CHAPITRE V. — MOUVEMENTS DE KOTATION. III

avec

.Isinf- -21:, R) H-/Slic:2R)Ch(T,R)

iang(^-T,R-i.,R) = ^^^ '-

^^ cos^f 7 -x,RjGhîTsRH-sinW -;: -T.RJ

Sh*i:,R

ce qui donne, quel que soil Ti, pour les grandes valeurs de TaR,

L'équation des iiioinenls devient

La valeur de ^ ainsi obtenue

intervient directement dans l'expression du frottement du liquide sur le disque solide, qui lui est proportionnel :

iru^e* R* f / 2 \ "I

G = ^^M— Ti >in(Oj/-h 2r, )-f- |tj-|- jc- ) cos(fti/-i- 2t, ) .

Le mouvement ainsi défini est un mouvement continu dans lequel les forces sont continues, qui satisfait exactement aux conditions limites et approximativement aux équations de la viscosité interne. S'il s'agissait d'un mouvement permanent, on pourrait aflirmer que la dissipation réelle d'énergie est moindre et que la viscosité tirée de là est excessive (n** 28); pour un mouvement varié, le signe ne peut être défini, mais l'erreur qui reste est probablement petite pour les mouvements lents.

En réalité, c'est en coordonnées elliptiques qu'il faudrait traiter le problème; mais l'intégrale serait alors pratiquement inutilisable, faute de tables, et d'ailleurs difficile, parce que les couches de vitesse angulaire uniforme ne sont pas les ellipsoïdes bomofocaux.

99. Amortissement du corps oscillant. — Dans les oscillations amorties d'un corps de révolution quelconque plongé dans un fluide, la réaction du fluide entièrement déterminée par des équations linéaires lorsque le mouvement est assez lent dépend principalement

112 LIVRK 1. — GENERALITES.

de la vitesse actuelle du corps; toutefois l'inertie du fluide produit une difierence de phase qui ajoute un terme proportionnel à l'accélération.

A roscillalion

du corps, correspond en général un couple (C >> o vers © >► o)

C = (C, A' sine,< -4- Cl A< cose,<;oo;

les constantes C| , C^ dépendent encore de 8, et de 62? outre les dimensions géométriques du corps mobile et du vase; ce sont elles qui contiennent la viscosité et la densité du Huide. Le couple étant généralement résistant pendant la plus grande partie de l'oscillation, la constante Cj est ordinairement négative.

L'expérience consiste à déterminer Ô^ et 62? ^t la première étape de calcul à obtenir C|, Gj, en fonction de 6j, 8..», du moment d'inertie du corps K et de la torsion A du fil de suspension, qui sont liés par l'équation

Or on a

L'équation se décompose donc en deux :

K(Oï-

- ej ) -+- C, — A - 0,

On a

2 K61 fij — Cj = 0.

Cj = -2K61 6),

c, = K(eî e

en posant

S'il y a des viscosités accessoires qu'on doive éliminer, elles fournissent deux équations de même forme, avec des coefficients C, , Cg ; on a donc, dans une première expérience,

c; = -iKO'je;, c, = - K(0v- oj - o',«),

et dans la seconde expérience avec les deux causes réunies C,-+-C;^2K0,0„ C,-rC', = ~ K(0| — OJ-OJ),

d'un terme proporlionnel à la vitesse — D< -p» et d'un proportionnel

CHAPITHK V. — MOtVEMKNTS DE KOTATIOX. Il3

ce (|ui donne, par diflerence, les termes que Ton cherche

Cj = 2K(e, e,- 0', o; ;, c, =— k(0| — e',« - «î h- «? )•

Remarquons que, si le couple est fourni par la théorie sous la forme

ot à l'accélération — Dj— ^> dont les signes sont mis en évidence, on a

où 8j et 62 sont les valeurs réalisées dans l'expérience (C, et G'^^ dépendraient de D'^, D!, et de 8',, 6!^ correspondants).

Ce que l'observation donne directement, c'est la durée d'une oscillation (complète) T, et le rapport des élongations successives à droite et à gauche, à une demi-période d'intervalle, a <C 1 , et l'on a

Os=— , 0, = — lognep(a; = ;j^-^log,oa.

1(N). Calcul d'une expérience. — On tire ainsi de l'expérience deux fonctions de a et de p ; on connaît généralement p par les mesures de pression et de densité; il y a donc une équation de contrôle. La résolution par rapport à ;jl peut être plus ou moins exacte, plus ou moins pénible, suivant l'exactitude de la théorie que l'on a faite du mouvement du fluide, et la complexicité des formules qui en résultent; mais, comme l'on est en présence d'une équation numérique, il n'y a pas de difficulté réelle; quelques tâtonnements donnent deux valeurs approchées de ;jl par défaut et par excès, entre lesquelles on peut facilement dresser deux tables : l'une de T, l'autre de a pour un petit nombre de valeurs de jjl intermédiaires permettant l'interpolation à vue d'après les nombres observés. La prévision de la forme de 6| et de ^2 en fonction de jjl est, au contraire, presque toujours inabordable algébriquement.

101. Périodicité de ramortissement. — Résolvant en 6|, Q29 ^^ obtient

Deux cas extrêmes peuvent se produire suivant que le diamètre du corps oscillant est grand ou petit.

Il4 LIVRE I : GÉNÉRALITÉS. — CHAP. V : MOUVEMENTS DE ROTATION.

Dans ce dernier cas, D2 est très petit et indépendant de la viscosité (sphère n*» 84).

Mais dans le premier, Da, quoique petit, varie avec la viscosité

exactement comme D, ; 6, croît d'abord proportionnellement à \ a, puis de plus en plus lentement; nous saxons que les expressions exactes contiennent pi sous les signes sin et cos; 6| atteint donc d'abord un maximum pour une valeur finie de [jl, puis décroît, passe pai un minimum {voir n"* 39 et 89).

M. Konig a reconnu l'existence du premier maximum sur de» valeurs approchées contenant un plus grand nombre de termes que les nôtres et a vérifié expérimentalement son existence. Il ne s'est pas occupé des minimums et des maximums suivants, que son développement approché ne lui avait pas annoncés.