CHAP. II. — ÉQUATIONS DU MOUVEMENT LENT D UN FLUIDK VISQUEUX
Pour M' :
Iûc -h^x -h u dt -\-{u'x Sa? -h Wy 8^ H- M'a ^3) di^ y -^^y -^vdt-\-{Vx ^x-hv'y ^y-\-v'z ^z)dt^ z -^Iz + w dt-\-{w'xlx -^ w'yly ->r w\ Iz) dt,
(hsy devient (85')* • •
(§*')»= f(H- wi dt) §jp -+- u'y ^y dt -h 1*', ^z dty -h[v'j.oxdt-h{i-hVy dt) ^y -+- pC 8z dty -H[ivi 8a? rf^ -f- w'y 87 rf/ H-(i -h w'. dt) 8^1»,
ou, en développant les carrés et en négligeant {dty :
(y) (oy)î=£(8ar)Mi-+-attirf/)-h2 2^ar8j^rfl(tt;H-pi),
(8) (85')«-(8*)«= ih j^ (os)dt = •2£//[2Mi(8a?)«-i-2(w;y-hi>i)8ar8^].
L'accroissement -T-(8.ç)rf^ de 85 est fonction linéaire et homogène des six quantités
"il ^yi ••'i» vitesses de dilatation; liy-t- ('xï ^z'^^yi «v^H- "i» vitesses de glissement.
Si ces six quantités sont nulles, Zs reste invariable.
II est facile de reconnaître que, dans un petit parallélépipède parallèle aux axes de coordonnées, «j, v'y, ir'^ représentent les vitesses d^ allongement des côtés; w^-h t*'^, ti^-\- «'^o ^!r^~ "/ *^^^ 1®* vitesses de changement des angles des arêtes.
Ces six quantités définissent donc la vitesse de déformation d'un élément de volume.
22. Directions principales. — Une petite sphère, tracée autour d'un point M au temps t, devient, au bout d'un temps dt, un ellipsoïde.
Daus l'équation (■;), changeons le signe de dt; ?J7, Sr, 02 se rapportent alors à l'état final, ùs' à l'état initial; pour une petite sphère décrite autour du point x, y^ z, S5' est constant, et l'équation (7), entre Oo;, S^, 82, est celle d'un ellipsoïde dont le centre est au point
28 LIVRE I. — GKNÉRALITÉS.
Il y a donc un trièdre trirectangle ayant pour sommet le point M, qui reste trirectangle pendant la déformation et donne les trois axes de rellipsoïde. Dans la déformation rapportée à ces trois axes, les glissements correspondants sont nuls. La déformation est définie par la direction de ces axes, et la grandeur des dilatations linéaires correspondantes, qu'on appelle dilatations principales.
On appelle ces axes directions principales. Elles changent d'un point à l'autre du fluide et, en un même point, varient avec le temps.
23. Relations entre les forces et les vitesses rapportées au trièdre principal. — Nous venons de trouver deux groupes de trois plans principaux rectangulaires, Tun par rapport auquel les vitesses de déformation se groupent symétriquement, l'autre par rapport auquel les forces élastiques se groupent symétriquement.
D'autre part, pour un liquide dont l'équilibre est rigoureusement défini par les lois de l'hydrostatique, rien n'indique que les forces de viscosité dépendent d'autre chose que des vitesses de déformation.
Dans ces conditions les éléments de symétrie des forces élastiques et des vitesses de déformation ne peuvent pas différer. Les deux trièdres de plans principaux coïncident.
Prenons-les pour trièdres de références. Le Tableau des forces et celui des vitesses de déformation se réduisent à
Ni o o vl^ o o,
o Ns o o Ty o,
o o Nj o o wi :
en appelant x, y, z les axes et u, v, w les composantes de la vitesse par rapport à ces axes.
11 résulte des expériences de Coulomb que, pour les mouvements lents, les relations sont linéaires.
On a donc
Ni = — A' -^ «I oi -^- ?i Vy ^- Ti ^«»
Ns = — y»-f-ajui-h 3tVy-^YîW,,
N3 = — />-Ha,Ux-H ?sVy-^YsW,;
en appelant p la pression isotrope indépendante des vitesses de déformation, mais fonction de la densité.
Les neuf coefficients spécifiques a», . . . , y.,, qui ne dépendent plus des vitesses de déformation, ne peuvent pas être tous dillerents.
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D'abord, il n'y a, clans un liquide, aucune différence spécifique entre les trois directions principales; on a donc, par permutation circulaire,
de même, il n'y a aucune différence spécifique entre les deux directions tangentielles sur une même face principale; donc
En conséquence il ne reste que deux coefficients spécifiques distincts; mettant en évidence la vitesse de dilatation cubique
nous écrirons
Ni = Xe-T- '2iJLUx — /?,
Nj= Xe -h ÎJXVy — /?,
Nj= Xe-H ijjiwi — />.
24. Relations générales. — Le théorème du tétraèdre permet de passer aux forces qui agissent sur une face quelconque x[lnin)
X^=/N,, Y^=mN„ Z^=nN8;
d'où, pour la composante normale,
N = /Xx-f- /nY^-h nZx= /»N,-H m«Nj-H n«Nj,
et pour la projection sur une autre direction t m' n' ^ qui peut être tangente à la face si Ton a //'-h mm' -^ nn!=^ o,
T= /'Xx-h m' Y^ -h n' Z,,: = //'N, -f- /n//i'N,H- n/iNs-
D'où
Ni = Xe-h •2jji(/*ui-f- m*Vy-+- /i*wi) — /?,
Tj= 2iJL(//'ui-h /nm'vy-h /in'wJs).
