CHAP. II. — RQUATI0N8 DU MOUVKUENT LENT D UN FLUIDE VISQUEUX
de surface la partie du fluide située du côté positif de la face, sur celle qui est du côté négatif.
Si l'on considère un petit élément de volume dxdydz ayant la forme d'un parallélépipède dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées, les forces X^, .. ., Z^ variables en oc^y\ 5, t appliquées aux faces du parallélépipède ont pour projection totale sur Ox :
\ ÔT dy àz ) "^"^"^•
Les équations du mouvement d'un fluide sans frottement sont donc
d\x à\y d\. ^ /du Ou du du\
ôx dy àz '~ ^ \ ât dx dy àz /
, d\j: d\y d\. ^ fdv dv àv dv\
d'Lx dlLy dt- „ f dw dw dw dw
dx Oy dz
l dw dw dw dw\
^ ^ \dt dx dy dz )
en appelant X<., Y<., Z<. la force extérieure appliquée à l'unité de volume (pesanteur, force électrique, électromagnétique, etc.).
La densité p varie, d'un point à l'autre, lorsque le fluide est compressible.
L'excès de la masse de liquide qui s'accumule dans l'élément de volume pendant l'unité de temps est
Or, ce qui s'accumule ainsi est aussi égal à -^dxdydzdt\ d'où V équation de continuité
18. Relations entre les pressions sur différentes faces. — Dans uo fluide parfait, les composantes des pressions X^, Y^, ..., Z^ se réduisent à une pression uniforme
Xx = Yj. = Za = — p, Xv = Y^ = Ys = Zy = X, = Zj. = o ;
mais il n'en est pas de même dans les fluides naturels. Les expériences de Coulomb, sur les couples qui résistent à la rotation de corps de révolution, mettent hors de doute l'existence des forces iangentielles Xj>, . . . , Z^*,
22 LIVRE I. — GENERALITES.
Avant de chercher comment ces forces dépendent des vitesses relatives, il convient d'établir quelques relations générales :
i" La production d'une accélération angulaire n'exige qu'un couple proportionnel au moment d'inertie, c'est-à-dire au volume de l'élément multiplié par le produit de deux des côtés; or, les forces Xj. donnent, sur un parallélépipède dx d') dz^ des couples moteurs
( Y. — Zy) dx dy dz^ (Z^ — X3) dx dy dz, ( Xy— \^)dx dy dz,
proportionnels aux volumes. Les couples moteurs et les couples d'inertie ne sont pas du même ordre d'homogénéité; pour des forces Yg, . . . (inies par unité de surface et des accélérations angulaires finies, les couples moteurs seraient incomparablement plus grands que les couples d'inertie, à moins que l'on n'ait
Y^— Zy=0, Zx X;=0, \y — Yx=o.
Ces conditions sont donc nécessaires.
2" La connaissance des pressions exercées à travers trois faces formant un trièdre détermine les pressions sur une face quelconque.
Considérons, en particulier {Jig. 3), un trièdre trirectangle,
C ^timin
MABC, et coupons-le par une face hypoténuse ABC, dont la normale est définie par ses cosinus /, /n, n avec les axes.
Soient X| Y|Z| les projections sur les axes de la pression à travers une surface parallèle de l'hypoténuse, mais ayant son centre au sommet du trièdre; soient X| 4- 5X|, Y| -^ 3Y|, Z| -f- oZ| les valeurs relatives à la face hypoténuse elle-même, et S l'étendue de cette face; les trois autres faces du trièdre sont les projections de la face hypoténuse, /S, mS, /iS.
Les composantes suivant Ox des forces sur les quatre faces sont respectivement
— /SX,r, — mSXy, — /iSX-, -♦- S(X|-h 8X|),
CHAP. II. — ÉQUATIONS DU MOUVKMENT LBNT B'lN FLUIDE VISQUEUX. ^3
et leur somme
S(Xi — /X.J. — niXy — «X3)-hS 8X|
est la force motrice sur l'élément de volume limité par le tétraèdre. Cette force se compose d'un terme proportionnel à la surface S, apparent dans la formule, et d'un autre SSX| proportionnel au volume; ce dernier terme est identique à celui qu'on a introduit dans l'équation du mouvement du parallélépipède, comme on s'en assure facilement en le développant. Reste le premier terme, qui, étant le seul de son degré d'homogénéité dans l'équation de translation, doit être nul séparément
X| = /Xj.-»- mXy-f- «Xel de même
Y, = /Y,,-h/nYv-4-/iY,,
Z| = /Z.|. -+- /nZj -h /tZ^.
Ces conditions, données simultanément par Lamé et Cauchy, sont connues sous le nom adéquations du tétraèdre.
19. Qnadrique de référence. Plans principaux. — Au Tableau de
forces
