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.4 [u,^, >----+(uv+v;) ^^^,^^^^ +...J.
CIIAP. II. — ÉQUATIONS DU MOUVEMENT LENT d'uN LIQUIDE VISQUEUX. 87
Celle dernière parenlhèse esl égale à
D'après les équalions du mouvemenl lenl, la seconde ligne esl égale à
Supposons que les forces extérieures dérivent d'un potentiel uniforme ^ par unité de masse, comme la pesanteur,
ri^
dx
celle seconde ligne peut s'écrire
Cela étant, formons la fonction de dissipation pour tout le volume occupé par le liquide, en nous rappelant que U, V, W sont supposés nuls à la surface limite; il reste seulement
F-4-SF = r r /'r4>-hv-h'2(py? f-/>)e
\ ox oy dz I
Dans les mouvements lents, les variations de densité sont faibles et l'équation de continuité se réduit à
^1 dt
^^ -hpe = o;
le mouvement additionnel est soumis à la même restriction, et les
termes ( U ^ +. • . ) sont négligeables en facteur de ^.
Considérons un mouvement permanent et un mouvemenl additionnel qui conserve la permanence
au dv dw
ai = ài = ir = "' ® = **•
La fonction de dissipation se réduit à
F-4-aF = r r Ç (^-h^')dxdydz!
Or ^'' est essentiellement positif. Donc, dans le mouvement modifié, avec mêmes vitesses à la surface et même distribution de densité, la dissipation d'énergie est plus grande que dans le mouvement permanent réel.
Cette proposition a été énoncée par Helmholtz [Abh., t. 1, 1868, p. iiW) pour les liquides.
Sous vitesses données à la surface, le mouvement permanent est unique, puisquHl correspondàla plus petite dissipation d^ énergie.
Application, — 11 est quelquefois très difficile d'intégrer les équations du mouvement permanent; mais on peut généralement se faire une idée grossière de la distribution des vitesses.
En particulier on peut imaginer des distributions de vitesses continues, mais avec discontinuités des dérivées des vitesses, telles que la fonction <l> soit partout finie, qui représentent l'allure générale du mouvement, et satisfassent exactement à la distribution des vitesses le long de la paroi, et sur toute la surface limite du liquide.
La fonction de dissipation calculée au moyen de cette distribution imaginée des vitesses est toujours trop grande; elle donne une valeur approchée par excès du travail, et par conséquent des forces appliquées aux parties mobiles de la surface limite. Lorsque la distribution a été imaginée judicieusement, l'excès peut n'être pas très grand; nous en verrons des exemples.
On peut utiliser pour le calcul l'expression transformée (26) mais en conservant les intégrales de surface le long de toutes les surfaces 011 les dérivées des vitesses imaginées sont discontinues.