Or, les formules de passage d'un trièdre trirectangle xyz à un autre xyz caractérisé par les cosinus Zm/i, V m' n! ^P m" n"^ donnent
u — l m-zn v-t-nw, V = /' u -H m' V -H n' w, (V = Tu-H /n'y-f- n"w;
et
dx &X, dj 6z
oy fHL oy oz
ôz oK âj ôz
d'où les formules types
du ,. , . , »
-r h T- = '2 / /' Ux -+- 2 m m Vv -»- 2 /i nr w- .
dy dz ^
De là résultent les expressions générales des forces pour un trîèdre d'orientation arbitraire
IV) ^N,= X9 + a,x-^, T,= h(-+^).
25. Influence de la compressibilité. — Il semble au premier abord que, pour les liquides incompressibles, on doive poser
= 0, et effacer les termes en 8.
Mais si ce raisonnement était légitime on pourrait aussi bien dire que, dans un liquide incompressible, p ne variant pas, la pression en chaque point doit rester constante. Ce serait une erreur physique et malhématique.
Au point de vue physique, les liquides sont compressibles, mais ils le sont très peu, c'est-à-dire qu'une variation très faible de la densité o produit une variation énorme de la pression. Ainsi, si l'on pose
/'(p) est énorme.
Là où p intervient directement, c'est-à-dire comme coefficient de l'accélération dans les équations de translation, les variations relatives de p sont tout à fait négligeables.
Dans l'équation de conservation de la matière, qui définirait les variations de p en fonction des vitesses si les vitesses étaient connues
CHAP. II. — ÉQUATIONS lit' MOUVKMENT LKNT D'uN FLUIDE VISQUEUX. 3l
rigoureusement, on néglige également ces variations parce que, dans l'application aux liquides usuels, on ne peut connaître la distribution des vitesses avec une précision suffisante (de l'ordre du millionième) pour en déduire la variation relative de p, même à loo pour loo près.
Mais, dans l'évaluation de la pression, on ne peut oublier que /'(p) est énorme, et que les variations minimes de p entraînent des variations finies de p. Ne pouvant rattacher les variations de /> à celles de p, trop petites, on doit donc regarder)» comme une fonction de X, y, 5, /, indépendante des vitesses, et tirer/» de l'intégration des équations à quatre fonctions </, v^ (v, p de x^ y^ z, t.
Si l'on a besoin de connaître les variations de p, on les obtiendra en divisant par /'(p) les variations Aq p.
Cette marche dans les approximations successives peut même être la seule applicable à certains mouvements tumultueux des gaz, quelque compressibles qu'ils soient.
De même, dans le cas de la viscosité, du fait que la vitesse de dilatation cubique est extrêmement petite dans les liquides, nous n'avons aucune raison de conclure que la pression normale isotrope correspondante soit aussi très petite (et à la limite, nulle). Nous devons seulement en conclure que la dilatation cubique est mal déterminée par les vitesses, puisque 6 est incomparablement plus petit que chacun des trois termes dont il est la somme; que par conséquent on a avec une très grande approximation
et qu'il faut regarder le terme (Xo) comme une fonction de x, y^ 3, t que détermineront les équations dynamiques. Mais, sous cette forme, cette fonction ne se distingue plus en rien de la pression générale /?, dans laquelle elle se fond.
Si l'on veut franchir la dernière étape, et remonter de la pression k la dilatation cubique, l'équation d'état à laquelle il faut recourir est l'équation complète qui donne la pression moyenne
/i-i(\,-hN,-+-N,)=/(p)-(3X-H2fx)e=/(p)-+-(3X-4-'2HL).^^,
et nous ne savons actuellement rien sur l'ordre de grandeur relatif
des deux termes; rien ne nous autorise encore à effacer le second.
Du point de vue mathématique on admet la rigueur de la relation
3'2 UVRK I. — GÉNÉRALITÉS.
qui constitue alors une liaison^ dont on doit tenir compte en formant les équations du mouvement; la force qui correspond à cette liaison est précisément la pression isotrope traitée comme fonction de x^ y, 5, t,
La rigueur logique du raisonnement ne doit pas faire illusion au physicien, qui ne peut pas oublier que les liquides, ainsi traités comme incompressibles par les mathématiciens, sont pourtant dix fois plus compressibles que les solides, dont personne ne songe à négliger la compressibilité ! C'est que l'absence totale de rigidité des liquides permet des mouvements d'étendue finie sans changement de densité dont le rôle naturel est très important; les mouvements sonores dans lesquels la compressibilité du liquide intervient forment une classe séparée. En comprenant dans quel ordre les approximations doivent être obtenues, nous allons plus avant que par la méthode strictement mathématique.
Pour les gaz, Stokes a cru pouvoir admettre que la viscosité de compression est négligeable par rapport à la viscosité de déformation pure, ou que 3X + 2[x est beaucoup plus petit que 2[x; il a donc posé, même pour les gaz,
3X -h 2fx = o;
c'est à cela que correspond l'idée vulgaire qu'on se fait du frottement, celle qu'on traduit inexactement en supposant qu'il se réduit à des forces tangenlielles, mais dont l'expression correcte est la suivante : te frottement correspond aux glissements; aucun frottement ne prend naissance dans une dilatation isotrope, déformation qui n'est accompagnée d'aucun glissement.
