dilVérence P', — P, est précisément la chute I pression nécessaire pour faire acquérir au liquide la force vi

l34 LIVRE II. — LES LIQUIDES.

qu'il a à l'entrée, en même temps que pour vaincre les frottements des filets liquides les uns sur les autres dans le réservoir d'entrée.

Un raisonnement du même genre devrait conduire, pour la sortie^ à la conclusion P2<[ P!, si le jet s'épanouissait et si la distribution des vitesses de sortie était symétrique de la distribution de l'entrée. Mais^ à la sortie, le mouvement est tout autre qu'à l'entrée ; le jet, d'abord régulier sur une certaine longueur, se résout plus loin en tourbillons qui s'éteignent au sein de la masse liquide du réservoir, par suite de la viscosité. La force vive du jet ne produit pas de chute (négative) de pression et de travail proprement dit; elle est tout entière absorbée dans les frottements des mouvements tourbillonnaires qui la transforment intégralement en chaleur.

La conservation du jet montre qu'à la sortie, la distribution des vitesses est encore la même que dans l'intérieur du tube; il en est donc de même de la distribution des pressions. Dans tout le vase, y compris le jet régulier, mais à l'exclusion de la région ou le jet se résout en tourbillons, règne la distribution hydrostatique; Pa et Pg sont égales.

Nous sommes en mesure maintenant d'écrire correctement l'équation complète du mouvement qui tient compte de la chute de pression dans le réservoir d'entrée.

Le régime permanent étant établi, nous allons éfcrire que, pendant un temps très petit dt^ la somme des travaux des forces motrices est égale à la somme des travaux des forces de frottement dans le réservoir d'entrée et dans le tube augmentée de la demi-force vive du liquide qui s'écoule pendant ce temps.

120. i" Travaux des forces motrices. — Dans le réservoir d'entrée, décrivons une sphère S ayant l'orifice du tube comme centre et un rayon assez grand pour que sa surface se trouve dans la région du réservoir d'entrée où la vitesse du liquide est sensiblement nulle et où la pression est celle qu'on mesure : P'^. Les filets liquides peuvent être considérés comme partant normalement de cette sphère. Pendant le temps dt^ une quantité de liquide idt pénètre dans cette sphère. Le travail de la pression P', pendant ce temps est

P', I dt,

car, si, à travers un élément rfS de cette sphère, le liquide entre ave ^ une vitesse normale i>, le travail de la pression est

P'i dSxi> dt.