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Le frottement est alors nul sur le plan mobile; mais, sur le plan fiie, il est égal à
g -0/ y/upO A sin 1 A: H — j it,
entraînant ce plan dans le sens du mouvement du plan mobile, ou en sens opposé, suivant que k est pair ou impair,
B est infini lorsque l'épaisseur h comprend un nombre entier de demi-longueurs d'onde
Le frottement est alors infini sur le plan mobile et sur le plan fixe, mais son signe est indéterminé.
Pour les épaisseurs intermédiaires, B est fini difl*ércnt de zéro.
Sur le plan mobile, le frottement B^"®'^[jLp8 est accélérateur si B est positif, retardateur dans le cas contraire. Sur le plan fixe,
le frottement -h Ae~^'v/[^?^ rsinAl/^ n'est jamais nul; il a une
valeur absolue minimum Ae~^' ^\kp^; mais il est accélérateur lorsque le sinus est positif,
.X:i.^^<A<(aA-H-.),^/ii,
OU retardateur dans le cas contraire,
Les frottements accélérateurs sur le plan mobile, retardateurs sur le plan fixe, pour des épaisseurs d'ailleurs différentes, mais en nombre infini, sont tout Popposé de ce qu'on appelle d'ordinaire des frottements.
L'origine de ces résultats d'apparence paradoxale est facile à trouver, dans ce fait que le mouvement exponentiel a eu une amplitude infinie à une époque infiniment reculée dans le passé, et que le taux d'amortissement spontané du mouvement initial peut différer, en plus ou en moins, du taux d'amortissement imposé par le mouvement du plan mobile, et cela inégalement aux diverses profondeurs : d'où toutes sortes de variétés de cheminement de l'énergie et des échanges avec les parois.
Pour chaque épaisseur A, en modifiant le liquide de manière à changer [x, on passera périodiquement par les mêmes alternatives,
puisque tout dépend de h 1/—» en particulier, un accroissement de
la viscosité peut donner naissance à un frottement accéléraljeur croissant; ou, inversement, une diminution de la viscosité peut produire un accroissement considérable de la résistance.
Ces phénomènes, aussi singuliers que certains, n'ont fait l'objet d'aucune étude^ expérimentale; mais il me paraît possible que certaines instabilités observées, et peut-être aussi la production du régime hydraulique doivent y être rattachées ; il faut remarquer en particulier l'indétermination du signe du frottement (accélérateur ou résistant) quand il devient infini, tel que la variation de viscosité due à la chaleur même que produit le frottement suffise à provoquer le changement de signe.
10. Mouvement exponentiel croissant U = Ae^^ — La solution est d'un caractère tout différent
« = e^M A Ch z
4/f.BS,„j/f),
en désignant par Ch, Sh les cosinus et sinus hyperboliques,
