CHAPITRE IV. — MOUVEMENT RECTILIGNK A DELX DIMKXSIONS. yS

63. Section circulaire. — lu est alors fonction de la seule distance à l'axe, /•. Transformons en coordonnées polaires dans le plan de la section droite; il vient

rf*a \ du ^ \ r d du~\ ~~ dr^ r dr ~ r \^dr dry

et, par suite,

l\ d ( djiW __ P rY'd'r\dr)\ " jji/'

d'où, successivement

d/ ^«f \ __ P£ dr\ dr ) ^ \lI^

du P , ,

"^ dr x^l ^ '

du P * A

dr 'i\kl r

M = — -: — . r' -h A log /• -H B.

Dans un tube circulaire plein de liquide, la vitesse est finie même pour r = o ; A est donc nul ; d'où

Soit maintenant /*4 le rayon du tube s'il y a adhérence, ou, dans le cas contraire, le rayon du tube idéal plus grand sur lequel l'adhérence aurait lieu (;/ = o ) ; on aura

Dans un tube annulaire, compris entre deux cylindres concentriques de rayons /'o et /"i > To, le long desquels il y a adhérence, A n'est pas nul, et l'on a

u = - — -, I — r^-\ ■ ^ logr ; — - — 2 —

64. Tube circulaire. Calcul du débit. — Ce qu'on mesure facilement, ce n'est pas la distribution des valeurs de u dans une section du tube, c'est le débit total I correspondant à toute la section.

Le débit à travers une couronne comprise entre deux cercles de rayons r et r -^ dr est u .'itzr dr.

Le débit total I est donc

1= / u.'itzr.ar = -r — 7 / in — r^)rar^

r^ étant le rayon véritable du tube, différent de r^ s'il y a glissement à la paroi.

L'intégration donne

S'il n'y a pas de glissement à la paroi, on a

ri = r,,

et alors I devient

d'où, les lois suivantes :

£e débit est proportionnel :

1° -4 /a dijfférence des pressions aux deux bouts du tube. (Loi des pressions.)

2° A la quatrième puissance du diamètre, (Loi des diamètres.) 3® A rinverse de la longueur, (Loi des longueurs.)

Ces lois, découvertes expérimentalement par Poiseuille (Livre II, Chap. I), portent son nom.

60. Cas où il 7 a glissement à la paroi. — Dans ce cas, posons r.i = /•, — s et négligeons ( — ) • • • >

I = -j—j{-j. -H rit).

La loi des pressions et celle des longueurs sont conservées, mais la loi des diamètres se modifie. Un terme proportionnel au cube du diamètre apparaît.

Si même l'épaisseur e est comparable au diamètre, il faut déterminer le rayon auxiliaire /'i en tenant compte de la courbure, ou

mieux déterminer la constante d'intégration B = , , r\ directement :

du ^" / X

* or or

CHAPITRK IV. — MOUVEMENT RECTLLIGNE A DEUX DIMENSIONS. 77

donne

Pe P

r} = /•* -+- asTi.

La formule, qu'on pouvait croire approchée, est donc rigoureuse.

Résistance du tube, — On peut écrire la formule du débit sous la forme

en représentant par A la quantité ^ , ^ — qu'on appellera la résistance du tube.

66. Tube annulaire centré sans glissement. — La formule générale du débit donne

''î — ''0 ''î logro— /•; logr, rf— rj

2îx/\ 4

log/i— logro 2

^ ' r\ — ri f rf logr< — r;iog/'o __ r\ — ^Ô ] \

et en simplifiant

-,.i.,,|-.,.rL^j.

Dans le cas limite où /'i diflere très peu de /'o, on peut simplifier la formule, et la réduire à

La résistance du tube annulaire étroit est

^ir\ — rl) (ri-/'o)*

Application. — L'introduction progressive d'une tige dans un tube, à mesure qu'un ressort se tend, est utilisée dans les lampes modérateurs pour régulariser le débit.

On peut obtenir une régularité parfaite par une proportion convenable. La tension du ressort donne une pression Pq-I- P< J? lorsque le ressort a subi une déformation x. La résistance du tube dont une

78 LIVRE 1. — GENERALITES.

partie de longueur reste libre, tandis qu'une autre de longueur x est modifiée, est

et le débit I, défini par est constanl si Ton a

cH ^ 1

p;" pT/'

67. Section elliptique (* ) (Mathieu, i863: Boussinesq, 1868). — Lorsque la section elliptique a pour demi-axes a, 6, l'intégrale de l'équation en //, qui s'annule sur le contour, esl

qui donne un débit

1=1 I u a.T ay = - — . — j- ,

d'où

A égalité de seclion (Tzab = 7îrJ), la résistance dépend très peu de l'inégalité des axes; posons, en effet,

il vient

-r ( I -f-an ) = -T (-2 -h a* — a». ..)•

La résistance ne dépasse celle du tube circulaire que de 0,001 pour a = o,o5 et de 0,01 pour a = 0,1 4- On peut donc négliger l'influence de l'ellipticité tant qu'elle n'est pas très accentuée.

Dans ce même Mémoire, M. Boussinesq a donné la solution pour plusieurs autres formes de sections. Le problème mathématique est le même que celui de la rotation d'un liquide parfait dans un vase

(») Mathiet, Comptes rendus, t. LVII, i8t)3, p. 3.io. — Bolssinesu, Journal de Liouville, t. Xlll, i86b, p. 377.