Stabilité du mouvement permanent lent. — On a
dt du'j. ât ô{Uy-^v'j.) Ot^ ^ ^' '
et par la même transformation que plus haut
d^ à \ Ou ô^ ùv f>4> ()w d^ du ^p "]
m ~ 'dx y&i dûïc ^ ôi ôvZ'^ ~ot ôïv^ ~"ôi^ 9~^ P)^
-4[-]-àl-]-^>-'.-:-=[(S)"-(^;)--(S)-]-
CHAP. II. — ÉQUATIONS DU MOUVBMBNT LBNT d'uN LIQL'IDK VISQlEt'X. Sq
Or, dans le mouvement leiil, on a
p = a -\- bp avec
Considérons seulement les mouvements variés dans lesquels la vitesse de la surface limite du fluide reste la même que dans Tétat permanent. On a alors
Supposons d'abord que le mouvement s'efVectue sans variation de densité.
le second membre est essentiellement négatif; l'énergie dissipée par seconde diminue constamment; elle tend donc sans alternatives vers sa \aleur miniina. Le mouvement permanent lent est stable.
Cette propriété a été établie par Rorteweg pour les liquides (PA//. M a g. y i883).
Dans le cas des gaz, si l'état variable est accompagné de perturbations de la densité, celle-ci est déterminée séparément par
— A^-h(X-i-'2[Ji)AQ — p AM?= p J-*
p = a-^ bo^ -i-H-pO = o
ou
^ p Ot ^ OO
qui comporte des oscillations amorties; le retour à l'état permanent ne se fait pas nécessairement sans alternatives; mais l'état permanent n'en est pas moins stable.
En effet, le potentiel des forces extérieures fJP contient une constante arbitraire, qu'on peut toujours prendre négative, assez grande
4o LIVBE I. — GÉNÉRALITÉS.
pour que ^£-\- b soit négatif dans tout le volume occupé par le lluide. L'équation (i) montre alors que
^/^F- r r Ç p^drdydz— f Ç fp9Bdxdydz\
est constamment négatif. Les deux premiers termes représentent la chaleur dégagée dans tout le lluide, le troisième est l'accroissement d'énergie potentielle. La somme diminue constamment, et tend sans alternatives vers la valeur minima, correspondant au mouvement permanent; celui-ci est donc stable.
30. Propagation du son par ondes sphériques. — Appliquons immédiatement les équations générales à la propagation du son par ondes sphériques isotropes de faible amplitude. Soient P, p©? Tq la pression, la densité et la température d'équilibre; on a
et, par suite,
-5ï^/^-^^-^(^^''"^d;^^^" = p«dr' ••'
et
g -+- epo = «,
en négligeant les termes du second ordre, avec
P ~ po "^ T„
comme conséquence de la loi do Mariotte.
Knfin l'équation calorimétrique est exactement
^\i;^^ ^ ôyi ^-^^j-Pf*-4-X6*^|x[.ai4-...^(iv,-+.r',)t^...]^cpo--,
en H|)pelant R la conductibilité, et c la chaleur spécifique sous volume constant.
Pour des ondes sphériques isotropes émanant de l'origine, la vitcbse, purement radiale, ne dépend que de la distance r à l'origine, et de /, ce qui permet de poser
do (>o dm r , ^1
U=-- ~i ^^-r* W=-^y hP^'%0]»
Ot oy dz ^
— ^ -I 1 H 1 = AO = ^ H î-
Oa:'^ f)y* ôz^ ^ ôr- r dr
CHAP. II. — ÉQUATIONS DU MOUVKMENT LENT D'UN LIQUIDE VISQUEUX. 4l
et donne aux équations la forme
— d(p — P) ,. d ô do
~ h(A-h5iiJi)-— A9 = po-r- -r-»
dr ^' ôr ^ ^ dr ôt
Si, dans cette dernière équation, nous négligeons la conductibilité et la viscosité, la compression est adiabatique
£__ — = Y ^- ^ (y rapport des deux chaleurs spécifiques).
r po '
Dérivant la première équation par rapport à ^ et éliminant /? et p, au moyen de l'équation de continuité et de Téquation adiabatique, enfin intégrant par rapport à /', on trouve facilement
P 7 X -h 9. (ji f> ^* ? .
et en multipliant par /*,
Py c)ï X-+-9.IJI d d« , ()i ,
Une source périodique simple à Torigine donnera un mouvement
représenté par
e-^'' cos (nt — mr )
avec
— - (Ç* — /w') /i.'AÇm-h n' = o,
Po Po
po po
d'où, en première approximation ( — petit],
Py . . n /Py
— i- /n« = /i» ou — = 4 / — ^ »
.-0 m V Po
et
mPy^ X-h'2Ll ^ X-4-2fX/w'
^ ^ = ^/im ou L = =
Po Po '^po n
L'intensité du son varie comme le carré de l'amplitude, c'est-à-dire comme — 5—; aux distances supérieures à -» l'extinction par viscosité e~^^'' devient plus importante que raflfaiblissement par rayonnement (-^y
Mettons des nombres; on a pour l'air à o", en C.G.S.,
— = 333oo; po= 0,00129^; [1 = 0,0002; m = -r- 9
en appelant L la longueur d'onde du son.
