OX OX OX
H- Xv -T — h Y V -î i- Zy — ) dx dv dz dt = Q dx dy dz dt.
• ây ^ dy dy ^ *^ ^ *^
^ du ^ àv dw
C'est, d'après le principe de l'équivalence, la quantité de chaleur créée dans Télémenl de volume. Remplaçons les X^, ..., Z^, par leurs expressions (IV), il vient
Le premier terme — />6 est dû à la compression ( — 8)); le second et le troisième représentent le travail de la viscosité, qui est perdu comme énergie proprement mécanique; leur ensemble a reçu de Lord Rayleigh le nom àe fonction de dissipation.
Cette expression nous permet de préciser le sens de l'opinion vulgaire, que le frottement est résistant. Il consomme toujours du travail; la quantité de chaleur qu'il produit
est toujours positive ou nulle, jamais négative. Pour qu'il en soit ainsi, il faut évidemment que [x soit positif, lorsque les glisse-t ments ne sont pas nuls; il faut aussi que 3X + 2[i. soit positif ou nul, lorsque la dilatation est isotrope. Ces conditions suffisent, car on peut alors mettre la fonction sous forme d'une somme de 6 carrés B. 3
'14 LIVRE 1. — GÉNKRALITÉS.
iiult^pendunts
On aperçoit ainsi, sous un autre poinl de vue, le caractère limite dv riiypolhèse de Stokes; 3a -|- 2[jl peut à la rigueur être nul, jamais
ut^^atif.
La fonction 4> est homogène et du deuxième degré; on a
24> = (N,-h/>.)Mi,-h...-4-Ts(wy-hPi).
On a aussi identiquement, en désignant par U, V, W d'autres vitesses, et par ^' la fonction correspondante analogue à 4>,
La fonction 4> peut être également exprimée au moyen des preshi(Uis obliques, car on a
<-+-.-;= iT„
eu posant 3N = N, -f- N^ -f- N,.
Il vient alors
Ou peut donner* à la fonction de dissipation une forme qui fait tUipiiraUre les conditions à la paroi
V\\ piisiUll
•iUJ| r-= »':J,~ p'., ..., 10»= O}}-!- (i)|-+- wj.
\ w ^liiupomeul convenable des termes transforme cette expression
I (* /*<« + »'^+- iv« \ à / \ d / M
CHAP. 11. — ÉQUATIONS DU MOUVEMENT LENT D'uN LIQUIDE VISQUEUX. 35
En intégrant pour tout le liquide, on obtient
r f f^dxdydz = f f f Çk-^ i\l)^^ dx dy dz
~*~4hl/ / l iû'^dxdydz — \l l j — (a* -+- i^ '-+-«'*) c?S
en désignant par v(/, m, n) la direction de la normale à l'élément rfS, vers l'intérieur du fluide.
Les intégrales superficielles sont nulles sur toutes les parois oii la vitesse est nulle. La seconde des intégrales superficielles est nulle sur toutes les parois où la rotation est nulle, et plus généralement où la normale à la surface est dans le plan de la vitesse et de la rotation.
â7 . Équations générales du mouvement interne. — Nous pouvons maintenant écrire les équations générales du mouvement des fluides en portant les expressions des N, T (n° 24), dans les équations (I) du n*» 17 :
dp ,^ ^ d6 , v /du du du Ou\
dp ^^ d^ . , / di' ôv dif dv \
dy dy * \dt ôx dy dz ]
dp ^^ d6 „ / dw dw dw dw \
dû d d d
Pour les mouvements isothermes des gaz :
pour les mouvements adiaba tiques des gaz :
/(p,T) = Bp'«.
En général, il reste à définir les variations de température, en tenant compte des échanges par conductibilité, obéissant aux lois de Fourier, et des productions de chaleur par le frottement lui-mèmë. Mais, dans les conditions auxquelles s'appliquent nos équations, c'està dire quand les déformations sont lentes, la quantité de chaleur créée
^0 UVRK I. — GENÉUAUTBS.
\u\v \isc<>siU\ fonction du deuxième degrë des vitesses de déformation, rxl iW îi ptlite, comme la chaleur échangée par conductibilité si les ri»oHicicuts de conductibilité et de viscosité sont du même ordre de ^r<auicur; il est alors légitime de la négliger dans Téquation caloriinrh u|uo. l'ette relation d'ordre de grandeur est celle à laquelle on f\l conduit quand on attribue aux deux phénomènes la même ori- );im\ lu diilusiondu fluide en lui-même; elle est d'accord avec Texpémuu'f piMir les gaz; mais il n'en est pas de même pour les liquides, i\ Cil iuj;cr par le Tableau suivant, qui contient presque toutes les lU'it'rmiuulious de conductibilité thermique de liquides, au voisinage dr ïo\ cl les \aleurs correspondantes dé la viscosité, le tout en uiiilr> (!.(». S. Degré centigrade :
Conductibililé. Viscosilé.
.'Veille acétique 0,000472 0,01 5o
Vlcool mêlhylique 496 0,0078
w éthyliqiie ^x'^ o,oi5o
V amylique 3*28 o,oG5i
Sulfure de carbone . . . 343 o,oo36
Chlorofnrme jiHS 0,0064
bUUor. 3n3 0,0026
Ulu'ériiie 637 21
Huile il'ulive 0,000 3() 5 o,3
\m uuc ronvlulitui n'apparaît entre les deux propriétés.
hiUiî rc \ ohuuc lu température du fluide sera ordinairement sup- |.ti i« uuil(n'uu' ol inxariabic, soit que les variations soient naturelle m« lil ur;^lif;c<ddo*i, sini qu'on les rende telles par une disposition ( Mu>t (i.ililr lie rcxpcrience.
:.ix tu uiuuvwuwftt permanent lent est déterminé. — Considérons L m .uvMnrul'i IcuU, Icis que tous les produits «/w^, . . ., ^/(ï^, ..
Il u( in'fjt^rablcn.
k\ li, \\ w Ici composantes de la vitesse qui satisfont aux équa-
t. .1 . i uiy wuulilioui iUa surface limite. Soient U, V, W des vitesses
. . I. ,u ui <iM > «nbiU'iUirs, nulles à la surface limite.
1 , . .i. uwu \lr ib«i>i|mlion pour le mouvement total est
. ' *»• • Mi[u t ihx*-H...-h(a;.-hvi,-hU;-+-v'^)»-4-...],
A iiaUvHu el les remarques du n** 26,
