CHAPITRE III. — MOUVEMENT REGTILIGNE A UNE DIMENSION
débit total par unité de largeur y est
J-h [i. dx ^ '
ce débit est proportionnel à la chute de pression par unité de longueur, au cube de l'épaisseur 2 A, et en raison inverse delà viscosité. Avec glissements égaux aux deux parois
^ du
- du
/ z^--h^ ^ h\ àjp ~~ y afjL // dx
dp /'lA*
dx\^yL f
le glissement se traduit par la présence d'un terme en A^, inversement proportionnel au coefficient de frottement à la paroi.
44. États lentement Tariables. — ^ peut être une fonction quelconque de t. Lorsque la variation de -p est lente en fonction du temps, on peut adopter approximativement la même solution
\ 2fX fjàx
du
pourvu que le terme p-jj» tiré de là, soit négligeable par rapport
* % ' ^°'*- P (^^' - 7) ^ ^ "Négligeable devant g ou, en prenant la plus grande valeur du premier terme (z = o), et adoptant une approximation du millième :
dt\dx)
dp dx
<io
2fl/
p(yAt-uatiA)
Cela donne une marge d'autant plus grande que la densité du liquide est moindre, que la viscosité est plus grande et que l'épaisseur ^h est plus petite.
58 LIVRE 1. — GÉNÊRALITKS.
15. Variation exponentielle — =we-^' sans glissement. — L'in tégrale est
u = e-^^ ( -;: -h A cosz
avec les conditions d'adhérence
^«^Bsiny-ej
^+Acos/i^g±BsinA^L«=o,
qui donnent, en général,
et exceptionnellement B arbilraire lorsque
avec A =111 --
suivant la parité de k. Ainsi il y a des valeurs de 0, en nombre infini pour chaque épaisseur «A, données par
qui laissent indéterminée l'amplitude B du terme impair en 5; en d'autres termes, l'état initial, uniforme en x^ impair en ^, se résout en une infinité de mouvements simples, amortis, dont les taux d'amortissement 81 sont donnés par l'équation ci-dessus. Une circulation de ce genre se produit dans le niveau à bulle d'air.
En outre, il y a une infinité de valeurs de fl, données par
qui annulent les cosinus, et rendent A infini (signe indéterminé), lorsque iïj est fini. Il y a donc une infinité de valeurs de l'amortissement qui ne sont compatibles qu'avec une circulation très intense par couches alternatives inverses superposées.
Ici, comme dans certains exemples précédents, l'existence de [jl sous un cosinus peut faire croître l'amplitude des mouvements, en même temps que la viscosité. Ces phénomènes peuvent se produire
Ch
CHAPITRK 111. — MOUVEMENT RECTILIGNE A UNK DIMENSION. Sg
pendant l'établissement exponentiel de l'écoiileinent permanent lorsque le tube n'est pas très étroit.
16. Variation exponentielle croissante -p = me^^ sans glissement. — L'intégrale est
(Vf
sans aucune ambiguïté.
47. Variation périodique-^ =nTsiii6f sans glissement. — L'intégrale est
cos6^ I ~7 ■+- ^ Ch(T^)cosT5 -h A' Sh(T-5) sinT j -+- B Sh(TZ) COST5 -h B' Ch(T-3)sinTZ
le^ r
- — — A Sh(':5) siii(T-3) -»- A' Gh(T«) C0ST.5 — BC\i(':z)fiin{'zz) -h B' Sh(T^)cosT«
sine^
avec
MM
-K 4- A Ch{zh)cos('zh)-h A'Sh(xA) sin(TA) = o,
pe
et
- X Shi-zh) siiiCcA) -i- A'Gh(TA) cos(':>i) = o,
BSh(-:/i)cos(T/i)H-B'Ch(':/ï) sin('uA) = o, HCïi('h) sin(tA)-hB' Sh(TA) cos(-:/i ) = o,
B et B' sont toujours nuls; et l'on a
A A' pe
Ch(T/r)cosTÂ ShlxAjsiiiTA cos*tA h- Sh*(TA)
Si tA est grand, A et A' sont beaucoup plus petits que -r; mais les produits ACh(':-3), A'Sh(T3) prennent auprès des plans fixes une valeur de même ordre que -^- Les valeurs de A et A' sont alternativement positives et négatives, suivant les valeurs croissantes de tA.
11 n'y a pas d'indéterminations ni de valeurs infinies dans ce cas.
Les exemples qui précèdent suffisent à nous donner une idée de la
6o LIVRE I. — GÉNÉRALITÉS.
variété des phénomènes possibles. Qualitativement, les résultats peuvent évidemment être appliqués à des mouvement réalisables, comme celui du liquide compris entre deux cylindres concentriques, ou même de l'écoulement à travers un tube capillaire. L'influence de la loi de variation exponentielle ou périodique en fonction du temps est évidemment de même ordre, bien que la discussion complète se présente comme plus compliquée.
CHAPITRB IV. — MOUVEMENT RKCTILIGNE A DEUX DIMENSIONS. 6l
