CHAPITRE V. — MOUVEIIKNTS DE ROTATION. g'i
Lorsque le disque a un grand diamètre par rapport à l'épaisseur A, la région troublée ne s'étend évidemment qu'à une distance comparable à A, c'est-à-dire petite par rapport au diamètre. Le trouble a alors le même caractère qu'auprès du bord rectiligne d'une lame plane, animée d'un mouvement de translation coR le long de son bord, la section méridienne de l'ensemble des parois servant à définir le problème de translation. Nous avons vu que dans ce cas l'augmentation du frottement sur la lame plane équivaut à l'addition d'une largeur L, que nous avons calculée pour différents cas (n"* o7, 59, 60, 61) avec mouvement uniforme.
Pour le disque nous ajouterons au couple -|— R* le couple
S, C=: 2 7î[jL<i) R** L dû à cette longueur supplémentaire, supposé appliqué au bord du disque. C'est du moins ce qu'a fait Maxwell, même dans ses expériences où ce terme correctif a quelquefois dépassé le dixième du terme principal.
83. Discussion. — Il y aurait évidemment lieu, tout en conservant la distribution de vitesses définie par le bord rectiligne, d'en améliorer l'application aux disques. Sans entrer dans aucun détail, il est évident que la correction faite par Maxwell est excessive : les excès de frottement relatifs à chaque couronne ont une valeur moindre parce que la longueur de la circonférence est plus petite que celle du bord; leur bras de levier est moindre dans le même rapport; enfin c'est avec la vitesse linéaire de la limite de la région centrale non troublée, mal définie mais plus petite que celle du bord, que doit se faire le raccord. Pour toutes ces raisons il semble que le couple supplémentaire doive être réduit à
pour chaque couronne dy de rayon R — y {^ est la fonction définie dans le problème de mouvement rectiligne correspondant; y = o au bord). On peut même montrer qu'il conviendrait mieux pour le raccordement d'attribuer à chaque zone (R — y) non pas la vitesse de translation du bord wR, mais celle de la zone elle-même
On aurait ainsi
94 LIVRE I. — GKNÉRALITÉS.
d'où
le premier terme de 82 C reproduisant seul la correction de Maxwell,
Sans pouvoir donner aucun résultat général, on peut penser que le rayon moyen auquel il faut appliquer le frottement supplémentaire est plus près de R — L que de R.
La correction serait ainsi
83C='i7tiito(K~L)'L = 5,G^i— l|l-H...V
Lorsque la correction de Maxwell dépasse o, i , (4 L >► o, i R), il est
possible qu'elle soit elle-même en excès de plus des — de sa valeur.
Certainement excessive, elle peut laisser subsister sur C une erreur supérieure au centième.
On doit donc trouver après la correction de Maxwell une valeur trop faible de la viscosité; si on ne la faisait pas, on trouverait une valeur beaucoup trop forte.
84. Suite de la discussion. — Précisons la démonstration : l'équation à satisfaire j)ar la vitesse angulaire est
()r- r Or ôz^
avec les mêmes conditions pour to le long de la méridienne des parois que pour la vitesse linéaire u dans les problèmes de translation du chapitre précédent. Près des bords, où ;• est grand, si w ne varie pas
trop vite dans le liquide, le second terme - — peut être négligé en
première approximation. L'équation en w se réduit à Téquation en u
des problèmes de translation, et — ris à di\
On a donc bien pour le couple élémentaire
dC — 'ATzr^ —- ds.
dn
CHAPITRK V. — MOUVEMENTS DE ROTATION. gS
qui donne pour le couple de correction l'expression désignée plus haut par S^C.
Comme le mouvement ainsi obtenu satisfait exactement aux conditions aux parois, sans satisfaire rigoureusement à l'équation du mouvement du liquide, nous savons (n" 28) que, même en faisant exactement la correction 83 C, le couple ainsi calculé serait évalué par excès.
Lorsque le rayon n'est pas très grand, on pourrait augmenter la
précision en introduisant l'intégrale précédente dans le terme - — , et cherchant un terme complémentaire W| donné par
dr^ âz* r ôr
dans tout l'espace occupé par le liquide, avec w nul sur tout le contour et à l'infini, et calculant ensuite le couple qu'il produit.
n. — ROTATION VABIABLE.
85. Mouvement varié. — Lorsque les mouvements sont suffisamment lents, et lorsque la distance normale des parois mobiles aux parois fixes est assez petite, on peut utiliser les intégrales relatives au mouvement permanent pour la solution du mouvement varié. Car, en posant
l'équation
admet comme première approximation l'intégrale de
AU^o = o,
pourvu que la longueur i/i- soit très grande.
Tels sont les cylindres ou les sphères de rayons peu dilTérents, les disques entre plans parallèles avec ou sans anneaux de garde et, en particulier, les disques de Maxwell (n** 82).
L'expression du couple résistant en fonction de la vitesse est la même que dans l'étal permanent.
On aurait une seconde approximation en formant l'intégrale de
si on savait le faire; celle-ci ayant en facteur -^j le couple correspondant, qui a en facteur [xto, ne dépendrait plus de (x, et serait proportionnel à la dérivée (8w) de la vitesse par rapport au temps, c'està-dire à l'accélération, ainsi qu'à la densité du fluide. Tous ces caractères sont ceux d'un accroissement apparent du moment d'inertie indépendant de la nature du fluide (sauf la densité), de la période et de l'amortissement. Malheureusement, le calcul n'est praticable que pour le cylindre, la sphère et les ellipsoïdes.