D'où
^ / X -4- 2 jji \ o , 0004 I 4 7^'
001 3 333oo L-
Si donc A était nul, on aurait, pour un son moyen (L = loo*^"*),
soit 300"^'".
Avec la relation de Stokes A -h 2 [jl devient égal à - 2 iji, et ^ devient
1,5 fois plus grand.
11 ne semble pas que l'observation vulgaire, ou même les remarques faites au cours d'observations scientifiques, permettent de dire si l'aiTaiblissement par viscosité joue un r(Me important dans la propagation sphérique, et si le coefficient X + 2ijl est beaucoup plus grand ou beaucoup plus petit que 2[x, puisque le domaine du rayonnement
presque pur (loi — j est de plusieurs dizaines de kilomètres, pour les
sons moyens, moindre pour les sons très aigus.
En tous cas, ce n'est pas sur la combinaison de Stokes (3Xh- 2[x) qu'on serait renseigné, mais sur la combinaison X H- 2 ul qui seule intervient dans la propagation libre du son.
Des expériences précises paraissent indispensables.
B. — C0HDITI0H8 A LA PAROI.
31. Conditions exprimant que la paroi est étanche. — Si la paroi est étanche, ce que nous supposerons, la vitesse relative du liquide et
CHAP. II. — ÉQUATIONS DU MOUVEMKNT LENT d'uN LIQUIDE VISQUEUX. 43
de la paroi ne peut être que tangentielle ; la vitesse normale relative est nulle.
Soit donc en un point de la paroi : U, V, W les composantes de la vitesse de celle-ci; a, t^, w les composantes de la vitesse du liquide; a, ^, Y les cosinus directeurs de la normale. On a
32. Conditions relatives au frottement à la paroi. — Deux cas peuvent se présenter :
Premikr cas. — li y Cl adhérence complète. C'est évidemment le cas des liquides qui mouillent. Alors la vitesse du fluide est égale à celle de la paroi et Ton a
Deuxième cas. — //' y a glissement partiel du liquide sur la paroi, — Alors, pour un liquide et une paroi donnés, nous admettrons qu'il existe un frottement proportionnel à leur vitesse relative et ayant même direction.
Appelons V cette vitesse relative en un point de la paroi. Prenons ce point pour origine des coordonnées, pour axe des x la direction (le la vitesse t)» et des z la normale vers Tintérieur du liquide.
La force de frottement exercée en ce point par le solide sur le liquide est dirigée en sens inverse de la vitesse relative XD du liquide.
Sa valeur par unité de surface peut donc s'exprimer par
— kV
en désignant par k une constante spécifique. Le travail de frottement, superficiel, perdu comane travail et converti en chaleur, est, par unité de surface et par seconde, A"0-.
Considérons alors une lame très mince de liquide contiguë à la paroi et d'étendue dS.
La force de frottement exercée sur la face externe de celte lame
est
— kVdS,
La force exercée sur la face interne de cette lame par le reste du
liquide est
T,dS.
Toutes les autres forces étant proportionnelles au volume, on doit
44 LIVRE I. — GENERALITES.
avoir séparément
ou
(i) Ti = X't).
La vitesse relative normale ^ est nulle tout le long de la surface; on a donc
Cherchons à quelle distance de la paroi la vitesse relative tangentielle serait nulle; en supposant la variation de vitesse linéaire dans le voisinage de la paroi, on a
et l'équation (i) donne
u = XD -h z-— f ôz
d'où
La vitesse u deviendrait donc nulle à la profondeur — ~> située
dans la paroi si k est positif, c'est-à-dire si le frottement à la paroi est résistant, et dissipe réellement du travail sous forme de chaleur.
Donc : la vitesse le long de la paroi est la même que s'il y avait adhérence sur une paroi parallèle à la paroi donnée, et située à une
distance £ = t hors du liquide.
L'expérience permet-elle de mettre en évidence cette valeur ^ de la distance du plan d'adhérence à la paroi? Si l'.on arrive à des valeurs de j plus petites que l'erreur qu'on peut commettre sur le repérage
précis de la position de la paroi, il est bien clair que cette valeur de j
est illusoire ; on n'aura pas à en tenir compte. C'est le cas de l'expérience des disques (Coulomb). Ce n'est guère que dans le cas de l'écoulement à travers des tubes capillaires qu'on peut obtenir une
valeur de j certainement supérieure aux erreurs d'expériences.
Les formules de transformation de coordonnées permettraient d'écrire l'équation de frottement superficiel pour une orientation quelconque de la paroi mobile; mais l'extrême petitesse de l'épaisseur
