PD* TZ

/ l'xSii

Cette loi élémentaire est certainement exacte pour toute section suffisamment éloignée des l)outs. Mais pour la vérifier par l'expérience on l'applique au tube entier. Dans ce cas, deux causes d'erreur apparaissent :

1" Au voisinage des bouts du tube les lignes de courant doivent cesser d'être parallèles à l'axe, car elles convergent vers l'entrée du tube dans le réservoir d'où le liquide part et divergent à la sortie dans celui où elles aboutissent; et Tinfluence de ces changements de direction doit se faire sentir sur une certaine longueur dans le tube.

a" La quantité P qui figure dans la formule (i) désigne la chute de nressîua entre les deux sections terminales du tube; or ce qu'on mesure c'est la dJIFérence des pressions qui régnent dans les deux réservoirs entre lesquels le tube est établi. Cette différence peui s'éciiricr notablement de P.

tlH. Nature do mouvement aux extrémités dn tube capillaire. — Supposons les bouts du tube coupés bien perpendiculairement à l'ave. Comme le diamètre du trou est très petit par rapport à l'épaisseur de I» piiroi, on peut se représenter le tube comme un étroit canal, fi'cust^ dans une masse de verre illimitée, aboutissant perpendicuiairenienl sur deux parois indétinies baignées par les masses liquides (It'N réservoirs d'entrée et de sortie {Jig- 22).

l.i'!i li^nt's lie courant ue sont pas distribuées de la même façon h. l'enlrée t'I û lu sortie.

\ l'iu'ilice d'entrée, elles forment un flux convergent venant de lunlo les directions dans un angle de iSu" autour du trou; on peut atluuiltre qui? ces lignes ont la forme régulière indiquée par la li^urti '((i, si les niouventents sont assez lents, c'est-à-dire qu'il ne se prudiiil pat de mouvements tourbillonnaires. Ce faisceau de lignes de l'oiti.iul doit s'élrungler en entrant dans le tube pour prendre presque .ui%^iliU la direction de l'axe.

\ lu iiii'lic, le liquide qui a acquis tout le long du tube un mouvemciil bii'ii rci'liligiie forme une sorte de jet qui ne s'évase que lenteiiii'iil. t>« peut s'en assurer en eoiorant légèrement l'eau du réservoir .1 viiiiee, eellti du réservoir de sortie restant incolore; le jet est alors it iiilii \i->i|ile. Oa constate qu'il s'élargit lentement et ne se mélange i>i loiiiide iiiiibiaut qu'assez loin de l'ouverture. Ce tlux sortant eu- I. ..'>>. lu-, peu par viscosité le liquide qui l'entoure; celui qui baigne

CHAPITRK I — EAU. 1 33

immédiatement la paroi n'est pas entraîné d'une façon sensible. I^iiisque le jet subsiste sur une longueur notable après la sortie, on peut conclure que les lignes de courant restent cerlainement parallèles à l'axe à l'intérieur du tube jusqu'à la sortie.

En résumé, le parallélisme des vitesses à l'axe est réalisé tout le long du tube sauf sur une certaine longueur à l'entrée; cette longueur est sûrement faible, sans doute de Tordre du diamètre. C'est donc seulement dans des tubes très courts qu'il en faudra tenir compte; nous ne ferons pas le calcul de correction qui serait alors nécessaire, parce que l'incertitude sur la forme réelle de l'embouchure le rend illusoire.

Dès que la longueur du tube est un peu grande par rapport au diamètre, celte correction devient négligeable et, dans la formule de Poiseuille, la longueur mesurée du tube peut être introduite telle quelle sans erreur sensible.

Mais la seconde des causes d'erreur signalée plus haut (n" 112) prend une importance autrement grande quand le débit n'est pas très petit, et nécessite une correction qui introduit un terme proportionnel au carré du débit. Occupons-nous en maintenant.

119. Correction de force vive. — appelons P| et Pj les pressions qui régnent dans les sections terminales du tube respectivement à l'entrée et à la sf^rtie; P|^et P'^ les pressions, déduites hydrostatiquemenl de celles qu'on mesure dans les deux réservoirs au moyen de manomètres en relation avec les régions où le liquide est immobile.

La dillerence inconnue P| — p2= P est la quantité qu'il faudrait introduire dans la formule de Poiseuille; on introduit à la place la difl'érence P', — P^ (mesurée) qui n'est pas égale à P; d'où la cause d'erreur qui nous occupe.

Il est facile de voir que l'écart est acquis à l'entrée et qu'il n'est pas détruit à la sortie.

Dans les parties du vase éloignées de l'orifice, où règne la pression P',, le liquide est immobile. Dans le tube, un peu au delà de l'orifice, il a acquis la force vive qu'il conserve tout le long du tube; si donc on considère un filet liquide qui se dirige vers l'entrée en se rétrécissant, la vitesse s'accélère le long de ce filet; la pression doit, par suite, être plus grande du côté large que du côté étroit vers lequel le liquide est chassé. La différence P', — P« est précisément la chute de pression nécessaire pour faire acquérir au liquide la force vive

l34 LIVHB II. — LES LIQUIOES.

qu'il a à rentrée, en même temps que pour vaincre ieà frottements des filets liquides les uns sur les autres dans le réservoir d'entrée.

Un raisonnement du même genre devrait conduire, pour la sortie, à la conclusion p2<C P!, si le jet s'épanouissait et si la distribution des vitesses de sortie était symétrique de la distribution de l'entrée. Mais, à la sortie, le mouvement est tout autre qu'à l'entrée ; le jet, d'abord régulier sur une certaine longueur, se résout plus loin en tourbillons qui s'éteignent au sein de la masse liquide du réservoir, par suite de la viscosité. La force vive du jet ne produit pas de chute (négatixe'^ de pression et de travail proprement dit; elle est tout entière absorbée dans les frottements des mouvements tourbillonnaires qui la transforment intégralement en chaleur.

La conservation du jet montre qu'à la sortie, la distribution des vitesses est encore la même que dans l'intérieur du tube; il en est donc de même de la distribution des pressions. Dans loul le vase, y compris le jet régulier, mais à l'exclusion de la région où le jet se résout en tourbillons, règne la distribution hydrostatique; Pa et P'^ sont égales.

Nous sommes en mesure maintenant d'écrire correctement l'équation complète du mouvement qui tient compte de la chute de pression dans le réservoir d'entrée.

Le régime permanent étant établi, nous allons écrire que, pendant un temps très petit dl^ la somme des travaux des forces motrices est égale à la somme des travaux des forces de frottement dans le réservoir d'entrée et dans le tube augmentée de la demi-force vive du liquide qui s'écoule pendant ce temps.

120. i" Travaux des forces motrices. — Dans le réservoir d'entrée, décrivons une sphère S ayant l'orifice du tube comme centre et un rayon assez grand pour que sa surface se trouve dans la région du réservoir d'entrée où la vitesse du liquide est sensiblement nulle et où la pression est celle qu'on mesure : P,. Les filets liquides peuvent être considérés comme partant normalement de cette sphère. Pendant le temps clt, une quantité de liquide I dt pénètre dans cette sphère, l^e travail de la pression P', pendant ce temps est

car, si, à travers un élément rfS de cette sphère, le liquide entre avec une vitesse normale i^, le travail de la pression est

P'i dSxv dt.