CHAPITRE V. — MOUVEMENTS DE ROTATION. ICI

, [R*e»cos('CiR— p — •2rj-4-3Recos(T,R— p— T)) St.ix , ' -f-3cos(T,R-P)]cose,r

C= --'i[:ReO,/-T,RB'

3 i-H[R*s»sin(TjR — p — aYj)-h3RÊsin(x,R — p — 7j)

' 3sin(T,R— P)]sine,/.

C'est le cas des expériences de Konîg et de Whethain.

91. Liquide intérieur à la sphère (^). — La vitesse angulaire doit rester finie et le couple nul au centre de la sphère. Reprenons la forme exponentielle. L'intégrale

donne en développant

La condition est donc

et la vitesse angulaire au centre est la partie réelle de az^e^^ ou

0)0= A6=*e^Ji' cos(6s/-f- a-f- 37]);

près du centre, le couple se réduit à

Co=- ^!^Î^A£»e»i'cos(G,/-f-a-f-3Ti)

et s'annule au centre.

A la surface de la sphère le couple est

e^t"[3cos(0,;-<-T,R-i- a)— 3Rec()s(6j/-4-TîR-4-a-hYi) 8Tt{JL ^\ -4- RU« cos(6j/H-x,R -f a-h -iTi)]

" " — €-fi»[3cos(6j^— TjR-ha)-^3Recos(e,^ — T,R-ha-+-r^)('

-h R*e* cos(6j/ — TjR -h a -+- 2YJ)]

et, d'après le choix de l'origine du temps a, est donné par

__ <î'r»'*[R£ cos(tiR — -fi) — cos(tî R — •ZTjjjH-e-fi^l Re cos{tj RH-7jn-Ci»s(TtR-h ît^)] " «"Ciï^ÏRe sin(':2R — ïi) — sinlXjR — ^lr^)\ — ^f ,R[ Rs siniTj R -f-ri)-H siiiCwiR-hîii )]

(') Pour la théorie, voir Hklmholtz, Abh., t. 1, p. 196 (1860).

102 LIVRE I. — GENERALITES.

C'est le cas des expériences d'Helinhollz et de Piotrovvsky. S'il y avait glissement à la paroi, cela ne changerait rien à l'expression du couple; mais c'est sur une sphère de rayon R| = R -h ^ que

se produirait l'entraînement complet; c'est ce rayon R| qu'il faudrait mettre dans l'équation qui détermine a.

On voit combien ces relations sont compliquées, et quelle incertitude le calcul des expériences laissera planer sur la valeur de ^* qu'elles sont destinées à donner.

92. Intégrale générale en coordonnées cylindriques. — L'équation (111) (n° 74, / arbitraire)

admet comme intégrales simples les fonctions

O^o = ( ao r« -h 6o log r -+- Cy ) e^'-^'=, Ç> = ^ ,

4'>=[«X-+-AxJo(Ar}^Aiyo(*Xr)Je^'H-î;c, Xî=Ç»— ^;

011 toutes les constantes ao, 6o? ^o? ^O.? -^it M. peuvent être imaginaires, ainsi que 8, J^, )w, qui sont liées par les équations écrites en marge.

io{i\r) est la fonction de Bessel dont les premiers termes du développement en série sont

et qui, aux grandes valeurs de «a/*, se rapproche très vite de

J«('>-/-) = ^^'coB(|-arJ

lors([ue la partie réelle de i\r est positive, et de

lorsque la partie réelle de i\r esl négative (.Iouda.n, Analyse, t. 111,

CHAPITRR V. — MOUVEMENTS DK ROTATION. I03

C'est celle qu'il convient de pVendre pour l'intérieur d'un cylindre, atteignant l'axe, car elle reste finie à l'origine,

Jo{0-p) est la fonction qui devient nulle à l'infini (') mais infinie à l'origine,

jQ{iXr) = Joiil r) f log( i'kr) — o, 1 1 593. . . |

Pour de grandes valeurs de A/*, à partie réelle posili\e, elle se rapproche très vite de

y„( A/) =- ^ y/=jii sin(^ -• A,-) et de

lorsque la partie réelle de i'kr est négative. Jq convient à l'extérieur d'un cylindre qui contient une source, car elle s'annule à l'infini, grâce au choix de la constante o, i 1 ^g'^ , . .,

Il en existe des tables pour les valeurs réelles de i'kr, ou imaginaires pures, ou de la forme (i — i).T, Ces dernières ont été calculées à l'occasion du problème de la distribution des courants à longue période dans les fils cylindriques, problème analytiquement semblable à celui de l'entraînement d'un fluide visqueux intérieur au vase cylindrique par les oscillations tournantes du vase; la vitesse angulaire

0) = - -j- correspond à la densité de courant, multipliée par 211; mais

le couple ne correspond pas à la résistance électrique.

Comme caractères généraux nous n'avons rien à apprendre de plus que par les mouvements des plans, et l'insuffisance des tables numériques ne permet pas d'application expérimentale simple {voir Ghiy et iMathews, Treatise on Bessel functions and their applications to Physics, Chap. XI, XII, XIII) (Tables étendues à la fin).

93. Cylindre indéfini. — Le cas le plus simple est celui du cylindre indéfini

Ç = o, X* = — —, iX = T du problème sphérique.

(') La muitiplicilé et la confusion des iioldtions pour Id seconde intégrale

[Y, JJ", K. K, . . .] et la variété de choix de celle-ci, m'ont décidé à adopter la notation y, pour celle qui s'annule à l'infini, en devenant inlinie ù Torigne.

Io4 LIVRE I. — GKNKRALtTÉS.

L'intégrale

4;=[-hAJo(Tr)-t- AVo(':/-)]e^'

donne un couple par uni lé de hauteur,

C =-4- •2 7r|jiR'(9.co — r:-^).

Deux cas limites sont simples :

i" Le rayon Fî est petit par rapport à la longueur- (n"89). On a alors sensiblement

4 fi 4 f^ 4

2^ Le rayon R est très grand :

la partie réelle de t/* étant prise positive.

9i, Distribution arbitraire le long d'une génératrice. — L'intégrale générale

t}^ = ar^-h b lojçr -4- 2 ( A„ sinX„2 -4- B« cosX;^3 ) Jo( iy<n^)

-h S(A;, sinX,|S -h B'„ co?>l„ z)Jo(iXf,'')

peut satisfaire à telle distribution de vitesses angulaires que Ton veut, le long d'une génératrice.

Lorsque le liquide est contenu dans le cylindre, on doit prendre les Jo seuls.

Lorsque le liquide est extérieur au cylindre et s'étend à Pinfîni, on doit prendre les ./o seuls.

IjOrsque les deux cylindres ont des rayons comparables, il faut conserver les deux fonctions.

Soit R' le rayon du cylindre immobile; on doit avoir, quel que soit 3,