CHAPITRE V. — MOUVKMENTS DE ROTATION. Io
d'où
On peut ensuite satisfaire à telle condition que l'on veut en 5, soit par une série de Fourier procédant suivant les multiples de 2 7ct A, lorsque la hauteur totale h du cylindre liquide est limitée, soit par une intégrale lorsque la hauteur est illimitée :
Par exemple, pour un cylindre (C épaisseur '2e j)rolongé par des cylindres immobiles, on aurait
\/' dr/n qui est donnée par
l àr }n l Or Jb
Remarque. — La détermination des coefficients A, B, qui conviennent à un corps terminé par des surfaces autres que des plans normaux à Taxe et des cylindres de révolution, est impraticable; mais la voie inverse pourrait peut-être servir à choisir des formes de corps réalisables mécaniquement avec assez de précision.
(J>uoi qu'il en soit, c'esl dans la théorie des disques que nous allons avoir à faire usage de ces intégrales.
95. Disques, mouvement varié. — La théorie de Tentrainement des fluides par les oscillations des disques est beaucoup plus difficile que par les sphères. On n'en connaît que des solutions approchées. La première tentative a été faite par 0,-E. Meyer (*) à l'occasion de
(') Ueber die Reibung der Flùsùgkeiten {Journal de C relie, t. 59. 1861, p. 219, et t. 6?, i663. p. aoi).
lo6 LIVRE I. — GÉNÉRALITÉS.
ses expériences sur les gaz. Malgré de longs et difficiles calculs, rapproxiinalion resta très grossière; une partie des calculs, relative à rinfluence des bords, montre même qu'à cette époque M. Meyer ne se représentait pas correctement la nature de cette inHuence.
L'année suivante, Maxwell imagina une disposition de disques qui se prête mieux au calcul que celle de Meyer, et en fit la théorie avec une approximation à peu près suffisante (n" 82).
\prèsM. Meyer, plusieurs physiciens s'efforcèrent d'améliorer la théorie pour le disque unique; aucun ne réussit à définir mathématiquement un mouvement continu du fluide et à donner autre chose que des indications très grossières et des explications insuffisantes. M. Grossmann, en 1882, par des considérations qui sont en grande partie fausses, ajoute au couple résistant de Meyer, proportionnel
à \/p[JL, un couple résistant proportionnel à jjl et à la vitesse. Cette correction ramène les valeurs obtenues par les disques à 0,9 environ de celles que donne l'écoulement capillaire, au lieu de i,5 à 2; c'est le seul argument en sa faveur.
M. R()nig, en 188^, a donné des raisons d'ajouter au couple résistant un couple d'inertie, et il en a donné une valeur approchée, que M. Meyer a confirmée par des considérations plus mathématiques; les nombres que ses anciennes expériences fournissent avec le nouveau mode de calcul sont beaucoup plus réguliers, et peu différents de ceux des autres expérimentateurs. Néanmoins c'est une théorie encore très insuffisante et peu précise.
Le point de départ de tous les travaux sur les disques est le même; il est uiile de l'énoncer explicitement. Le frottement s' exerçant surtout sur les faces planes, si Von connaissait ^intégrale exacte en coordonnées cylindriques , il suffirait pour le calcul du couple d^ utiliser la partie de l'intégrale intérieure au cylindre qui a le disque pour base. On peut donc concevoir la marche théorique suivante :
Chercher deux solutions pour l'intérieur du cylindre de rayon R satisfaisant aux conditions limites en z, l'une au-dessus, Tautre audessous du disque, mais indéterminée le long du cylindre R; chercher une solution pour l'extérieur du cylindre R se raccordant avec les précédentes (et au besoin avec l'épaisseur du disque) le long du cylindre de rayon R, et satisfaisant aux conditions limites.
En fait, on prend une solution très particulière à l'intérieur du cylindre; et l'on en définit très grossièrement le raccord avec une solution extérieure, elle-même tout à fait insuffisante.
