CIIAP. 11. — KQVATIONS DU MOUVEMENT LENT I)'UN FLUIDE VISQUEUX

La vitesse relative du deuxième point a pour composantes :

du , au , du ^

dx ày -^ dz

dw , dw , dw ,

— dx -H r — dy H — r— dz,

(tx dy -^ dz

Les forces de frottement, dépendant seulement des vitesses relatives et étant des fonctions linéaires et homogènes de ce« vitesses, sont donc fonctions linéaires et homogènes des neuf dérivées premières de M, i', i%\

Mais ces neuf dérivées n'entrent pas toutes, d'une manière indépendante, dans l'expression de ces forces.

11 est clair que tout mouvement d'ensemble du fluide, identique à celui d'un solide, n'a aucune influence sur les forces de frottement.

Or le mouvement d'ensemble le plus général d'un corps est donné

par les formules

a, = Uo-hr^z — ^y,

Wj= WQ-h^y —1137.

liof ^'o, <Vo représentent une translation d'ensemble et, leurs dérivées étant nulles, s'éliminent d'elles-mêmes. Ç, r,, JJ représentent une rotation autour d'un axe passant par l'origine : ce sont les projections du vecteur qui représente en grandeur, direction et sens, la vitesse angulaire de ce mouvement. Elles sont fonctions de t seulement. On a, d'après ces formules :

dui ~dz

dwi dx

TTp

dx

dui

dWy

dy

dvi dz

Si donc on retranche des dérivées, dans les expressions (i), des constantes indiquées par les formules (2), ce qui revient à retrancher du mouvement étudié un mouvement d'ensemble, les forces de frottement ne seront pas changées malgré le changement des vitesses

2ê LIVRE I. — GÉNBRALITB8.

relatives qui deviennent

I^es forces de frottement ne dépendent que de six combinaisons linc^aires indépendantes entre les neuf dérivées, puisque l'on peut introduire dans les expressions des vitesses relatives les trois constantes arhitraires Ç, /), s? ^^^^ changer le frottement interne.

Pour ces combinaisons, nous adopterons le choix de Stokes :

Ou f)v dtv ùw di> au dw ô^ du * ' Ox ay ôz ôy dz àz ôx àx dy

qu'on obtient en donnant à la rotation \^ T|, X^ les valeurs particulières I / ùw dv \ \ ( du dw \ \ / àv àu\

I / dw dv \ * / ^" ^^ \

^"^ ~i\dy~ dz)' ^ - âVdi "" (>i/

dy dzj' '* i\dz dxj' ^ i\dx dy)'

qui ne laissent subsister dans (3) que les six combinaisons (4).

Ç, 7|, îj est une rotation d'ensemble qu'on peut attribuer à l'éléuieut de volume et qui s'ajoute à la déformation (4).

âl. Lm lix composantes de la vitesse de déformation. — Pour fiiuipliiirr l'écriture dans ce qui va suivre, nous représenterons les dérivé<*H pur les notations suivantes :

'^jri ^yî ^s> '^v» ••••

SoiiMil, A l'instant t, M et M' deux points voisins dans le fluide; ^, V, z IcK coordonnées du premier, x ^ Ix^ y -{-Zy^ 3 -f- 85 celles du iii^cfuid.

Linir distance o.v est donnée par

\u luuil du temps fit, les coordonnées des éléments de fluide qui se Iroiivaitîut en vvm points sont devenues :

Pour W :