CHAP. II. — ÉQUATIONS DU MOUVEMENT LKNT D'UN LIQUIDE VISQUEUX

additionnelle z dans tous les cas connus permet de se borner sans erreur appréciable au cas plus simple de l'immobilité relative le long

d'une paroi fictive parallèle à la paroi vraie à une profondeur — ^'

33. Limites d'adhésion. — Telles sont les seules suppositions précises faites jusqu'à présent au sujet des relations de contact entre le liquide et le solide. Il y a pourtant une autre question importante qui se pose d'elle-même dans Temploi des huiles comme lubréfiants, celle des conditions qui limitent l'adhésion du liquide au solide. En horlogerie la réponse est simple, et ressort exclusivement de la capillarité (•); mais, dans la grosse mécanique, il en est tout autrement, et l'on parle de lubréfiants qui ont du corps et des pressions /imites qui chassent le lubréfiant pour caractériser une propriété essentielle qui semble être distincte de la viscosité comme la ténacité est distincte de l'élasticité. Toutefois les indications des ingénieurs à ce sujet restent si confuses que la propriété spécifique est encore inconnue.

Il est certain que le liquide peut cesser d'être en contact avec la paroi, et s'en séparer en la laissant sèche. Une goutte de mercure par exemple peut rouler sur du verre; la séparation s'efTectue alors normalement. 11 n'est pas sûr qu'elle puisse glisser; pourtant il est peu vraisemblable que le frottement sans glissement puisse croître sans

limites.

A défaut d'observations, quelles hypothèses provisoires peut-on

faire à ce sujet?

i" Le frottement avec adhérence est remplacé par le frottement avec glissement au delà d'une certaine valeur fixe :

) a la paroi, au ^ au ^ ^

u désignant la vitesse relative, tangente à la paroi.

a" Même loi, mais la limite /« est proportionnelle à la composante normale de la pression :

/o=?o(/'-Hf^j:; »

an)

r désignant la vitesse relative normale à la paroi.

(») M. Brillouin, a, Ch. Ph., 1906.

L'épaisseur additionnelle e (n" 32) n'est plus une constante; la profondeur e à laquelle on peut imaginer une paroi fictive sans glissement est alors éerale à -zr-^ — ^ — > extrêmement grande au début du glissement (^/o petit) si /*o n'est pas nul. Le glissement se produirait d'abord aux points où la variation — est la plus grande, c'est-à-dire

aux courbures d'entrée et de sortie, et aux angles vifs de la paroi. Les changements de régime seraient alors sous la dépendance étroite des orifices (L. II, Ch. IV).

Dans tous les cas, la pression normale est celle que donne l'intégration des équations du mouvement interne.

34. Surface libre. — Lorsqu'il y a une surface libre, on admet d'ordinaire avec Stokes que le frottement est nul à la surface (en négligeant l'entraînement du gaz par adhérence) et que les équations de viscosité sont valables jusqu'à la surface. Toutefois on oublie généralement de les écrire et d'en discuter l'influence.

Si l'axe des x est normal à la surface, ces équations sont

I du dv \

(du dw \

35. Viscosité superûcielle. — A la suite d'observations d'ailleurs discutables, sur les bulles de savon, Plateau a été conduit à supposer l'existence possible d'une viscosité beaucoup plus grande de la couche superficielle que de l'intérieur du liquide. Cette propriété peut être une conséquence naturelle de l'existence des couches de passage que révèle la tension superficielle.

Traduisons-la en formules, en supposant que les actions sont des fonctions linéaires de la vitesse de déformation de l'élément de surface : si l'élément de surface dy dz fait partie de la surface libre, les forces qui s'exercent sur les éléments dxdr^ dx dz contiennent des termes proportionnels aux longueurs des côtés dy^ dz, auxquels les conditions d'isotropie autour de la normale ox imposent la forme

CHAP. II. — EQUATIONS DU MOtVEMKNT LENT D*UN LIQUIDE VISQUEUX. 4?

Les composantes normales à la surface sont nulles, car leur couple autour de oy et autour de oz doit être nul séparément.

A ces forces correspond une con>ersion de travail mécanique en chaleur proportionnelle à Taire, définie par la fonction de dissipation superficielle

Comme il n'y a pratiquement pas de terme d'inertie proportionnel à la surface, la variation de densité étant au-dessous de tout ce qu'on a pu mesurer, l'effet de ces forces superficielles doit équilibrer les actions qui proviennent de la profondeur sur Télément de surface dx dy :

^ /du dv div\ du

si la surface est courbe, on ajoutera le terme dû à la capillarité.

/Ou dv\ , . ^ d / dv dw\ / d* ç d^v \

/du dw\ ^ d / dv dw\ /d^w d^w\

Ces équations sont notablement plus compliquées que les précédentes (n" 34).

S'il y a une couche de passage ayant sa viscosité propre à la surface libre, a fortiori doit-il y en avoir une au contact d'un solide; mais elle ne peut entrer en jeu que s'il y a glissement relatif; les équations à la surface d'un solide isotrope seraient alors

^-dlc^^^^-^^^^d^\li^-^l^)'^^Adpi^d^)'='f'^^^^^ ôw ,^, , d / dv dw\ ,/à'V d^w\

en désignant par o, i^, (v, la vitesse relative du liquide par rapport à la paroi et prenant l'axe Oy suivant la vitesse i^, positive, au centre de l'élément de surface dx^ dy^ où l'on suppose w nul. La condition d'absence de glissement serait alors

dv ,., , d / dv dw\ , fd^v ^* ^v \

36. Rigidité du liquide. — Quant au corps du lubréfiant, il semble

que cette propriété doit se rattacher à la rigidité étudiée par Schwedofl*(*), et ne pas appartenir aux vrais liquides.

La pression limite qui chasse le hibréfiant ne s'exerce jamais sur une couche épaisse; mais, dans le cas où les parois ont acquis le poli spéculaire, et où les surfaces sont bien parallèles, la couche peut devenir très mince, et c'est alors la question de la stabilité des couches très minces, immobiles ou en mouvement, qu'on doit se poser.

Mettons hors de cause la capillarité qui ne peut jouer aucun rôle quand il s'agit de la grosse mécanique, et de tourillons qui portent des centaines de kilogrammes. Le lubréfiant est soumis à deux actions rectangulaires : la pression qui tend à le chasser parallèlement à l'axe de rotation, à travers l'espace annulaire, et le couple de rotation qui le fait circuler autour du tourillon. Dans ce dernier mouvement, la déformation considérable et constamment croissante ne met en jeu d'une manière appréciable que la viscosité; mais, si le lubréfiant est une de ces huiles analogues aux solutions de gélatine, telles que l'huile d'olive, l'huile de ricin, il est capable de supporter des efforts sans se rompre, pourvu que la déformation correspondante reste petite: c'est ce qui arrive dans la direction de l'axe. Le même lubréfiant peut se comporter au même moment comme fluide dans le sens de« grandes déformations, et comme rigide dans un sens perpendiculaire, si l'on a soin de limiter les efforts et les déformations dans ce sens.

Je reviendrai sur ce point dans le dernier Chapitre de ce Volume.

(') Congrès de Physique, t. I» 1900, p. 478.