CHAPITRE V. — IIOUVEMHNTS DK ROTATION. gt

Si donc on prend

a* 1 v^a* — C' —r h arc lang 1 / — r )

\ «* -H M JL y a* — c*/

i/rt* — c* — a* ( arc sin — )

cette vitesse angulaire satisfait à Téquation aux dc^rivées partielles, se réduit à zéro à distance infinie, et à (o» sur Fellipsoïde e.

Le couple se calcule simplement, en remarquant que dans le mouvement permanent il est le même sur tous les ellipsoïdes homofocaux, et en particulier à 1 infini, là où Tellipsoïde se réduit sensiblement à une sphère.

A ces très grandes distances, on a sensiblement

dA 2 I

(I) = Ci)o -

" \ u très grand,

V' o' — c* — a* { arc sin — ) u^

et, d'après le résultat obtenu pour la sphère,

C = Stzul

Ja ' — c* — a* ( arc sin — )

Espace compris entre deux ellipsoïdes homofocaux a = o et u = OL, le premier mobile avec la vitesse w,, l^ autre au repos, — Comme le problème est un problème de mouvement relatif, il suffit de chercher la relation entre coq et W|, qui est évidemment

«M v/«* — c*— ; H arc langi/ , )

c i/a* — c* — a* ( arc sin - |

La valeur du couple reste la même; pour l'exprimer en to,, il suffît de résoudre l'équation précédente en cOq et de porter dans C.

81. Diaques. — Disque animé d'un mouvement de rotation permanent dans un liquide illimité. — Pour le disque de rayon a, sans épaisseur, il faut annuler c dans les expressions précédentes, ce

<J2 LIVRE I. — GKXKHALITKS.

qui les simplifie.

atuo / a /m tt V^w\

tu = h arc lang - — ,

C = — "V fiawo.

Disque dans un vase. — En assimilant le vase à un ellipsoïde homofocal au disque, pour lequel on ail u = a, il faut prendre

'lia J X ir i/î

' ■ arc langr —

7r \ rt* -f- a 5>. ^ a

Si le vase est large et peu profond, l'expression de u montre que a est de même ordre de grandeur que le carré de la dislance du disque au fond.

Si le vase est profond, mais de diamètre peu supérieur au disque, a est de même ordre que la différence des carrés des rayons.

82. Disque compris entre deux plans parallèles. — On n'a pas fait encore de calcul rigoureux; nous indiquerons le mode d'approximation adopté par Maxwell, qui convient très bien lorsque les plans sont très rapprochés du disque. Pour l'espace compris entre un disque indéfini (:; = o) animé de la vitesse angulaire co et un plan tixe parallèle {z = — A), on a

et

sur la surface inférieure.

Pour un disque de rayon limité K très grand par rapport à A, le mouvement dans la partie centrale du disque sera le même, le frottement aussi. Si Ton pouvait admettre cette distribution jusqu'au bord, on aurait

pour chacune des faces du disque.

Mais au voisinage du bord, soit libre, soit proche de parois fixes, les surfaces d'égale vitesse angulaire se recourbent pour envelopper le disque; il en résulte un accroissement des glissements près du bord et, par suite, un accroissement de frottement.