Méthode analytique. — On sait que Tintégrale générale de
cette équation est
u = partie réelle àe f{y -^ zi),
f étant une fonction entièrement arbitraire qui peut contenir des constantes complexes a -h In en nombre quelconque. Les courbes définies par
V = coeff. de i dans f{y-\- zi)
sont orthogonales aux courbes m, et Ton établit facilement que le long d'un élément d'arc Sj s -\- ds d'une courbe u = const., on a
-- ds = dv, on
n étant la normale du côté des u croissants, et s Tare croissant avec if. Il arrive quelquefois que l'on ait intérêt, pour la simplicité des formules, à conserver une variable auxiliaire en évidence
et l'on a toujours
—- ds =^ dv.
on
Le frottement dF par unité de longueur de la bande dont la largeur est ds est donc exprimé très simplement par
dF = iidv et, le long de la bande comprise entre s^ et .vj, par
50. Cylindre circulaire de rayon a se mouvant suivant sa longueur
W = U -H A lo2-«
— Même difficulté que pour le plan indéfini lorsque le liquide s'étend indéfiniment; le seul mouvement permanent qui laisse la vitesse finie
CliAPlTRE IV. — MOUVEMENT RECTI LIGNE A DEUX DIMENSIONS.
au loin est l'entraînement de tout le liquide avec la même vitesse U. Inutile de revenir sur ce sujet. La difficulté subsiste quelle que soit la forme du cylindre, même quand sa section est limitée, en particulier pour une lame plane de largeur finie. Elle disparaît dès qu^on précise la position des parois fixes; avec un cylindre immobile de rayon R, concentrique au cylindre a, on trouve ainsi
log
avec une résistance totale par unité de loniçueur ^ — r- •
ol. Cylindre dans le Toisinage d'un plan fixe indéfini, 2=0. — Soit R, le rayon du cylindre, et 3 = db D, r = o, deux points 0^ , O2 symétriques par rapport au plan, que nous prenons pour origines de
Fig. 6.
coordonnées bipolaires Ti, r.^. La distance \G de Taxe du cylindre au plan est yi^D* -h RJ . L'intégrale est
'o^(v/ïïT^'-ê)
et le frottement total est par unité de longueur
2 7ruU
'^^ (v/Sî ^''S;)
64 LIVRE I. — GÉNÉRA UTÉS.
52. Cylindre mobile et plan diamétral extérienr fixe. — Prenons pour origines 0| O2 de coordonnées bipolaires les arêtes de contact du cylindre et du plan, et appelons co,, «Oj les angles de MO|, MO3 avec un des plans, pris comme origine. La solution est
«= (co| — a>5).
Elle donne en effet a = U sur la circonférence qui a 0| O^ comme
diamètre, et 1/ = o sur les deux demi-plans extérieurs et partout à rinfmi. Le frottement par unité de longueur axiale sur l'élément de contour CO2, W2-h dtù^ est
^F = — ^ ^/[lojîdangtOî)].
Entre deux génératrices définies par les angles w^, co^, qu'on peut prendre l'un très petit, l'autre très voisin de 90 *, le frottement total est
Mais on ne peut ni partir de o, ni aller jusqu'à ~; l'intégrale devient
infinie.
Le frottement devient infini dans les angles, à cause de l'extrême proximité de la partie fixe et de la partie mobile; on voit qu'il n'est pas nécessaire pour cela que les parties fixe et mobile soient tangentes ; il suffit qu'elles aient une arête commune.
Dans une expérience, le jeu nécessaire à la liberté du mouvement supprimerait cette difficulté.
L'influence de ce jeu très petit pourrait être calculée au moyen de l'exemple suivant.
53. Plan mobile inûni normal à un plan fixe limité {Jig. 8). — La solution est fournie par les coordonnées hyperboliques homofocales, de foyers j^ = ±/, z^=^o. Les lignes d'égale vitesse sont des
CHAPITRK IV. — MOrVBMENT RKCTILItiNK A DEUX DIMENSIONS.
hyperboles de foyers F', P; soitr, J'angle de rasyinptote avec la ligne des foyers, la solution esl
Kis. 8.
qui donne u = o dans le plan c = o au delà du foyer (74 = 0), et M = U dans tout le plan y = o.
L'autre coordonnée d'un point quelconque du plan est l'angle a, tel que Th(a ) soit égal au rapport du petit au grand axe de l'ellipse 'qui passe par ce point. En particulier, en un point M du plan mobile, d'ordonnée z (petit axe de l'ellipse), on a
a = - loi' -^ ;
on tire facilement de là que, sur la bande comprise entre le frottement est
3 et 5 -f- dzy
ce qui fait, pour toute l'étendue comprise entre o et -h /i.
Vit — u log —
7r 1 ""y/ht-^ft^h
Pour de grandes valeurs de A, ceci se réduit à
66 LIVHE I. — GENERALITES.
54. Cylindre de rayon R, entre demi-plans diamétraux, avec un très petit jeu /. — Effectuons maintenant le raccord avec l'exemple 52, en prenant comme point de jonction celui où Tangle a la valeur très petite ci>2 : on a exactement
h étant compté sur le plan tangent.
est
La portion du frottement provenant du quart de cylindre, de co^ à -f
pi -ïH^U , aR F^, = — ^ — \o^ —
le frottement qui provient de la partie voisine du plan diamétral, entre o et cu^ ou o et /«, est
Au total le quart de cylindre avec le léger jeu /donne, en négligeant ^^ y une résistance
et le cylindre tout entier par unité de longueur, quatre fois plus, soit
Pour eff*ectuer la jonction, on a supposé à la fois ^-r-j négligeable
et -ô- petit ; mais il est difficile de préciser la limite de petitesse de —5-»
qui n'est définie que par la condition de coïncidence suffisante du cylindre et de son plan tangent.
