X.r, \xi Z.r, face normale à x

V' Xv» ^r» » ^y^

X^ï Y^, Zj, » à z,

le^ conditions précédentes permettent de substituer, en adoptant les notations de Lamé, le Tableau symétrique

i N|, T5, Tj, face normale à x^ (H) j T3, N„ Tt, .> àjr.

011 N désigne une composante normale et T une composante tangentielle.

f.es équations du tétraèdre deviennent

i X, = /N,-i-mT3-f-/iT,, (fil) Y|=/T3-h/nN, 4-/iT,,

1 Z,= /T,-f-mT,-+-/4Nj,

dont la forme symétrique montre que la direction de la force X| Y| Z|

^4 LIVRE 1. — GÉNÊRAUTRS.

est conjuguée de la face à laquelle elle est appliquée^ dans la surface du deuxième degré centrée

(0 N,t«-4- N,-r)ï-f-N5C«-h2T,r,!:H-aT,$Ç-f-9.Tsrj5=:±:i.

Il y a donc toujours trois plans principaux rectangulaires sur lesquels Taction est purement normale.

Remarque, — Il peut d'ailleurs y avoir un cône d'action purement langentielle, le cône asjmptote de la surface, lorsque celle-ci se compose de deux hyperboloïdes; mais cela n'est pas inévitable; il peut n'y avoir aucune face sur laquelle l'action soit purement tangentielle. Au contraire, et (|uelle que soit la loi de viscosité adoptée, le trièdre trirectangle où les actions sont purement normales ne fait jamais défaut et, sur une face arbitraire, la composante normale ne peut être nulle qu'exceptionnellement.

En outre, on a

/Xi -4- m Y,-4- wZ| = /*Ni-»-.. .H- 2//î/iTi-h. ..= —-,

en appelant /• le rayon vecteur de la quadrique (i) suivant la normale à la face.

La composante normale à la face est donc égale à l'inverse du carré du rayon vecteur de la quadrique (i).

Par conséquent, la force elle-même est égale à l'inverse du produit du rayon vecteur par la distance du centre au plan tangent parallèle à la face.

20. Vitesses relatives. Rotation élémentaire. — 11 faut maintenant trouver les relations entre ces forces N, T et les dérivées locales de la vitesse.

Soient m, r, w les vitesses du fluide au point xyz^ à un certain instant /; les vitesses en un point voisin x -^ d.7 ^ y-^dy^ z -^ dz sont

du , du , du , u-h-r-ax-^-r-ay-\ — — a-,

ox oy " Oz

ôv , Ov , ov .

dx dy " dz

dw . dw , dw .

dx dy " dz