CHAPITRE IV. — MOUVEMENT RECTILIGNB A DEUX DIMKNSIONS
et ..l>.[âi.B.f-(i-?I.J.)]...[*.Brf.(Ç l.i)],
dont on ne doit prendre que les parties réelles.
La vitesse à i^infini est nulle lorsqu'on choisit la racine j3, dont la partie réelle est négati\e.
A la surface de la sphère, r = R, la vitesse est
o, o, \\>Q', si A. et B sont déterminés par
iA-h BeP«(3 — 3pR-h3«R«) = o, A ■+■ BePK(i — pR -h p«R«) -t-WR» = o,
d'où l'on tire
A^ = ?^(3-3{iR^-p«R«),
3W Re-PK
La formule générale fournil facilement l'expression de la résistance du fluide. La composante suivant l'axe des z, le long du parallèle dont la distance polaire est ^, est
d'où
dont il faut prendre seulement la partie réelle.
73. Discussion. — i" Mouvement amorti sans oscillation. — 8 est réel et négatif,
La résistance est proportionnelle à la vitesse actuelle.
2** Mouvement périodique entretenu :
correspondant à la vitesse WcosÔa'-
La résistance n'a pas même phase que la vitesse. On peut dire qu'elle se compose d*une partie proportionnelle à la vitesse et d'une autre proportionnelle à l'accélération.
3" Mouvement périodique amorti :
avec une vitesse We' ^» '^®* * cos ( / 6© sina). IMèmes remarques que ci-dessus.
Si l'amortissement est faible, a diffère peu de -, et Ton peut poser
sina = i » cosa = — £.
.a I / e £* \ a i / s e*\ sm - = — - ( 1 H ) , cos = — ( I I ,
d'où, en première approximation.
avec une vitesse Wf?~'M cos (^6o)'
Pendule. — Ces formules permettent d'écrire l'équation du mouvement d'un pendule pesant à houle sphérique oscillant à faible amplitude dans un liquide. Le déplacement z qui correspond à cette
CHAPITBB IT. — MOtVEMEXT RBCTILIGNB A DEUX DIMENSIONS. 8 S
vitesse est
z = -— ^'ô»to*a cos( /Ort sinat — a).
Soient :
T la période d'oscillation libre dans le \ide;
M la masse de la sphère;
m la masse du fluide déplacé;
Téquation du mouvement est
et, si Ton écrit la résistance sous la forme «•R = — W^Ai-f- 1X2)^*'* est déterminé par
(i) Me^-h(A,-hlAl)e-^-4^(M - m) = o,
et réciproquement, de l'observation de 9 cette équation permet de tirer A| + 1^2 '-
Ai = — Môocosa jT^'^' ^ '^^ "8 ~ '
. .. A . i'ïï' / .* sinx
A, = — MBo sina-h :îj^(M — m)-^.
Des expressions développées de A, et de Aj, on déduit deux équations indépendantes du second de^ré en ^^^ faciles à résoudre, et qui fournissent un contrcMe. Mais si l'on n'a déterminé que la période et non l'amortissement, bien que cela suffise à la rigueur, la résolution est pénible et sans précision.
Pour calculer 6 à l'avance, remplaçons-le par sa valeur ^-^ > et A
par sa valeur développée, l'équation (1) devient
51^' p*-4- ^ Ri^' P«(4 - 4?R -^- ?«R')-^ 4^(M - m) = o. p* .5 p 1 *
[^'équation, étant du quatrième degré en |â, a quatre racines imaginaires conjuguées deux à deux; il y a donc deux périodes propres distinctes, douées chacune d'un amortissement particulier. On remarquera l'augmenUition d'inertie — r— ^ ou — dans le coefficient de j3\ signalée pour la première fois par Poisson.
